2012年高考数学试卷

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2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B

中所含元素的个数为（）

A．3B．6C．8D．10

2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践

活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A．12种B．10种C．9种D．8种

3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），

p1：|z|=2，

p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为1+i，

p4：z的虚部为﹣1．

A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4

4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上

一点，△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）

A．B．C．D．

5．（5分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）

A．7B．5C．﹣5D．﹣7

6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，

输出A，B，则（）

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A．A+B为a1，a2，…，an的和

B．为a1，a2，…，an的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则

此几何体的体积为（）

A．6B．9C．12D．18

8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于

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点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）

A．B．C．4D．8

9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数

ω的取值范围是（）

A．B．C．D．（0，2]

10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）

A．B．

C．D．

11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的

正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）

A．B．C．D．

12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）

A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．

14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．

15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且

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元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均

服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用

寿命超过1000小时的概率为．

16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b

﹣c=0

（1）求A；

（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．

18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10

元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单

位：枝，n∈N）的函数解析式．

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

日需求量n

920

频数

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说

明理由．

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1

⊥BD

（1）证明：DC

1⊥BC；

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（2）求二面角A

1﹣BD﹣C1的大小．

20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆

心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m，n距离的比值．

21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若，求（a+1）b的最大值．

四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，

作答时请写清题号．

22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆

于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（1）CD=BC；

（2）△BCD∽△GBD．

23．选修4﹣4；坐标系与参数方程

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已知曲线C

1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线C

2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，

且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．

（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C

1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B

中所含元素的个数为（）

A．3B．6C．8D．10

【考点】12：元素与集合关系的判断．

【专题】5J：集合．

【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可

得出B中所含有的元素个数，得出正确选项

【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，

x=4时，y=1，2，3，

x=3时，y=1，2，

x=2时，y=1

综上知，B中的元素个数为10个

故选：D．

【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中

元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．

2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践

活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A．12种B．10种C．9种D．8种

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【专题】11：计算题．

【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计

数原理，将各步结果相乘即可得结果

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【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；

第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；

第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法

故不同的安排方案共有2×6×1=12种

故选：A．

【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰

当分步是解决本题的关键，属基础题

3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），

p1：|z|=2，

p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为1+i，

p4：z的虚部为﹣1．

A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4

【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．

【专题】11：计算题．

【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p

3：z的共

轭复数为﹣1+i，p

4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．

【解答】解：∵z===﹣1﹣i，

∴，

，

p3：z的共轭复数为﹣1+i，

p4：z的虚部为﹣1，

故选：C．

【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

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4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上

一点，△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）

A．B．C．D．

【考点】K4：椭圆的性质．

【专题】11：计算题．

【分析】利用△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=

上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．

【解答】解：∵△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，

∴|PF

2|=|F2F1|

∵P为直线x=上一点

∴

∴

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础

题．

5．（5分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）

A．7B．5C．﹣5D．﹣7

【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．

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【专题】11：计算题．

【分析】由a

4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的

通项可求a

1，a10，即可

【解答】解：∵a

4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8

∴a

4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4

当a

4=4，a7=﹣2时，，

∴a

1=﹣8，a10=1，

∴a

1+a10=﹣7

当a

4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1

∴a

1+a10=﹣7

综上可得，a

1+a10=﹣7

故选：D．

【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．

6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，

输出A，B，则（）

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A．A+B为a1，a2，…，an的和

B．为a1，a2，…，an的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数

【考点】E7：循环结构．

【专题】5K：算法和程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程

序的作用是求出a

1，a2，…，an中最大的数和最小的数．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，

可知，该程序的作用是：求出a

1，a2，…，an中最大的数和最小的数

其中A为a

1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数

故选：C．

【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的

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结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则

此几何体的体积为（）

A．6B．9C．12D．18

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【专题】11：计算题．

【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．

【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；

底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，

此几何体的体积为V=×6×3×3=9．

故选：B．

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．

8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于

点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）

A．B．C．4D．8

【考点】KI：圆锥曲线的综合．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线

y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．

【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），

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y2=16x的准线l：x=﹣4，

∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，

∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），

将A点坐标代入双曲线方程得=4，

∴a=2，2a=4．

故选：C．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题

设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数

ω的取值范围是（）

A．B．C．D．（0，2]

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结

果．

法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．

【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）

合题意排除（B）（C）

法二：，

得：．

故选：A．

【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．

10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）

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A．B．

C．D．

【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．

【专题】11：计算题．

【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义

域能排除D，这一性质可利用导数加以证明

【解答】解：设

则g′（x）=

∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数

∴g（x）＜g（0）=0

∴f（x）=＜0

得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，

又f（x）=中，，能排除D．

故选：B．

【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的

应用，排除法解图象选择题，属基础题

11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的

正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）

A．B．C．D．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．

【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO

1，进而求出底面ABC上

的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

【解答】解：根据题意作出图形：

设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O

1，则OO1⊥平面ABC，

延长CO

1交球于点D，则SD⊥平面ABC．

∵CO

1==，

∴OO

1==，

∴高SD=2OO

1=，

∵△ABC是边长为1的正三角形，

∴S

△ABC

=，

∴V

三棱锥S﹣ABC

==．

故选：C．

【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC

的距离．

12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）

A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．

【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

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【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|

的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为

的最小值，

设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，

即可求．

【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，

函数上的点到直线y=x的距离为，

设g（x）=（x＞0），则，

由≥0可得x≥ln2，

由＜0可得0＜x＜ln2，

∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，

∴当x=ln2时，函数g（x）

min=1﹣ln2，

，

由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．

故选：B．

【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的

应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=3．

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】由已知可得，=，代入

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|2|====可求

【解答】解：∵，=1

∴=

∴|2|====

解得

故答案为：3

【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求

解向量的模常用的方法

14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题．

【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示

直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最

大与最小值，从而可求z的范围

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域

由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，

z越小

结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x

﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大

由可得B（1，2），由可得A（3，0）

∴Z

max=3，Zmin=﹣3

则z=x﹣2y∈[﹣3，3]

故答案为：[﹣3，3]

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【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正

确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，

找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．

15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且

元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均

服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用

寿命超过1000小时的概率为．

【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元

件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于

其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可

【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

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设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元

件3正常}

C={该部件的使用寿命超过1000小时}

则P（A）=，P（B）=

P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=

故答案为

【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件

的概率运算等基础知识，属基础题

16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为1830．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．

【分析】由题意可得a

2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50

﹣a

49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，

a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{an}的前60项和

【解答】解：∵a

n+1+（﹣1）nan=2n﹣1，

故有a

2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．

从而可得a

3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，

a16+a14=56，…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻

偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．

{a

n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830

【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档

题．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b

﹣c=0

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（1）求A；

（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．

【考点】HP：正弦定理．

【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．

【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A

的值；

（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，

结合①②求得b和c的值．

【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，

即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC

∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，

即sinA﹣cosA=1

∴sin（A﹣30°）=．

∴A﹣30°=30°

∴A=60°；

（2）若a=2，△ABC的面积=，

∴bc=4．①

再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA

=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，

∴b+c=4．②

结合①②求得b=c=2．

【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是

中档题．

18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10

元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单

位：枝，n∈N）的函数解析式．

第21页（共29页）

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

日需求量n

920

频数

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说

明理由．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．

【专题】15：综合题．

【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段

函数；

（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方

差；

（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结

论．

【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；

当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：

（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况

X=80，

P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）

=1﹣0.1﹣0.2=0.7，

X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76

DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44

（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）

第22页（共29页）

×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4

∵76.4＞76，∴应购进17枝

【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学

生利用数学知识解决实际问题的能力．

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1

⊥BD

（1）证明：DC

1⊥BC；

（2）求二面角A

1﹣BD﹣C1的大小．

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】15：综合题．

【分析】（1）证明DC

1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；

（2）证明BC⊥面ACC

1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，

连接C

1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由

此可求二面角A

1﹣BD﹣C1的大小．

【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°

同理：∠A

1DC1=45°，∴∠CDC1=90°

∴DC

1⊥DC，DC1⊥BD

∵DC∩BD=D

∴DC

1⊥面BCD

∵BC⊂面BCD

∴DC

1⊥BC

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（2）解：∵DC

1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，

∵AC⊂面ACC

1A1，∴BC⊥AC

取A

1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH

∵A

1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，

∵面A

1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，

∴C

1O⊥面A1BD

而BD⊂面A

1BD

∴BD⊥C

1O，

∵OH⊥BD，C

1O∩OH=O，

∴BD⊥面C

1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面

角

设AC=a，则，，

∴sin∠C

1DO=

∴∠C

1DO=30°

即二面角A

1﹣BD﹣C1的大小为30°

【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确

作出面面角，属于中档题．

20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆

心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

第24页（共29页）

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m，n距离的比值．

【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离

，由△ABD的面积S

△ABD

=，知=，

由此能求出圆F的方程．

（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：

，得：，由此能求出坐标原点

到m，n距离的比值．

【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p

点A到准线l的距离，

∵△ABD的面积S

△ABD

=，

∴=，

解得p=2，所以F坐标为（0，1），

∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．

（2）由题设，则，

∵A，B，F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．

由点A，B关于点F对称得：

得：，直线，

切点

直线

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坐标原点到m，n距离的比值为．

【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性

质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价

转化．

21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若，求（a+1）b的最大值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．

【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．

【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及

导数，再由导数求函数的单调区间；

（2）由题意，借助导数求出新函数的最小

值，令其大于0即可得到参数a，b所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值

【解答】解：（1）f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）+x

令x=1得：f（0）=1

∴f（x）=f'（1）ex﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e

故函数的解析式为f（x）=ex﹣x+

令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x

∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增

当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有

f'（x）＜f'（0）=0得：

函数f（x）=ex﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）

（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=ex﹣（a+1）

①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞

与h（x）≥0矛盾

第26页（共29页）

②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）

得：当x=ln（a+1）时，h（x）

min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）

ln（a+1）≥b

∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）

令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）

∴F'（x）＞0⇔0＜x＜

当x=时，F（x）

max=

即当a=时，（a+1）b的最大值为

【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关

键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中

将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，

考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．

四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，

作答时请写清题号．

22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆

于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（1）CD=BC；

（2）△BCD∽△GBD．

【考点】N4：相似三角形的判定．

【专题】14：证明题．

【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形

ADCF是平行四边形，即可得到结论；

（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．

第27页（共29页）

【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点

∴DF∥BC，AD=DB

∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形

∴CF∥BD，CF=BD

∴CF∥AD，CF=AD

∴四边形ADCF是平行四边形

∴AF=CD

∵，∴BC=AF，∴CD=BC．

（2）由（1）知，所以．

所以∠BGD=∠DBC．

因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．

所以△BCD～△GBD．

【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于

基础题．

23．选修4﹣4；坐标系与参数方程

已知曲线C

1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线C

2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，

且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．

（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C

1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆

的参数方程．

第28页（共29页）

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；

（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2

的取值范围．

【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为

点A，B，C，D的直角坐标为

（2）设P（x

0，y0），则为参数）

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ

∵sin2φ∈[0，1]

∴t∈[32，52]

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．

24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．

【分析】①不等式等价于，或，或，求出每

个不等式组的解集，再取并集即得所求．

②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即

，可得x≤1；

，可得x∈∅；

，可得x≥4．

取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．

第29页（共29页）

（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]

上恒成立，

等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．

故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，

故a的取值范围为[﹣3，0]．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不

等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．