2010年考研数学

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不得用于商业用途

2010年考研数学三真题

一.选择题

1.若1])

1

(

1

[lim



x

ox

ea

xx

则a=

A0B1C2D3

2.设

21

,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy



的两个特解，若常数,使

21

yy是该方程的解，

21

yy是该方程对应的齐次方程的解，则

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

A

2

1

,

2

1

B

2

1

,

2

1



C

3

1

,

3

2

D

3

2

,

3

2



3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(



xg若axg)(

0

是g(x)的极值，则f(g(x))在

0

x

取

极大值的一个充分条件是

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

A0)(



afB0)(



afC0)(



afD0)(



af

4设10

10)(,)(,ln)(

x

exhxxgxxf则当x充分大时有

Ag(x)

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

Cf(x)

5设向量组线性表示，，，：，

可由向量组

s

I

21

r

21

II,,:，下列命题正确的是：

A若向量组I线性无关，则srB若向量组I线性相关，则r>s

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

C若向量组II线性无关，则srD若向量组II线性相关，则r>s

6.设A为4阶实对称矩阵，且02AA，若A的秩为3，则A相似于

A





























0

1

1

1

B































0

1

1

1

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

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C

































0

1

1

1

D



































0

1

1

1

7.设随机变量X的分布函数



















1,1

10,

2

1

0,0

)(

xe

x

x

xF

x

，则P（X=1)=

A0B

2

1

C1

2

1

eD11e

sonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

9.

10.设)(

1

xf为标准正态分布概率密度，)(

2

xf为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若













)0,0(

0),(

0),(

)(

2

1ba

xxbf

xxaf

xf为概率密度，则a,b满足：

A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2

二.填空题

sonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

12.

13.设可导函数y=y(x),由方程



xyx

tdttxdte

0

2

0

sin2确定，则____________

0



xdx

dy

14.设位于曲线)(

)ln1(

1

2





xe

xx

y下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x

轴旋转一周所得空间区域的体积为____________

15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p，其中p为价格，且R(1)=1,则

R(p)=________________

sonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

17.

18.若曲线123bxaxxy有拐点(-1,0),则b=_____________

19.设A，B为3阶矩阵，且2,2,31BABA，则_________1BA

sonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu

21.

22.设

___________ET

,

1

T)0)(,(N,,

1

22

321







则

计量的简单随机样本。记统是来自总体

n

i

iX

n

XXX

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三.解答题

23.求极限xx

x

xln

11

)1(lim



24.计算二重积分

D

dxdyyx3)(，其中D由曲线21yx与直线

围成及0202yxyx

。

25.求函数u=xy+2yz在约束条件10222zyx下的最大值和最小值。

26.

（1）比较

1

0

1

0

),2,1(ln)1ln(lnndtttdtttn

n

与的大小，说明理由。

（2）记

1

0

),2,1()1ln(lnndtttun

n

,求极限.lim

n

n

u



19.设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

)3()2()()0(22

0

ffdxxff

（1）证明：存在);0()(),2,0(ff使

（2）证明：存在0)(),3,0(



f使

20

.

的通解。求方程组

、）求（

个不同的解。存在已知线性方程组设

bAx

a

bAx

a

bA

















































)2(

.1

2.

1

1,

11

010

11









21.设



























04

31

410

a

aA，正交矩阵Q使得AQQT为对角矩阵，若Q的第一列为

T)1,2,1(

6

1

，求a、Q.

22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为yxAeyxfyxyx,,),(2222

求常数A及条件概率密度).(xyf

XY

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2

个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。

（1）求随机变量（X,Y）的概率分布；

（2）求Cov（X,Y）.

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2010年考研数学三之答案与解析

答案：CABCADCA

9.-110.

4

2

11

)1(

3

1

3ppe12.313.314.22

三解答题

15.解：

1

ln

11

ln

2

ln

ln

)1(lim

1

ln

ln1

lim

ln1

ln

lim

ln

)1ln(

lim

,0

ln

,,

ln1

1

lim

ln

)1ln(

lim

ln

ln



































ex

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

x

x

x

x

e

xe

x

e

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

故

而当

16.解:

15

14

)(3)321(

2

1

)3(2

)3()33(

1

0

1

2

1

0

1

0

424223

233223

2











y

y

DD

dyyydyyydxxyxdy

dxdyxyxdxdyyyxxyx原式

17.解：

55-55

0,55-,;55,

).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(

,

010

022

022

02

)10(2),,,(

minmax

222

222







































uu

uFEuCBuDA

FEDCBA

zyxF

zyF

yzxF

xyF

zyxyzxyzyxF

z

y

x

，所以

。两点处；在两点处在两处因为在

最可能的最值点令

设











18.

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0lim,0lnlim

)1(

1

1

1

lnln

.ln)]1[ln(ln0)1()2(

.ln)]1[ln(ln

,ln)]1[ln(ln,)1ln(,10)1(

1

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0



























n

n

n

n

nnn

nn

n

nn

nn

udttt

n

dtt

n

tdttdttt

dtttdtttu

dtttdttt

ttttttt

从而

知由

因此，

当解：





19.

0)(),3,0(),,0)(,0)(

0,30),()()0(

).0()(),0(

2

)3()2(

.

2

)3()2(

)(],3,2[

]3,2[)(

2

)3()2(

)2(

).0()(),0(2)()(2)(

),(2)(2)0()2(20

).0()2()(),20()()()1(

21212

1

2

0

2

0

2

00





















































fff

fff

fff

ff

ff

f

xf

ff

fffdxxffdxxf

fFFF

FFdxxfxdttfxFx

使得（从而存在），使，（

），，（根据罗尔定理，存在且由于

故由题设知

使存在

值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于

故由题设知即

），使，（，存在根据拉格朗日中值定理

则设证：

20.解：

为任意常数。其中的通解为所以

时，当

有解，

（

变换的增广矩阵施以初等行时，对当

舍去。所以时，因为当

。或于是

的一个非零解，故是个不同的解，则的为设

kkxbAxB

a

abAx

B

a

a

bA

bAx

bAxbArAr

A

AxbAx

,

1

0

1

0

1

3

2

1

,

0

2

1

2

3

000

010

101

2,1)2(

.2

2

2

1

2

3

000

010

101

1

1

111

020

111

),

1-

,),,()(1

1-1,0)1()1(

0-2,)1(

2

2121

















































































































































































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21

为所求矩阵。故则有令

），，（的一个单位特征向量为属于特征值

），，（的一个单位特征向量为属于特征值

的特征值为所以

的特征多项式由于

解得

的一个特征向量，于是为），，解：由题设，（

QAQQQ

A

AEA

a

a

aA

A

T

T

T

,

4

5

2

,

2

1

3

1

6

1

0

3

1

6

2

2

1

3

1

6

1

101

2

1

4

;11-1

3

1

5

.4,5,2

),4)(5)(2(

.2,1,

1

2

1

1

2

1

04

31

410

1

2

1

121

11

T







































































































































































22.

.,

1

1

1

1

)(

),(

)(),(

.

1

,)(1

,,

),()(

2

22

2

22

2

222

2222

)(

2

22

)(

)(22



























































ye

e

e

e

xf

yxf

xyfx

AAdxeAdxxf

xeAdyeAe

dyeAdyeAdyyxfxf

yx

yxyx

x

yxyx

X

XY

x

X

xxyx

xxyyxyx

X















时，当

从而所以

解：因

23.解：

（1）随机变量（X，Y）的概率分布为：

XY012

01/52/51/15

11/52/150

(2)

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.

45

4

3

2

3

1

15

2

)(),(

.

15

2

)(.

3

2

15

1

2

15

8

1

5

2

0

,

15

1

}2{,

15

8

}1{,

5

2

}0{

3

1

3

1

1

3

2

0,

3

1

}1{,

3

2

}0{









EYEXXYEYXCov

XYEEY

YPYPYP

EXXPXP

所以

又所以，

因为

。所以因为

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不得用于商业用途

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

Forpersonaluonlyinstudyandrearch;notforcommercialu.

NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.

Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.

толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжны

использоватьсявкоммерческихцелях.

以下无正文