数据的波动

第八讲：数据的波动情况

1，极差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，

用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。

2，方差与标准差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数

据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是

s2=[(x

1

-)2+(x

2

-)2+„+(x

n

-)2]；

方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳

定或不整齐。

第二步：讲授新知：

（一）方差

定义：设有n个数据

n

xxx，，，

21

，各数据与它们的平均数的差的平方分别是

2

2

2

1

)()(xxxx，，„，

，，2)(xx

n



我们用它们的平均数，即用

])()()[(

1

22

2

2

1

2xxxxxx

n

x

n



来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance），记作2s。

意义：用来衡量一批数据的波动大小

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定

归纳：（1）研究离散程度可用2S

（2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小

（3）方差主要应用在平均数相等或接近时

（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的

方差的简便公式：

推导：以3个数为例

（二）标准差：

方差的算术平方根，即④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

注意：波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出

每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公

式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介

绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量。

第三步：解例分析：

例1填空题；

（1）一组数据：2，1，0，x，1的平均数是0，则x=.方差2S.

（2）如果样本方差

2

4

2

3

2

2

2

1

2)2()2()2()2(

4

1

xxxxS

，

那么这个样本的平均数为.样本容量为.

（3）已知

321

,,xxx的平均数

x

10，方差2S3，则

321

2,2,2xxx的平均数为，方差为.

例2选择题：

（1）样本方差的作用是（）

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小

（2）一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（）

A、等于aB、不等于aC、大于aD、小于a

（3）已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（）

A、0B、1C、

2

D、2

（4）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（）

A、平均数改变，方差不变B、平均数改变，方差改变

C、平均数不变，方差不变A、平均数不变，方差改变

例3为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：

mm）甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8

乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11

请你经过计算后回答如下问题：

（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？

（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？

P154例1

分析应注意的问题：题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学

生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。

1.在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，

这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。

2.方差怎样去体现波动大小？

这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。

数据的波动

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了解方差和标准差的意义，会计算一组数据的方差和标准差，并能根据方差

和标准差的意义解决一些实际问题．

一、选择题

1．已知一组数据－1，x，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是

___________．

[]

A．

2

B．2

C．4D．10

2．若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那么下列说法正确的是

___________．

[]

A．甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大

B．甲组数据比乙组数据稳定

C．乙组数据比甲组数据稳定

D．甲、乙组的稳定性不能确定

3．已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是___________．

[]

A．2B．4

C．8D．16

4．从A、B两班分别任抽10名学生进行英语口语测试，其测试成绩的方差

是S

A

2=13．2，S

B

2=26．36，则___________．

[]

A．A班10名学生的成绩比B班10名学生的成绩整齐

B．B班10名学生的成绩比A班10名学生的成绩整齐

C．A、B两班10名学生的成绩一样整齐

D．不能比较A、B两班学生成绩的整齐程度

二、填空题

5．一组数据7，8，9，10，11，12，13的方差是________．

6．已知一组数据1，2，3，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是________．

7．已知数据7，9，19，a，17，15的中位数为13，则这组数的平均数为________，

方差为________．

8．在一次知识竞赛中，学生甲和乙的各科总平均分相等，但甲的标准差比

乙的标准差小，这说明__________________________________．

三、解答题

9．计算下列各组数据的方差和标准差(结果保留到小数点后第二位)

(1)8910101112

(2)7885

10．为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进

行了测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：78686591074

乙：9578768677

(1)分别计算甲、乙两组数据的方差．

(2)你认为应选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？

11．甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品质量，

质量检查员从两台机床的产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下(单位：

毫米)：

机床甲：9913

机床乙：9910

(1)分别计算上述两组数据的平均数及方差；

(2)如果你是质量检查员，在收集到上述数据后，你将说明哪一台机床加工

的零件更符合要求．

12．甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的糖果，从中各抽出10袋，

测得其实际质量分别如下(单位：克)：

甲514494

乙599599

哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？

参考答案

一、1．B2．C3．A4．A

二、5．4

6．2

7．1318.67

8．学生甲的各科成绩差异较小

三、9．(1)S2≈1．67S≈1.29(2)S2≈4.25S≈2.06

10．(1)甲、乙两组数据的方差分别为3和1.2

(2)因为甲、乙二学生的平均数相同，甲的方差比乙的方差大，所以乙学生

的成绩比较稳定，应选乙学生参加射击比赛．

11．(1)机床甲、乙两组数据的平均数分别为100和100，方差分别为

3

7

和1

(2)通过数据分析：甲、乙的平均数相同，甲机床的方差大于乙机床的方差，

所以乙机床加工的零件更符合要求．

12．甲、乙两组数据的方差分别为38.05和7.96，所以乙包装机包装的10

袋糖果的质量比较稳定．