初中经典数学题

经典难题（一）之羊若含玉创作

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，

EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．（初二）

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝

150．

求证：△PBC是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、

B2、C2、D2分离是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分离

是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，

且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引

圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分离

交MN于P、Q．

A

P

C

D

B

A

F

G

C

E

B

OD

D

2

C

2

B

2

A

2

D

1

C

1

B

1

CB

D

A

A

1

A

N

F

E

C

D

M

B

·

A

D

H

E

M

C

B

O

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

NM

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求证：AP＝AQ．（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下

命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，

设CD、EB分离交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

4、如图，分离以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外

侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE

与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，

直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF

平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二）

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，

AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝

AD．（初三）

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

D

A

F

D

E

C

B

E

DA

C

B

F

F

EPC

B

A

OD

B

F

A

E

C

P

经典难题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB

＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝

AC·BD．（初三）

4、平行四边形ABCD中，设E、F分离是BC、AB上的一点，

AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，

求证：≤L＜2．

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB

＋PC的最小值．

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝

A

P

CB

P

A

D

C

B

C

B

D

A

F

P

D

E

C

B

A

A

P

CB

A

P

D

A

C

B

P

D

3a，求正方形的边长．

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分离是

AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度

数．

经典难题（一）答案

1.如下图做GH⊥AB,衔接EO.由于GOFE四点共圆，所以

∠GFH＝∠OEG,

即△GHF∽△OGE,可得

EO

GF

=

GO

GH

=

CO

CD

,又CO=EO，所以

CD=GF得证.

2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，

从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和

∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图衔接BC1和AB1分离找其中点F,E.衔接C2F与A2E

并延长相交于Q点，

衔接EB2并延长交C2Q于H点，衔接FB2并延长交A2Q

于G点，

由A2E=1

2

A1B1=1

2

B1C1=FB2，EB2=1

2

AB=1

2

BC=FC1，又

∠GFQ+∠Q=900和

E

D

C

B

A

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又

∠B2FC2=∠A2EB2，

可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，

又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,

从而可得∠A2B2C2=900，

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.

4.如下图衔接AC并取其中点Q，衔接QN和QM，所以可得

∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得

出∠DEN＝∠F.

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)衔接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证.

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，衔接OP，OA，OF，AF，OG，AG，

OQ.

由于

2

2

ADACCDFDFD

ABAEBEBGBG

，

由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE.

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和

∠AGE=∠AOQ，

∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ.

4.过E,C,F点分离作AB所在直线的高EG，CI，FH.可得

PQ=

2

EGFH

.

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得

FH=BI.

从而可得PQ=

2

AIBI

=

2

AB

，从而得证.

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，衔接CG.

由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB.

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形.

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750.

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.

可证：CE=CF.

2.衔接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形.

由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900+450+150=1500，

从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF.

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形.

令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.

tan∠BAP=tan∠EPF=

X

Y

=

Z

YXZ

，可得YZ=XY-X2+XZ，

即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，

得到PA＝PF，得证.

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP600，衔接PQ，则△PBQ是正三角形.

可得△PQC是直角三角形.

所以∠APB=1500.

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，

BE∥PC.

可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）.

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证.

3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，

可得：

BE

BC

=

AD

AC

，即AD•BC=BE•AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

AB

AC

=

DE

DC

，即AB•CD=DE•AC，②

由①+②可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得证.

4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由

ADE

S=

2

ABCD

S

=

DFC

S，可得：

2

AEPQ

=

2

AEPQ

，由AE=FC.

可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）.

经典难题（五）

1.（1）顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形.

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，

EF在一条直线上，

即如下图：可得最小L=；

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F.

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，

推出AD>AP①

又BP+DP>BP②

和PF+FC>PC③

又DF=AF④

由①②③④可得：最大L<2；

由（1）和（2）既得：≤L＜2.

2.顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形.

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在

一条直线上，

即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.

既得AF=2

13

(1)

42

=23=

423

2

=2(31)

2

=

2

(31)

2

=

62

2

.

3.顺时针旋转△ABP900，可得如下图：

既得正方形边长L=22

22

(2)()

22

a=522a.

4.在AB上找一点F，使∠BCF=600，

衔接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，

可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，

得到BE=CF，FG=GE.

推出：△FGE为等边三角形，可得∠AFE=800，

既得：∠DFG=400①

又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②

推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，

从而推得：∠FED=∠BED=300.