2014年广东高考数学

1

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位

号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横

贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、

多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式

1

3

Vsh，其中s为锥体的底面积，

h

为锥体的高.

一组数据

12

,,,

n

xxxL的方差2222

12

1

[()()()],

n

sxxxxxx

n

L

其中x表示这组数据的平均数.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合2,3,4M，0,2,3,5N，则MNI

A.0,2B.2,3C.3,4D.3,5

2.已知复数z满足(34)25iz，则z



A.34iB.34i.34CiD.34i

3.已知向量(1,2)a

r

，(3,1)b

r

，则ba

rr

A.(2,1)B.(2,1)C.(2,0)D.(4,3)

4.若变量x，

y

满足约束条件

28

04

03

xy

x

y

















，则2zxy的最大值等于

A.7B.8C.10D.11

5.下列函数为奇函数的是

1

A.2

2

x

x



C.2cos1x2D.2xx

6.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的

间隔为

A.50B.40C.25D.20

7.在

ABC

中，角,,ABC所对应的变分别为,,abc，则ab“”是sinsinAB“”的

A.

充分必要条件

B.

充分非必要条件

C.

必要非充分条件

D.

非充分非必要条件

2

8.若实数

k

满足

05k

，则曲线

22

1

165

xy

k





与曲线

22

1

165

xky

的

A.

实半轴长相等

B.

虚半轴长相等

C.

离心率相等

D.

焦距相等

9.若空间中四条两两不相同的直线

1

l，

2

l，

3

l，

4

l，满足

12

ll，

23

//ll，

34

ll，则下列结论一定

正确的是

A.

14

ll

B.

14

//ll

C.

1

l与

4

l既不平行也不垂直

D.

14

ll与位置关系不确定

10.对任意复数

1

w，

2

w，定义

1212

wwww，其中

2

w是

2

w的共轭复数，对任意复数

123

,,zzz，

有如下四个命题：

①

1231323

zzzzzzz②

1231213

zzzzzzz

③

123123

zzzzzz④

1221

zzzz

则真命题的个数是

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11~13题）

11.曲线53xye在点

(0,2)

处的切线方程为.

12.从字母

,,,,abcde

中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为.

13.等比数列

n

a的各项均为正数且

15

4aa，则

2122232425

logloglogloglogaaaaa

＝.

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线

1

C与

2

C的方程分别为22cossin与

cos1

，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线

1

C

与

2

C的交点的直角坐标为.

15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD

中，点E在AB上且2EBAE,AC与DE交于点F，则

CDF

AEF





的周长

的周长

＝.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

532

()sin(),,().

3122

fxAxxRf





（1）求

A

的值；

（2）若()()3,(0,),

2

ff



，求()

6

f



.

E

F

D

C

B

A

3

17．（本小题满分13分）

某车间20名工人年龄数据如下表：

年龄（岁）工人数（人）

191

283

293

305

314

323

401

合计20

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；

（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

（3）求这20名工人年龄的方差.

18.（本小题满分13分）

如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，

1,2ABBCPC

,作如图3折叠，折痕

EF∥

DC，其中点

,EF

分别在线段

,PDPC

上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并

且MF⊥CF.

（1）证明：CF⊥平面MDF;

（2）求三棱锥MCDE的体积.

19.(本小题满分14分)

设各项为正数的数列

n

a的前n和为

n

S,且

n

S满足.

222*(3)3()0,

nn

SnnSnnnN

（1）求

1

a

的值;

（2）求数列

n

a

的通项公式;

（3）证明:对一切正整数n,有

1122

1111

(1)(1)(1)3

nn

aaaaaa





20.(本小题满分14分)

已知椭圆

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab



的一个焦点为5,0

，离心率为

5

3

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若动点

00

(,)Pxy为椭圆C外一点,且点P到椭圆的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

21.(本小题满分14分)

C

E

F

P

B

A

D

P

A

D

C

B

F

E

M

4

已知函数32

1

()1()

3

fxxxaxaR.

（1）求函数

()fx

的单调区间;

（2）当0a时,试讨论是否存在

0

11

0,,1

22

x









,使得

0

1

()()

2

fxf.

5

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.B2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.D9.D10.B

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

11.520xy12.

2

5

13.514.(1,2)15.3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.

5533232

:(1)()sin()sin,23.

12123422

(2)(1):()3sin(),

3

()()3sin()3sin()

33

3(sincoscossin)3(sin()coscos()sin)

3333

6sincos

3

3sin

3

3

sin,(0,),

32

fAAA

fxx

ff







































解

由得

2

6

cos1sin

3

6

()3sin()3sin()3cos36

66323

f











17.

:(1)2030,401921.解这名工人年龄的众数为极差为

(2)茎叶图如下:

19

2888999

3

40

6



2222222

(192832933)

3:30,

20

1

20:(11)3(2)3(1)50413210

20

1

(0)

20

1

252

20

12.6

















年龄的平均数为

故这名工人年龄的方差为

18.

00

:(1):,,,

,,,,

,,,,,,

.

11

(2),,60,30,==,

22

,

PDABCDPDPCDPCDABCD

PCDABCDCDMDABCDMDCDMDPCD

CFPCDCFMDCFMFMDMFMDFMDMFM

CFMDF

CFMDFCFDFPCDCDFCFCD

DE

EFDC

D













解证明平面平面平面

平面平面平面平面

平面又平面

平面

平面又易知从而

∥

222222

1

33313

2

,=,,,,

24428

3

3336

()(),

442

11362

.

338216

CDE

MCDECDE

CFDE

DEPESCDDE

PCP

MDMEDEPEDE

VSMD











即

19.

7

22

111111

111

2222

2

22

1

:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,

0,2,2.

(2)(3)3()0,:(3)()0,

0(),0,30,,

2,(1)(1)

nnnn

nnnn

nnn

nSSSSSS

SSa

SnnSnnSSnn

anNSSSnn

naSSnnnn























解令得即

即

由得

从而

当时

1

22

1122

2,

221,2().

313

(3),()(),

221644

111111

113

(1)2(21)44

()()()

244

11111

11

11

44

(1)

()(1)

44

44

111

(1)(1)(

n

kk

n

n

aannN

kk

kNkkkk

aakk

kkkk

kk

kk

aaaaaa















































又

当时

1)

1111111

()()

111111

4

1223(1)

444444

111111

().

11

43433

1(1)

44

n

nn

n

n























20.

8

222

22

00

22

00

22

55

:(1)5,,3,954,

3

1.

94

(2),,4

(3,2),(3,2).

(),

(),1

94

(94)18(

c

ceabac

aa

xy

C

xy

yykxx

xy

ykxxy

kxky













解

椭圆的标准方程为:

若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,

它们的坐标分别为

若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为

即将之代入椭圆方程中并整理得:

2

0000

222222

000000

2

222

0

000012

2

0

22

00

)9()40,,0,

(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,

4

(9)240,,1,:1,

9

13,(3,2),(3,2)

kxxykx

kykxykxkykxk

y

xkxykykk

x

xy





















Q

依题意

即:即

两切线相互垂直即

显然这四点也满足以上方

22

,



程

点的轨迹方程为

21.

'22

'

2

'

'

:(1)()2,20:44,

1,0,()0,()(,).

1,2011,

(,11),()0,(),

(11,11),()0,(),

(11,)

fxxxaxxaa

afxfx

axxaa

xafxfx

xaafxfx

xa













解方程的判别式

当时此时在上为增函数

当时方程的两根为

当时此时为增函数

当时此时为减函数

当时',()0,(),

,1,()(,),

1,()(,11),(11,),

()(11,11).

fxfx

afx

afxaa

fxaa









此时为增函数

综上时在上为增函数

当时的单调递增区间为

的单调递减区间为

9

3232

0000

3322

000

2

0

00000

2

00

00

2

00

111111

(2)()()1()()()1

233222

1111

()()()

3222

111111

()()()()()

3224222

111

()()

236122

11

()(4

122

fxfxxaxa

xxax

x

xxxxax

xx

xxa

xx





























0

00

2

00

2

00

14712)

111

(0,)(,1),()(),

222

11

4147120(0,)(,1).

22

0,1416(712)4(2148)0,

872148

:,0,,

844

7+2148

,01,72148

4

xa

xfxf

xxa

aaa

aaa

xx

a

a

















若存在使得

必须在上有解

方程的两根为只能是

依题意即

0

00

00

257

11,492148121,,

1212

7+2148155

=,,,,

4244

25557111

(,)(,),(0,)(,1)()().

124412222

257511

(,][,0),(0,)(,1)()(

1212422

aa

a

axa

axfxf

axfxf

















即

又由得故欲使满足题意的存在则

当时存在唯一的满足

当时不存在使

1

).

2