大学数学公式

1

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

22

2

21

2

2

1

1

cos

1

2

sin

u

du

dx

x

tgu

u

u

x

u

u

x













， ， ，

ax

x

aaa

ctgxxx

tgxxx

xctgx

xtgx

a

xx

ln

1

)(log

ln)(

csc)(csc

c)(c

csc)(

c)(

2

2

























2

2

2

2

1

1

)(

1

1

)(

1

1

)(arccos

1

1

)(arcsin

x

arcctgx

x

arctgx

x

x

x

x



























































Caxx

ax

dx

Cshxchxdx

Cchxshxdx

C

a

a

dxa

Cxctgxdxx

Cxdxtgxx

Cctgxxdx

x

dx

Ctgxxdx

x

dx

x

x

)ln(

ln

csccsc

cc

csc

sin

c

cos

22

22

2

2

2

2

C

a

x

xa

dx

C

xa

xa

axa

dx

C

ax

ax

aax

dx

C

a

x

arctg

axa

dx

Cctgxxxdx

Ctgxxxdx

Cxctgxdx

Cxtgxdx





















































arcsin

ln

2

1

ln

2

1

1

csclncsc

clnc

sinln

cosln

22

22

22

22





















C

a

xa

xa

x

dxxa

Caxx

a

ax

x

dxax

Caxx

a

ax

x

dxax

I

n

n

xdxxdxI

n

nn

n

arcsin

22

ln

22

)ln(

22

1

cossin

2

2222

22

2

2222

22

2

2222

2

2

0

2

0



2

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sincostgctg

-α-sinαcosα-tgα-ctgα

90°-αcosαsinαctgαtgα

90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα

180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα

180°+α-sinα-cosαtgαctgα

270°-α-cosα-sinαctgαtgα

270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα

360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα

360°+αsinαcosαtgαctgα

·和差角公式：·和差化积公式：

2

sin

2

sin2coscos

2

cos

2

cos2coscos

2

sin

2

cos2sinsin

2

cos

2

sin2sinsin

















































ctgctg

ctgctg

ctg

tgtg

tgtg

tg

















1

)(

1

)(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(







x

x

arthx

xxarchx

xxarshx

ee

ee

chx

shx

thx

ee

chx

ee

shx

xx

xx

xx

xx

































1

1

ln

2

1

)1ln(

1ln(

:

2

:

2

:

2

2）

双曲正切

双曲余弦

双曲正弦

...594.2)

1

1(lim

1

sin

lim

0









e

x

x

x

x

x

x

3

·倍角公式：

·半角公式：



























cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2

2

cos1

2

cos

2

cos1

2

sin





































ctgtg

·正弦定理：R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

·余弦定理：Cabbaccos2222

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx

2

arccos

2

arcsin



高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

)()()()2()1()(

0

)()()(

!

)1()1(

!2

)1(

)(

nkknnnn

n

k

kknk

n

n

uvvu

k

knnn

vu

nn

vnuvu

vuCuv































中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当

柯西中值定理：

拉格朗日中值定理：

xx

F

f

aFbF

afbf

abfafbf



















)(F

)(

)(

)()(

)()(

))(()()(







曲率：

.

1

;0

.

)1(

limM

sMM:.

,1

32

0

2

a

Ka

K

y

y

ds

d

s

K

MM

s

K

tgydxyds

s









































的圆：半径为

直线：

点的曲率：

弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：

其中弧微分公式：



















2

3

3

3

31

3

3

cos3cos43cos

sin4sin33sin

tg

tgtg

tg



























2

2

2222

1

2

2

2

1

2

sincossin211cos22cos

cossin22sin

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg













4

定积分的近似计算：































b

a

nnn

b

a

nn

b

a

n

yyyyyyyy

n

ab

xf

yyyy

n

ab

xf

yyy

n

ab

xf

)](4)(2)[(

3

)(

])(

2

1

[)(

)()(

1312420

110

110







抛物线法：

梯形法：

矩形法：

定积分应用相关公式：

















b

a

b

a

dttf

ab

dxxf

ab

y

k

r

mm

kF

ApF

sFW

)(

1

)(

1

,

2

2

21

均方根：

函数的平均值：

为引力系数引力：

水压力：

功：

空间解析几何和向量代数：

。代表平行六面体的体积

为锐角时，向量的混合积：

例：线速度：

两向量之间的夹角：

是一个数量

轴的夹角。与是向量在轴上的投影：

点的距离：空间











,cos)(][

..sin,

cos

,,cos

PrPr)(Pr

,cosPr

)()()(2

222222

2121

2

12

2

12

2

1221

cba

ccc

bbb

aaa

cbacba

rwvbac

bbb

aaa

kji

bac

bbbaaa

bababa

bababababa

ajajaaj

uABABABj

zzyyxxMMd

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyxzyx

zzyyxx

zzyyxx

u

u





















































5

（马鞍面）双叶双曲面：

单叶双曲面：

、双曲面：

同号）（、抛物面：

、椭球面：

二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：

面的距离：平面外任意一点到该平

、截距世方程：

、一般方程：

，其中、点法式：

平面的方程：

1

1

3

,,

22

2

11

};,,{,

13

02

),,(},,,{0)()()(1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

0

0

0

000

222

000

0000000

















































c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

qpz

q

y

p

x

c

z

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y

a

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ptzz

ntyy

mtxx

pnmst

p

zz

n

yy

m

xx

CBA

DCzByAx

d

c

z

b

y

a

x

DCzByAx

zyxMCBAnzzCyyBxxA





多元函数微分法及应用

z

y

z

x

y

x

y

x

y

x

yx

F

F

y

z

F

F

x

z

zyxF

dx

dy

F

F

yF

F

x

dx

yd

F

F

dx

dy

yxF

dy

y

v

dx

x

v

dvdy

y

u

dx

x

u

du

yxvvyxuu

x

v

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z

x

u

u

z

x

z

yxvyxufz

t

v

v

z

t

u

u

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dt

dz

tvtufz

yyxfxyxfdzz

dz

z

u

dy

y

u

dx

x

u

dudy

y

z

dx

x

z

dz













































































































































， ， 隐函数

＋， ， 隐函数

隐函数的求导公式：

时，，当

：多元复合函数的求导法

全微分的近似计算：

全微分：

0),,(

)()(0),(

),(),(

)],(),,([

)](),([

),(),(

2

2

6

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(

0),,,(

0),,,(

yu

GF

Jy

v

vy

GF

Jy

u

xu

GF

Jx

v

vx

GF

Jx

u

GG

FF

v

G

u

G

v

F

u

F

vu

GF

J

vuyxG

vuyxF

vu

vu













































































隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

),,(),,(),,(

3

0))(,,())(,,())(,,(2

)},,(),,,(),,,({1

),,(0),,(

},,{,

0),,(

0),,(

0))(())(())((

)()()(

),,(

)(

)(

)(

000

0

000

0

000

0

000000000

000

000000

0

0

0

0

0

0

000

zyxF

zz

zyxF

yy

zyxF

xx

zzzyxFyyzyxFxxzyxF

zyxFzyxFzyxFn

zyxMzyxF

GG

FF

GG

FF

GG

FF

T

zyxG

zyxF

zztyytxxtM

t

zz

t

yy

t

xx

zyxM

tz

ty

tx

zyx

zyx

zyx

yx

yx

xz

xz

zy

zy













































































、过此点的法线方程：

：、过此点的切平面方程

、过此点的法向量：

，则：上一点曲面

则切向量若空间曲线方程为：

处的法平面方程：在点

处的切线方程：在点空间曲线















方向导数与梯度：

上的投影。在是

单位向量。

方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是

的梯度：在一点函数

的转角。轴到方向为其中

的方向导数为：沿任一方向在一点函数

lyxf

l

f

ljieeyxf

l

f

j

y

f

i

x

f

yxfyxpyxfz

lx

y

f

x

f

l

f

lyxpyxfz

),(grad

sincos),(grad

),(grad),(),(

sincos),(),(























































多元函数的极值及其求法：





































不确定时

值时， 无极

为极小值

为极大值

时，

则：

，令：设

,0

0

),(,0

),(,0

0

),(,),(,),(0),(),(

2

2

00

00

2

BAC

BAC

yxA

yxA

BAC

CyxfByxfAyxfyxfyxf

yyxyxxyx

7

重积分及其应用：















































































D

z

D

y

D

x

zyx

D

y

D

x

D

D

y

D

x

D

DD

ayx

xdyx

faF

ayx

ydyx

fF

ayx

xdyx

fF

FFFFaaMzxoy

dyxxIydyxyIx

dyx

dyxy

M

M

y

dyx

dyxx

M

M

x

dxdy

y

z

x

z

Ayxfz

rdrdrrfdxdyyxf

2

3

222

2

3

222

2

3

222

22

D

2

2

)(

),(

)(

),(

)(

),(

},,{)0(),,0,0(

),(,),(

),(

),(

,

),(

),(

1),(

)sin,cos(),(















， ，

，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于

轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：

平面薄片的重心：

的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：





























































dvyxIdvzxIdvzyI

dvxMdvz

M

zdvy

M

ydvx

M

x

drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf

ddrdrdrdrrddv

rz

ry

rx

zrrfzrF

dzrdrdzrFdxdydzzyxf

zz

ry

rx

zyx

r

























)()()(

1

,

1

,

1

sin),,(sin),,(),,(

sinsin

cos

sinsin

cossin

),sin,cos(),,(

,),,(),,(,sin

cos

222222

2

00

),(

0

22

2

， ， 转动惯量：

， 其中 重心：

， 球面坐标：

其中：

柱面坐标：

曲线积分：



































)(

)()()()](),([),(

),(,

)(

)(

),(

22

ty

tx

dtttttfdsyxf

t

ty

tx

LLyxf

L















特殊情况：

则： 的参数方程为：上连续，在设

长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧

8

。，通常设

的全微分，其中：才是二元函数时，＝在

：二元函数的全微分求积

注意方向相反！减去对此奇点的积分，

，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、

是一个单连通区域；、

无关的条件：平面上曲线积分与路径

的面积：时，得到，即：当

格林公式：格林公式：

的方向角。上积分起止点处切向量

分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关

，则：的参数方程为设

标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐

0),(),(),(

),(

·

)0,0(),(),(2

1

·

2

1

2,

)()(

)coscos(

)}()](),([)()](),([{),(),(

)(

)(

00

),(

),(

00

























































































yxdyyxQdxyxPyxu

yxuQdyPdx

y

P

x

Q

y

P

x

Q

GyxQyxP

G

ydxxdydxdyAD

y

P

x

Q

xQyP

QdyPdxdxdy

y

P

x

Q

QdyPdxdxdy

y

P

x

Q

L

dsQPQdyPdx

dttttQtttPdyyxQdxyxP

ty

tx

L

yx

yx

DL

DLDL

LL

L













曲面积分：





































dsRQPRdxdyQdzdxPdydz

dzdxzxzyxQdzdxzyxQ

dydzzyzyxPdydzzyxP

dxdyyxzyxRdxdyzyxR

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP

dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf

zx

yz

xy

xy

D

D

D

D

yx

)coscoscos(

]),,(,[),,(

],),,([),,(

)],(,,[),,(

),,(),,(),,(

),(),(1)],(,,[),,(22

系：两类曲面积分之间的关

号。，取曲面的右侧时取正

号；，取曲面的前侧时取正

号；，取曲面的上侧时取正

，其中：对坐标的曲面积分：

对面积的曲面积分：

高斯公式：

9























































dsAdvA

dsRQPdsAdsnA

z

R

y

Q

x

P

dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv

z

R

y

Q

x

P

n

n









div

)coscoscos(

...,0div,div

)coscoscos()(

成：因此，高斯公式又可写

，通量：

则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：

—通量与散度：—高斯公式的物理意义







斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

























































































































dstARdzQdyPdxA

RQP

zyx

A

y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

RQP

zyx

RQP

zyx

dxdydzdxdydz

RdzQdyPdxdxdy

y

P

x

Q

dzdx

x

R

z

P

dydz

z

Q

y

R







的环流量：沿有向闭曲线向量场

旋度：

， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无

上式左端又可写成：

kji

rot

coscoscos

)()()(



常数项级数：

是发散的调和级数：

等差数列：

等比数列：

n

nn

n

q

q

qqq

n

n

1

3

1

2

1

1

2

)1(

321

1

1

112



















级数审敛法：

10

散。存在，则收敛；否则发

、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：

、比值审敛法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：

别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

suuus

U

U

u















































lim;

3

1

1

1

lim

2

1

1

1

lim

1

21

1



















。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足

—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数

11

1

3214321

,

0lim

)0,(























nnn

n

n

nn

n

urrus

u

uu

uuuuuuuu

绝对收敛与条件收敛：

















时收敛

１时发散ｐ

级数：

收敛； 级数：

收敛；发散，而调和级数：

为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果

收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果

为任意实数；，其中

1

1

1

)1(1

)1()1()2(

)1()2(

)2(

)1(

2

321

21

p

n

p

n

nn

uuuu

uuuu

p

n

n

nn





幂级数：

11

0

0

1

0

)3(lim

)3(

1

1

1

1

1

1

1

2

210

32































R

R

R

aa

a

a

R

Rx

Rx

Rx

R

xaxaxaa

x

x

x

xxxx

nn

n

n

n

n

n

n

时，

时，

时，

的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设

称为收敛半径。，其中

时不定

时发散

时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存

收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数

时，发散

时，收敛于















函数展开成幂级数：

































n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

f

x

f

xffxfx

Rxfxx

n

f

R

xx

n

xf

xx

xf

xxxfxf

!

)0(

!2

)0(

)0()0()(0

0lim)(,)(

)!1(

)(

)(

!

)(

)(

!2

)(

))(()(

)(

2

0

1

0

)1(

0

0

)(

2

0

0

00

时即为麦克劳林公式：

充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：

函数展开成泰勒级数：



一些函数展开成幂级数：

)(

)!12(

)1(

!5!3

sin

)11(

!

)1()1(

!2

)1(

1)1(

12

1

53

2



















x

n

xxx

xx

xx

n

nmmm

x

mm

mxx

n

n

nm









欧拉公式：





























2

sin

2

cos

sincos

ixix

ixix

ix

ee

x

ee

x

xixe 或

三角级数：

。上的积分＝

在任意两个不同项的乘积正交性：

。，，，其中，

0

],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1

cossin

)sincos(

2

)sin()(

00

1

0

1

0



















nxnxxxxx

xtAbAaaAa

nxbnxa

a

tnAAtf

nnnnnn

n

nn

n

nn

傅立叶级数：

12

是偶函数 ，余弦级数：

是奇函数 ，正弦级数：

（相减）

（相加）

其中

，周期























































nxa

a

xfnnxdxxfab

nxbxfnxdxxfba

nnxdxxfb

nnxdxxfa

nxbnxa

a

xf

nnn

nnn

n

n

n

nn

cos

2

)(2,1,0cos)(

2

0

sin)(3,2,1nsin)(

2

0

12

4

1

3

1

2

1

1

6

4

1

3

1

2

1

1

24

6

1

4

1

2

1

8

5

1

3

1

1

)3,2,1(sin)(

1

)2,1,0(cos)(

1

2)sincos(

2

)(

0

0

0

2

222

2

222

2

222

2

22

1

0















































周期为l2的周期函数的傅立叶级数：



































l

l

n

l

l

n

n

nn

ndx

l

xn

xf

l

b

ndx

l

xn

xf

l

a

l

l

xn

b

l

xn

a

a

xf

)3,2,1(sin)(

1

)2,1,0(cos)(

1

2)sincos(

2

)(

1

0





其中

，周期







微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，代替分离变量，积分后将，，，则设

的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方

称为隐式通解。 得：

的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程

或 一阶微分方程：

u

x

y

uu

du

x

dx

u

dx

du

u

dx

du

xu

dx

dy

x

y

u

x

y

yxyxf

dx

dy

CxFyGdxxfdyyg

dxxfdyyg

dyyxQdxyxPyxfy

















)(

)(

),(),(

)()()()(

)()(

0),(),(),(







一阶线性微分方程：

13

)1,0()()(2

))((0)(

,0)(

)()(1

)()(

)(





















nyxQyxP

dx

dy

eCdxexQyxQ

CeyxQ

xQyxP

dx

dy

n

dxxPdxxP

dxxP

，、贝努力方程：

时，为非齐次方程，当

为齐次方程，时当

、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。应该是该全微分方程的

，，其中：

分方程，即：中左端是某函数的全微如果

Cyxu

yxQ

y

u

yxP

x

u

dyyxQdxyxPyxdu

dyyxQdxyxP



















),(

),(),(0),(),(),(

0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次

，

0)(

0)(

)()()(

2

2







xf

xf

xfyxQ

dx

dy

xP

dx

yd

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

21

22

,)(2

,,(*)0)(1

,0(*)

rr

yyyrrqprr

qpqyypy

式的两个根、求出

的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：

求解步骤：

为常数；，其中















式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3

21

rr

的形式，

21

rr

(*)式的通解

两个不相等实根

)04(2qpxrxrececy21

21



两个相等实根

)04(2qpxrexccy1)(

21



一对共轭复根

)04(2qp

2

4

2

2

21

pq

p

irir











，

，

)sincos(

21

xcxceyx

二阶常系数非齐次线性微分方程

]sin)(cos)([)(

)()(

,)(

xxPxxPexf

xPexf

qpxfqyypy

nl

x

m

x





















14

大学物理公式集

基本概念（定义和相关公式）

位置矢量：r



，其在直角坐标系中：

kzjyixr







；222zyxr角位置：θ

速度：

dt

rdV



平均速度：

t

rV







速率：

dt

dsV（





VV）角速度：

dt

d

角速度与速度的关系：V=ｒω

加速度：

dt

Vda



或

2

2

dt

rda



平均加速度：

t

Va







角加速度：

dt

d

在自然坐标系中

naaa

n







其中

dt

dVa



（=ｒβ），

r

V

n

a2（=r2ω）

1．力：F



=ｍa



（或F



=

dt

pd



）力矩：FrM







（大小：M=rFcosθ方向：右手螺旋法则）

2．动量：Vmp





，角动量：VmrL







（大小：L=rmvcosθ方向：右手螺旋法则）

3．冲量：dtFI



（=F



Δｔ）；功：rdFA





（气体对外做功：A=∫PdV）

4．动能：mV2/2

5．势能：A保=–ΔE

p

不同相互作用力势能形式

不同且零点选择不同其形式不同，在默认势

能零点的情况下：

机械能：E=E

K

+E

P

6．热量：

CRT

M

Q





其中：摩尔热容量C与

过程有关，等容热容量C

v

与等压热容量C

p

之间的关系为：C

p

=C

v

+R

7．压强：

n

tS

I

S

F

P

3

2





8．分子平均平动能：

kT

2

3



；理想气体内能：

RTsrt

M

E)2(

2





9．麦克斯韦速率分布函数：

NdV

dN

Vf)(

（意义：在V附近单位速度间隔内的分子数所占比率）

10．平均速率：



RT

N

dNdVVVfVV8

0

)(

方均根速率：



RTV2

2

；最可几速率：



RT

p

V3

11．熵：S=KlnΩ（Ω为热力学几率，即：一种宏观态包含的微观态数）

12．电场强度：E



=F



/q

0

（对点电荷：

r

r

q

E

ˆ

42

0







）

13．电势：

a

a

rdEU





（对点电荷

r

q

U

0

4



）；电势能：W

a

=qU

a

(A=–ΔW)

14．电容：C=Q/U；电容器储能：W=CU2/2；电场能量密度ω

e

=ε

0

E2/2

mg(重力)→mgh

-kx（弹性力）→kx2/2

F=

r

r

Mm

G

ˆ

2



(万有引力)→

r

Mm

G

=E

p

r

r

Qq

ˆ

42

0



(静电力)→

r

Qq

0

4

15

15．磁感应强度：大小，B=F

max

/qv(T)；方向，小磁针指向（S→N）。

定律和定理

1．矢量叠加原理：任意一矢量A



可看成其独立的分量

i

A



的和。即：A



=Σ

i

A



（把式中A



换成r



、V



、a



、

F



、E



、B



就分别成了位置、速度、加速度、力、电场强度和磁感应强度的叠加原理）。

2．牛顿定律：F



=ｍa



（或F



=

dt

pd



）；牛顿第三定律：F



′=F



；万有引力定律：

r

r

Mm

GF

ˆ

2





3．动量定理：

pI







→动量守恒：0p



条件0

外

F



4．角动量定理：

dt

LdM





→角动量守恒：0L



条件0

外

M



5．动能原理：

k

EA

（比较势能定义式：

p

EA

保

）

6．功能原理：A外+A非保内=ΔE→机械能守恒：ΔE=0条件A外+A非保内=0

7．理想气体状态方程：

RT

M

PV





或P=nkT（n=N/V，ｋ=Ｒ/N

0

）

8．能量均分原理：在平衡态下，物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其大小都为kT/2。

9．热力学第一定律：Δ

E=Q+A

10．热力学第二定律：孤

立系统：ΔS>0

（熵增加原理）

11．库仑定律：

r

r

Qq

kF

ˆ

2





（k=1/4πε

0

）

12．高斯定理：

0



q

SdE





（静电场是有源场）→无穷大平板：E=σ/2ε

0

13．环路定理：0ldE





（静电场无旋，因此是保守场）

14．毕奥—沙伐尔定律：

2

0

4

ˆ

r

rlId

Bd











直长载流导线：

)cos(cos

421

0







r

I

B



无限长载流导线：

r

I

B





2

0



载流圆圈：

R

I

B

2

0







，圆弧：







22

0

R

I

B



克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不产生其它影响。

开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功而不产生其它影响。

实质：在孤立系统内部发生的过程，总是由热力学概率小的宏观状态向热力学

概率大的状态进行。亦即在孤立系统内部所发生的过程总是沿着无序性

增大的方向进行。

θ

2

I

rPoR

θ

1

I

16

电磁学

1．定义：

①E



和B



：

F



=q(E



+V



×B



)洛仑兹公式

②电势：

r

rdEU





电势差：



ldEU





电动势：



ldK





（

q

F

K非静电





）

③电通量：SdE

e





磁通量：SdB

B





磁通链：Φ

B

=Nφ

B

单位：韦伯（Wb）

磁矩：m



=IS



=ISn

ˆ

④电偶极矩：p



=ql



⑤电容：C=q/U单位：法拉（F）

*自感：L=Ψ/I单位：亨利（H）

*互感：M=Ψ

21

/I

1

=Ψ

12

/I

2

单位：亨利（H）

⑥电流：I=

dt

dq

；*位移电流：I

D

=ε

0dt

d

e



单位：安培（A）

⑦*能流密度：

BES









1

2．实验定律

①库仑定律：

0

2

0

4

r

r

Qq

F









②毕奥—沙伐尔定律：

2

0

4

ˆ

r

rlId

Bd











③安培定律：dF



=Ild



×B



④电磁感应定律：ε感=–

dt

d

B



动生电动势：



ldBV





)(

感生电动势：



ldE

i





（E



i

为感生电场）

*⑤欧姆定律：U=IR（E



=ρj



）其中ρ为电导率

3．*定理（麦克斯韦方程组）

电场的高斯定理：

0



q

SdE







0



q

SdE





静

（E



静是有源场）

0SdE





感

（E



感是无源场）

磁场的高斯定理：0SdB





0SdB





（B



稳是无源场）

0SdB





（B



感是无源场）

E



=F



/q

0

单位：N/C=V/ｍ

B=F

max

/qv；方向，小磁针指向（S→N）；单位：特斯拉（T）=104高斯（G）

Θ⊕

-ql



+q

Sm



E



S



B



17

电场的环路定理：

dt

d

ldEB







0ldE





静

（静电场无旋）



dt

d

ldEB







感

（感生电场有旋；变化的磁场产生感生电场）

安培环路定理：

d

IIldB

00







IldB

0







稳

（稳恒磁场有旋）

dt

d

ldBe





00





感

（变化的电场产生感生磁场）

4．常用公式

①无限长载流导线：

r

I

B





2

0

螺线管：B=ｎμ

0

I

②带电粒子在匀强磁场中：半径

qB

mV

R

周期

qB

m

T

2



磁矩在匀强磁场中：受力F=0；受力矩BmM









③电容器储能：W

c

=

2

1CU2*电场能量密度：ω

e

=

2

1ε

0

E2电磁场能量密度：ω=

2

1ε

0

E2+

0

2

1



B2

*电感储能：W

L

=

2

1LI2*磁场能量密度：ω

B

=

0

2

1



B2电磁场能流密度：S=ωV

④*电磁波：C=

00

1



=3.0×108m/s在介质中V=C/ｎ，频率ｆ=ν=

00

2

1



波动学

1．定义和概念

简谐波方程：x处t时刻相位

振幅

ξ=Acos(ωt+φ-2πx/λ)简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ)

波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)

相位Φ——决定振动状态的量

振幅A——振动量最大值决定于初态ｘ

0

=Acosφ

初相φ——ｘ=0处ｔ=0时相位（x

0

,V

0

）V

0

=–Aωsinφ

频率ν——每秒振动的次数

圆频率ω=2πν决定于波源如：弹簧振子ω=

mk/

周期T——振动一次的时间单摆ω=

lg/

波速V——波的相位传播速度或能量传播速度。决定于介质如：绳V=

/T

光速V=C/n

空气V=

/B

波的干涉：同振动方向、同频率、相位差恒定的波的叠加。

振

动

量

（

位

移

）

0

点

处

相

位

0

点

处

初

相

ｘ

处

落

后

0

点

的

相

位

18

2kπ极大（明纹）

（2ｋ+1）π极小（暗纹）

ｋλ极大（明纹）

（2ｋ+1）λ/2极小（暗纹）

光程：L=ｎｘ（即光走过的几何路程与介质的折射率的乘积。

相位突变：波从波疏媒质进入波密媒质时有相位π的突变（折合光程为λ/2）。

拍：频率相近的两个振动的合成振动。

驻波：两列完全相同仅方向相反的波的合成波。

多普勒效应：因波源与观察者相对运动产生的频率改变的现象。

衍射：光偏离直线传播的现象。

自然光：一般光源发出的光

偏振光（亦称线偏振光或称平面偏振光）：只有一个方向振动成份的光。

部分偏振光：各振动方向概率不等的光。可看成相互垂直两振幅不同的光的合成。

2．方法、定律和定理

①旋转矢量法：

如图，任意一个简谐振动ξ=Acos(ωt+φ)可看成初始角位置为φ以ω

逆时针旋转的矢量A



在ｘ方向的投影。

相干光合成振幅：

A=

cos2

21

2

2

2

1

AAAA

其中：Δφ=φ

1

-φ

2

–



2（r

2

–r

1

）当Δφ=

当φ

1

-φ

2

=0时，光程差δ=（r

2

–r

1

）=

②惠更斯原理：波面子波的包络面为新波前。（用来判断波的传播方向）

③菲涅尔原理：波面子波相干叠加确定其后任一点的振

动。

④*马吕斯定律：I

2

=I

1

cos2θ

⑤*布儒斯特定律：

当入射光以I

p

入射角入射时则反射光为垂直入射面振动的完全偏

振光。I

p

称布儒斯特角，其满足：

tgi

p

=n

2

/n

1

3．公式

振动能量：E

k

=mV2/2=E

k

(t)E=E

k

+E

p

=kA2/2

E

p

=kx2/2=(t)

*波动能量：22

2

1A

I=

VAV22

2

1

∝A2

*驻波：

波节间距ｄ=λ/2

基波波长λ

0

=2L

基频：ν

0

=V/λ

0

=Ｖ/2Ｌ；

谐频：ν=ｎν

0

*多普勒效应：

A



ωφ

ox

A

A

1

A

2

ｏｘ

I

1

θI

2

马吕斯定律

i

P

n

1

I

p

+γ=90°

n

2

γ布儒斯特定律

←λ→

L

19

机械波



s

R

VV

VV





'（V

R

——观察者速度；V

s

——波源速度）

对光波



r

r

VC

VC





'其中V

r

指光源与观察者相对速度。

杨氏双缝：dsinθ=ｋλ（明纹）

θ≈sinθ≈ｙ/Ｄ

条纹间距Δy=D/λd

单缝衍射（夫琅禾费衍射）：

ａsinθ=ｋλ（暗纹）

θ≈sinθ≈ｙ/ｆ

瑞利判据：

θ

min

=1/R=1.22λ/D（最小分辨角）

光栅：

dsinθ=ｋλ（明纹即主极大满足条件）

tgθ=ｙ/ｆ

ｄ=1/ｎ=L/N（光栅常数）

薄膜干涉：（垂直入射）

δ反=2ｎ

2

ｔ+δ

0

δ

0

=0中

λ/2极

增反：δ反=(2k+1)λ/2

增透：δ反=kλ

现代物理

（一）量子力学

1．普朗克提出能量量子化：ε=ｈν（最小一份能量值）

2．爱因斯坦提出光子假说：光束是光子流。

光电效应方程：ｈν=

2

1ｍｖ2+A其中：逸出功A=ｈν

0

（ν

0

红限频率）

最大初动能

2

1ｍｖ2=ｅＵ

a

（Ｕ

a

遏止电压）

3．德布罗意提出物质波理论：实物粒子也具有波动性。

则实物粒子具有波粒二象性：ε=ｈν=mc2对比光的二象性：ε=ｈν=mc2

p=h/λ=mvp=h/λ=mｃ

注：对实物粒子：

2

21

0

c

V

m

m



>0且ν≠ｃ/λ亦ν≠V/λ；而对光子：m

0

=0且ν=C/λ

4．海森伯不确定关系：ΔｘΔｐ

x

≥ｈ/4πΔｔΔE≥ｈ/4π

ｙ

Δy

ｄθ

ｙ

aθ

f

ｙ

ｄ

θ

f

12

ｎ

1

ｔｎ

2

ｎ

3

20

波函数意义：2

0

2=粒子在ｔ时刻ｒ处几率密度。

归一化条件：12dVΨ的标准条件：连续、有限、单值。

（二）狭义相对论：

1．两个基本假设：①光速不变原理：真空中在所有惯性系中光速相同，与光源运动无关。

②狭义相对性原理：一切物理定律在所有惯性系中都成立。

2．洛仑兹变换：

Σ’系→Σ系Σ系→Σ’系

x=γ(x’+vt’)x’=γ(x-vt)

y=y’y’=y

z=z’z’=z

t=γ(t’+vx’/c2)t’=γ(t-vx/c2)

其中：

2

21

1

c

v

因V总小于C则γ≥0所以称其为膨胀因子；称β=

2

21

c

v为收缩因子。

3．狭义相对论的时空观：

①同时的相对性：由Δt=γ(Δt’+vΔx’/c2)，Δt’=0时，一般Δt≠0。称x’/c2为同时性因子。

②运动的长度缩短：Δx=Δx’/γ≤Δx′

③运动的钟变慢：Δt=γΔt’≥Δt′

4．几个重要的动力学关系：

①质速关系m=γm

0

②质能关系E=mc2粒子的静止能量为：E

0

=m

0