实数的概念

22

7

22-二

7

实数的有关概念

教学目标：

1.使学生复习巩固有理数、实数的有关概念.

2.了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

3.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小

4.-------------------------------------------------画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。

重点难点：

1.有理数、无理数、实数、非负数概念；

2.相反数、倒数、数的绝对值概念；

3.在已知中，以非负数a2、|a|、a(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。教学设计：

一、基础回顾

1、实数的有关概念

(1)实数的组成

无理数正无理数［无尽不循环小数负无理数

⑵数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴可)，

实数与数轴上的点是------对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，

⑶相反数

实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零).

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

⑷绝对值

a(a>0)

|a|=』0(a=0)

|'a(a：：：0)

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离

⑸倒数

1

实数a(a工0)的倒数是丄(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数.

a

:【典例精析】

1.在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所.已知青少年宫在学校东300m

处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处.若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单

位长度表示100m(1)在数轴上表示出四家公共场所的位置；(2)列式计算

青少年宫与商场之间的距离.

解：(1)如图所示：

(2)300—(—200)或

300+|200|=500

(

答：青少宫与商场之间的距离是500m。

2.下列各数中:-1,0,..169,7,1.101001..........,0.6,.2-1,cos45，-cos60,

第1课时

实数

整数

有理数《

分数

正整数

零

负整数

;正分数

负分数

'有尽小数或无尽循环小数

(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不

青少年宫医院-；

---*---■■■布

-300-200-LOO0500

有理数集合｛…｝;

整数集合｛…｝;

分数集合｛…｝;

3.已知(x-2)2+|y-4|+•.z_6=0,求xyz的值.

解：48点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个非负数的和

为零，则这几个非负数均为零.

4.已知a与b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2求2(a•b)3_2(cd)m亠上雲的值

m

5.a、b在数轴上的位置如图所示，且

三:【训练】

四：教学反思：

第2课时实数的运算

教学目标：

1.了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、

减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

2.了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、

减、乘、除、乘方运算。

3.了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值

(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值)，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替

无理数进行实数的近似运算。

4了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。

重点难点：

1.考查近似数、有效数字、科学计算法；

2.考查实数的运算；

3.计算器的使用。

教学设计：

一、知识回顾：

实数的运算

(1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

任何数与零相加等于原数。

(2)减法a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即

|a||b|(a,b同号)

ab=」一|a||b|(a,b异号)

0(a或b为零)

⑷除法旦=a丄(b=0)

bb

正数集合｛

自然数集合

｛无理数集合

｛

｝

…};

...};

...};

绝对值最小的数的集合｛

a>b，化简a-a+b-b-a

a

n

a=aaa

n个

⑹开方如果x2=a且x>0，那么a=x；如果x3=a,那么3.a=x

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减•有括号时，先算括号里面.

(5)分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数.运用运算律有时可使运算简便.

【典例精析】

1.已知x、y是实数，、一3x•4•y2-6y•9二0,若axy-3x二y,求实数a的值.

2•请在下列6个实数中，计算有理数的和与无理数的积的差：4

2丄-^4-%27(-1)0

y‘2’'

3.比较大小：(1)3、、5与2、11,(2)、、15、_5与、、13,(3),10-3与3-2、.2

4.探索规律:31=3,个位数字是3;32=9,个位数字是9;33=27,个

位数字是7;34=81,个位数字是1;35=243,

个位数字是3;36=729，个位数字是9;…那么37的个位数字是___________________________;320的个位数字

5.计算:

(_2)3

(一1)4

「(一12)2

亠一白

2

(1)2

2

;(2)

0.25X4+口一32

汇(一2)I

三:【训练】

四、教学反思：

第3课时整式

教学目标：

1、了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；

2、理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幕(或升幕)排列，理解同类项的概念，会合并同类项；

3、掌握同底数幕的乘法和除法、幕的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幕的运算；

2

4、能熟练地运用乘法公式(平方差公式，完全平方公式及(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab)进行运算；

5、掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。重点难点：

掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。能正确地求出代数式的值教学设计：

一、基础回顾：

1.代数式的有关概念.

(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子.单

独的一个数或者一个字母也是代数式.

(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值.

求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.

(3)代数式的分类

2.整式的有关概念

(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式.

对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。

⑸乘方

⑺实数的运算律

(1)加法交换律

(2)加法结合律

(3)乘法交换律

(4)乘法结合律

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

ab=ba.

(ab)c=a(bc)

2

()丄一(2001tan30°)°(-2)2

3

(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式

对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析

(3)多项式的降幕排列与升幕排列

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幕排列把一个多项式按某一个字母的

指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幕排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幕排列或升幕排

列.

(4)同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷.

要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并•即axb^(ab)x其中的X可以代表单

项式中的字母部分，代表其他式子。

3.整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接•整式加减

的一般步骤是：

(i)如果遇到括号•按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉•括号里各项都改变符号.

(ii)合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数•字母和字母的指数不变.

(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除

式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幕的运算性质：

aman=amn(m,n是整数)

aman=amjn(a=0,m,n是整数)

多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加.

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：

(xa)(xb)二x2(ab)xab,

22

(ab)(a-b)=a-b,

22

(a_b)=a-2abb,

(a二b)(a2"abb2)=a3二b3.

(3)整式的乘方

单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幕作为结果的因式。

单项式的乘方要用到幕的乘方性质与积的乘方性质：

(am)n=amn(m,n是整数)，

(ab)n=anbn(n是整数)

多项式的乘方只涉及

222(a_b)二a-2abb,

(abc)2二a2b2c22ab2bc2ca.

1、考查重难点与常见题型

(1)考查列代数式的能力。题型多为选择题，如:列各题中，所列代数错误的是()

(A)表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是2ab—5

(C)表示“被5除商是a,余数是2的数”的代数式是5a+2

a

(D)表示“数的一半与数的3倍的差”的代数式是

2

—3b

(2)考查整数指数幕的运算、零指数。题型多为选择题，在实数运算中也有出现，如:下列各式中，正确的是()

(A)a3+a3=a6(B)(3a3)2=6a6(C)a3?a3=a6(D)(a3)2=a6

整式的运算，题型多样，常见的填空、选择、化简等都有。

(B)

表示“a与b的平方差的倒数”的代数式是

_1_a

—b2

二:【典例精析】

1.判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。

221

(1)a-ab+b;(2)S=_(a+b)h;(3)2a+3b>0;(4)y;(5)0;(6)c=2二R。

2

2.抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a元的过氧乙酸消毒液提价20%后出售，市政府及时采取

措施，使每桶的价格在涨价一下降15%，那么现在每桶的价格是

3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把

绳子剪断时，绳子被剪成剪刀像图⑶那样沿虚线b(b//a)把绳

子再剪一次时，绳子就被剪成子再剪

(n-2)次(剪刀的方向与

b=-0.28时，求代数式

a=0.35,b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由.

2222225.计算：—7ab+3ab—{[4ab-(2ab-3ab)]-4ab-(11abb-31ab—6ab}

22..

6已知：A=2x+3ax—2x—1,B=—x+ax—1,且3A+6B的值与x无关，求a的值.

5.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种

形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图I—I—I或图I—l—2等图形的面积表示.

(1)请写出图I—1—3所表示的代数恒等式：

(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

22

(a+b)(a+3b)=a+4ab十3b.

(3)请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒等

式，并画出与之对应的几何图形.

四、教学反思：

第4课时因式分解

教学目标：

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方

法，能把简单多项式分解因式。

重点难点：

考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合

运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学设计：

一、基础回顾：

1、因式分解知识点

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项式ambmcm二m(abc),

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.

(2)运用公式法，即用

丿元。

5段；当用9段，若用剪刀在虚线ab之间把绳n次时绳子的段

数是()

a平行)这样一共剪

o「二*...

:⑶：

2333232

7a—6ab+3a+6ab—3ab—10a+3ab—2的值”.小

4.有这样一道题，“当a=0.35,明同

学说题目中给出的条件

三、训练:

A.4n+1丁"+2?.4n+3

a2「b2=(ab)(a—b),

a2_2ab・b2=(a_b)2,写出结果・

a3±b3=(a±b)(a2二ab亠b2)

(3)十字相乘法

2

对于二次项系数为I的二次三项式xpxq,寻找满足ab=q,a+b=p的a,b，如有，则

2

X2•px7=(xa)(xb)；对于一般的二次三项式axbxc(a=0),寻找满足

2

aia2=a，cic2=c,aiC2+a2Ci=b的a，a2，ci，C2,如有，贝Uax•bx•c=3必-cj(a2x-q).(4)分组分解法：把各项适当分

组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行.

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到

括号里的各项都改变符号•

⑸求根公式法：如果ax2•bx•c=0(a=0),有两个根X1,X2,那么

2ax

bxc

=a(x

_xj(

x

_X2)

.

二:【典例精析】

1.分解因式：

(1)x3y_xy3；(2)3X3_18X2+27X；(3)(x_1$-x_1；(4)4(x_y)2_2(y_x)3分析：①因式分解时，无论有几

项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”

2n2n2nT2n1

③注意a-bb-a，a-bb-a

④分解结果(1)不带中括号；(2)数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；(3)相同因

式写成幕的形式；(4)分解结果应在指定范围内不能

分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

223223222

2.分解因式：(1)x-3xy-10y；(2)2xy2xy-12xy；(3)x24-16x2

分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提

公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考

虑平方差、立方差、立方和公式。(3)题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由

项数考虑选择方法继续分解。

(2)已知a、b、c是厶ABC的三边，且满足a2亠b2亠c2=ab亠be亠ac，求证：△ABC

为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a二b二c，

从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式a-b2•b-c2•c-a2=0，

即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：a2亠b2亠c2-ab-be-ac=0

2a22b22c2-2ab-2bc-2ac=0

(2)

分析：(1)

(2)

4.分解因式：

202-19992T9982-22-12

此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

(1)4x2「4xyy2「z2；(2)a3-a2b-2a2b

3.计算:丄-A

92102

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法,

5.(1)在实数范围内分解因式：X4-4；

(1)

a-bi亠〔b-ci亠〔c-a?=0

a=b=C；即厶ABC为等边三角形。

三、训练：

四、教学反思：

第5课时分式