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论如何解决高等数学函数一致性连续性问题

作者：王淑玲

来源：《东方教育》2014年第07期

【摘要】高等数学一致连续性是一个非常重要的概念，在教学过程中属于重点内容。本文

主要阐述了函数一致连续性的基本概念，以及一致连续性的价值和意义。最后，就如何解决高

等数学函数一致连续性问题进行了讨论。

【关键词】高等数学；一致性；连续性；函数

一、高等数学函数一致性连续性的基本概念

高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一

个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，

则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概

念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年

的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和

困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？

带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个

重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归

纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突

变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话

说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数

δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离︳x'-x"︳＜δ，那么函数

所对应的函数值︳f（x'）-f（x"）︳＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件

强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函

数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种

教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于

学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的

知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数

学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点

x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且︳x-x'︳＜δ，就有︳f（x）-f（x'）︳＜ε，

则称函数f（x）在区间I上连续。该定义说明了函数f（x）在区间I上连续的基本特征。函数

一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使

得对任何x'，x"∈I，只要︳x'-x"︳＜δ，就有︳f（x'）-f（x"）︳＜ε，则称函数f（x）在区间

I上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分

理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将

函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ是怎么样小的正数，在I上总

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有两点x'和x"，虽然满足︳x'-x"︳＜0，却有︳f（x'）-f（x"）︳＞ε。这就是函数不一致连续

的概念，理解和学习函数不一致连续的相关知识，有利于我们更好地学习和研究函数一致连续

性问题。

二、高等数学引入一致性连续性的意义和价值

高等数学教材中涉及了较多的理论和概念，比如函数的连续性与一直连续性，以及函数列

的收敛性与一致收敛性等，都是初学者很容易混淆的相近概念，因而也成为了高等数学学习中

的一个难点问题。在工程数学中，这些概念非常重要，笔者认为，搞清楚和弄明白函数的一致

连续的基本概念，以及掌握判断函数是否具有一致连续特性的基本方法，无疑都将是理工科学

生学好高等数学函数一致连续性理论知识的核心环节，也是日后成熟运用该数学方法的基础和

前提。通过学习和比较，我们能够得出一个很明显的结论：一致连续要比连续条件强。高等数

学函数一致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他工程学科中常常会用到一致连续的

知识，而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切的相互关系。实际上，我们在进行函数

列的收敛问题研究时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛等概念及

其关系。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点问题，证明某一个函数是否具有

一致连续性是其中的瓶颈问题，这让很多理工科同学感到无从下手。为了解决这一难点，达到

化抽象为简单的教学目的，笔者建议给出一致连续性的几种常见等价形式，能够很好地帮助学

习高等数学的同学更易于理解和掌握函数一致连续性这一知识要点。高等数学中的函数一致连

续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点，也是教学大纲

中的重点。因此，牢固掌握这些概念及与之有关的理论知识，对于培养学生良好的数学素养和

创新能力都有着重要的意义。

函数一致连续的几何意义非常非常重要。数学分析抽象而且复杂难懂，这门学科本身就有

着极强的逻辑思维和严密特征，主要体现在它能够采用最简明的数学语言来准确表述其他语言

无法量化的复杂多变的事物发展过程。换言之，其作用在于，能够量化抽象事物的动态发展过

程。其几何意义将在高等数学课程入门中起到一个有利引导作用，清晰明朗地向学生展示高等

数学中最基本的思想方法和思维方式，帮助学生理解抽象概念，提高学生培养自身的创新思维

能力。另外，探讨函数一致连续和一致收敛的关系，同时在有界区间上给出一致连续和一致收

敛的等价关系，有利于学生在今后研究连续、收敛问题中拥有更多的参考依据。

三、解决高等数学函数一致性连续性问题的对策

1.一元函数在有限区间上的一致连续性

由于用函数一致连续的定义判定函数是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些

以G.康托定理为基础的较简单的判别法。

定理1若函数在上连续，则在上一致连续。

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这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性

定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。

分析：由函数一致连续的实质知，要证在上一致连续，即是要证对，可以分区间成有限

多个小区间，使得在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于。

证明：若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小

区间。将二等分为、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再

将二等分为、依同样的方法取定其一，记为；......如此继续下去，就得到一个闭区间套，

n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足

（2-13）

且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是，当时，就有

。（2-14）

又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使，从而对于上任意点，都有。因此，对

于上的任意两点，由（2-14）都有。（2-15）

这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证。定理1对

开区间不成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区

间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点；（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可

能破坏一致连续性。

定理2函数在内一致连续在连续，且与都存在。

证明：若在内一致连续，则对，当时，有

，（2-16）

于是当时，有

。（2-17）

根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在连续，与都存在。

若在连续，且和都存在，则

令（2-18）

于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。

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根据定理2容易得以下推论：

推论1函数在内一致连续在连续且存在。

推论2函数在内一致连续在连续且存在。

当是无限区间时，条件是充分不必要的。

2.一元函数在无限区间上的一致连续性

定理3在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在。

证明：（1）先证在上一致连续。

令，由柯西收敛准则有对使对，有

。（2-19）

现将分为两个重叠区间和，因为在上一致连续，从而对上述，使，且时，有

。（2-20）

对上述，取，则，且，都有

。（2-21）

所以函数在内一致连续。

（2）同理可证函数在内一致连续。

由（1）、（2）可得在内一致连续。

若将分为和，则当与分别在两个区间时，即使有，却不能马上得出的结论。

由定理3还容易得出以下推论：

推论3函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。

推论4函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。

推论5函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。

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推论6函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。

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