一元二次不等式的解法

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知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等

式。比如：.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或

.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

设一元二次方程的两根为且，，

则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

注意：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式

的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先

利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式

与的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配

方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过

程规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正

数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨

论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找

到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

二次函数

（）的图象

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经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式

（1）；（2）；（3）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

总结升华：

1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结

合的分析能力；

2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当

且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【变式1】解下列不等式

(1)；(2)

(3)；(4).

【变式2】解不等式：

类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数

2．不等式的解集为，求关于的不等式

的解集。

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总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据

不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的

解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。

举一反三：

【变式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______,b=________。

【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式

.

【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式

的解集.

类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题

3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，

求实数m的取值范围。

思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题

还需要讨论二次项的系数。

总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一

般需讨论。

举一反三：【变式1】若关于的不等式的解集为空集，

求的取值范围.

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【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求

的取值范围.

【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求

的取值范围.

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类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法

4．解下列关于x的不等式

（1）x2-2ax≤-a2+1；

（2）x2-ax+1＞0；

（3）x2-(a+1)x+a＜0；

总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求

解；

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

【变式2】解关于的不等式：（）

5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。

总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有

字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。

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举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1＜0；

【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1＞0

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学习成果测评

基础达标：

1．不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（）

A．（－3a，4a）B．（4a，－3a）C．（－3，－4）D．（2a，6a）

2．使有意义的x的取值范围是（）

A．B．

C．D．

3．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（）

A．a=6，c=1B．a=－6，c=－1C．a=1，c=1D．a=－1，c=－6

4．解不等式得到解集，那么的值等于()

A．10B．-10C．14D．-14

5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（）

A．B．

C．D．

6．抛物线y=－x2+5x－5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围

是____。

7．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围

是____。8．解下列不等式

(1)14-4x2≥x；(2)x2+x+1>0；

(3)2x2+3x+4<0；(4)；

(5)；(6)；(7)

9．已知不等式ax2－3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}。

（1）求a，b；

（2）解不等式ax2－(ac+b)x+bc＜0。

10.不等式mx2+1＞mx的解集为实数集R，求实数m的取值范围．

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能力提升：

11．不等式的解集是全体实数，则a的取值范围是()

A．B．C．D．

12．对于满足0≤p≤4的实数p，使恒成立的x的取值范

围是__.

13．已知的解集为，则不等式

的解集是________.

14．14．若函数的定义域为R，则a的取值范围为

________________.

15．若使不等式和同时成立的x的值使关于x的不

等式也成立，则a的取值范围是________________.

16．16．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2-bx+c＜0的解

集是___________；不等式cx2+bx+a＞0的解集是_____________．

17．

18．

17．已知，

18．(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围；

19．(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.

18．解下列关于x的不等式；

综合探究：

19．解关于x的不等式：.

20.设集合A={x|x2-2x-8＜0},B={x|x2+2x-3＞0},C={x|x2-3ax+2a2＜0}，若C(A

∩B)，求实数a的取值范围．