高一数学必修一辅导

1.1.1集合的含义与表示（一）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

（2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3）掌握常用数集及其记法；

【教学重点】掌握集合的基本概念；

【教学难点】元素与集合的关系；

【教学过程】

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的

对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高

二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布

课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-5内容

二、新课教学

（一）集合的有关概念

1.一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；

（2）我国的小河流；

（3）非负奇数；

（4）方程210x的解；

（5）某校2007级新生；

（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

2.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，

或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），

因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

3.元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：aA

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

4．集合与元素的字母表示：

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

5．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N

+

；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“”符号填空：

（1）8N；（2）0N；

（3）-3Z；（4）

2

Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，

英国A。

例2．已知集合P的元素为21,,33mmm

,若3∈P且-1P，求实数m的值。

（三）、课堂练习：课本P

5

练习1；

（四）、归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念

作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。

（五）、作业布置：

1．习题1.1，第1-2题；

2．预习集合的表示方法。

1.1.1集合的含义与表示（二）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）了解集合的表示方法；

（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，

感受集合语言的意义和作用；

【教学重点】掌握集合的表示方法；

【教学难点】选择恰当的表示方法；

【教学过程】

一、复习回顾：

１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。

２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系

二、新课教学

（一）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此

之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫

列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开；

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚

后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；

（4）方程组

20;

20.

xy

xy











的解组成的集合。

思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：()xApx

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

1．课本P5最后一段话；

2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同

的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整

数集Z。

辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也

是错误的。

例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

（3）方程组

3;

1.

xy

xy











的解。

思考3：（课本P

6思考）

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（二）．课堂练习：

１．课本P

6

练习2；

２．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

３．集合A＝{x|

4

3x

∈Z，x∈N}，则它的元素是。

４．已知集合A＝{x|-3

法表示是

（三）、归纳小结：

本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

（四）、作业布置：

1．习题1.1，第３．4题；

2．课后预习集合间的基本关系.

1.1.2集合间的基本关系

【课型】新授课

【教学目标】

（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；

（4）了解空集的含义。

【教学重点】子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。

【教学难点】弄清楚属于与包含的关系。

【教学过程】

一、复习回顾：

1.提问：集合的两种表示方法？如何用适当的方法表示下列集合？

（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数

2.用适当的符号填空：0N；Q；-1.5R。

思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

二、新课教学

（一）.子集、空集等概念的教学：

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1）{1,2,3}A，{1,2,3,4,5}B；

（2）{}C汝城一中高一班全体女生，{}D汝城一中高一班全体学生；

（3）{|}Exx是两条边相等的三角形，{}Fxx是等腰三角形

由学生通过观察得结论。

1．子集的定义：

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有

包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：()ABBA或

读作：A包含于B，或B包含A

当集合A不包含于集合B时，记作AB

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中

AB

2．集合相等定义：

如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，

因此集合A与集合B相等，即若ABBA且，则

AB

。

如（3）中的两集合EF。

3．真子集定义：

若集合

AB

，但存在元素,xBxA且，则称集合A是集合B的真子集。

记作：AB（或BA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

如：（1）和（2）中AB，CD；

4．空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集，记作：。

用适当的符号填空：

0；0



；

；0

思考2：课本P

7的思考题

5．几个重要的结论：

（1）空集是任何集合的子集；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。

说明：

1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”

的关系；

2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

B

A

（二）例题讲解：

例1．填空：

（1）．2N；

{2}

N；



A;

（2）．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

AB；AC；{2}C；2C

例2．（课本例3）写出集合

{,}ab

的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例3．若集合260,10,AxxxBxmx

BA，求m的值。（m=0或

11

32

或-

）

例4．已知集合25,121AxxBxmxm

且AB，求实数m的取值范围。

（3m）

（三）、课堂练习：

课本P

7

练习1，2，3

（四）、归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用

Venn图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。

（五）、作业布置：

1．习题1.1，第5题；

2．预习集合的运算。

1.1.3集合的基本运算（一）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握交集与并集的区别与联系；

（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。

【教学重点】交集与并集的概念，数形结合的思想。

【教学难点】理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。

【教学过程】

一、复习回顾：

1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则AS；{x|x∈S且xA}=。

2．用适当符号填空：

0{0}；0Φ；Φ{x|x2＋1＝0,x∈R}

{0}{x|x<3且x>5}；{x|x>6}{x|x<－2或x>5}；{x|x>－3}{x>2}

二、新课教学

（一）.交集、并集概念及性质：

思考：考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1）{1,3,5}A，{2,4,6},1,2,3,4,5,6BC；

（2）{}Axx是有理数，{},BxxCxx是无理数是实数

；

由学生通过观察得结论。

1．并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并

集（uniont）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即

,ABxxA或xB

用Venn图表示：

这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即

AB=C

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪A

A∪B＝A,A∪B＝B.

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;

②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;

．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。

2．交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集

（interctiont），记作A∩B（读“A交B”）即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？

A∩A＝A∩Ф＝A∩BB∩A

A∩B＝AA∩B＝B

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。

AB

A(B)A

B

B

A

BA

（二）例题讲解：

例1．（课本例5）设集合12,13AxxBxx

，求A∪B．

变式：A＝{x|-5≤x≤8}

例2．（课本例7）设平面内直线

1

l上点的集合为L

1，直线

2

l上点的集合为L

2，试用集合的运算

表示

1

l，

2

l的位置关系。

例3．已知集合222190,560AxxmxmByyy

2280Czzz

是否存在实数m，同时满足

,ABAC

？（m=-2）

（三）、课堂练习：

课本P

11

练习1，2，3

（四）、归纳小结：

本节课从实例入手，引出交集、并集的概念及符号；并用Venn图直观地把两个集合之间

的关系表示出来，要注意数轴在求交集和并集中的运用。

（五）、作业布置：

1、习题1.1，第6，7；

2、预习补集的概念。

1.1.3集合的基本运算（二）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义，

（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“

U

CA”的涵义；

（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。

【教学重点】补集的有关运算及数轴的应用。

【教学难点】补集的概念。

【教学过程】

一、复习回顾：

1．提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？

2．提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？

3．交集和补集的有关运算结论有哪些？

4．讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B与R有何关系？

二、新课教学

思考：U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

由学生通过讨论得出结论：

集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。

（一）.全集、补集概念及性质的教学：

1、全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,

记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2、补集的定义：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于

全集U的补集，记作：

U

CA，读作：“A在U中的补集”，即

,

U

CAxxUxA且

用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

讨论：集合A与

U

CA之间有什么关系？→借助Venn图分析

,,()

UUUU

ACAACAUCCAA

,

UU

CUCU

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则

U

CA=，

U

CB=；

②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则

U

CA＝；

③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则

U

CA＝。

（二）例题讲解：

例1．（课本例8）设集,1233456UxABx是小于9的正整数，，，，，，

，求

U

CA，

U

CB．

例2．设全集4,23,33UxxAxxBxx集合

，求

U

CA，

AB，,(),()(),()(),()

UUUUUU

ABCABCACBCACBCAB。

（结论：()()(),()()()

UUUUUU

CABCACBCABCACB）

例3．设全集U为R，22120,50AxxpxBxxxq

，若

()2,()4

UU

CABACB，求AB。（答案：2,3,4）

（三）、课堂练习：

课本P

11

练习4

（四）、归纳小结：

补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn图）。

（五）、作业布置：

习题1.1A组，第9，10；B组第4题。

1.1集合复习课

【课型】新授课

【教学目标】

（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；

（2）掌握集合的有关术语和符号；

（3）运用性质解决一些简单的问题。

【教学重点】集合的相关运算。

【教学难点】集合知识的综合运用。

【教学过程】

一、复习回顾：

1．提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？

2．提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？

3．提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？

3．交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？

4．集合问题的解决方法：Venn图示法、数轴分析法。

二、讲授新课：

（一）集合的基本运算：

例1：设U=R，A={x|-5

U

A、C

U

B、

(C

U

A)∩(C

U

B)、(C

U

A)∪(C

U

B)、C

U

(A∪B)、C

U

(A∩B)。

（学生画图→在草稿上写出答案→订正）

说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：全集U={x|x<10，x∈N



}，AU，BU，且（C

U

B）∩A={1,9}，A∩B={3}，（C

U

A)∩(C

U

B)={4,6,7}，

求A、B。

说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。

（二）集合性质的运用：

例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若A∪B=A，求实数a的值。

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a

（三）巩固练习：

1．已知A={x|-21}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1

2．P={0,1}，M={x|xP}，则P与M的关系是。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为

4人，那么两项都及格的为人。

4．满足关系{1,2}A{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少

个元素？

6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7．设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8．集合A={x|x

2

+px-2=0},B={x|x

2

-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q。

9．A={2，3，a

2

+4a+2}，B={0，7，a

2

+4a-2，2-a}，且A



B={3，7}，求B。

10．已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当AB时，求实数m的取值范围。

（四）、归纳小结：

本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关概念，表示方法及其有关运算，并

进一步巩固了Venn图法和数轴分析法。

（五）、作业布置：

3．课本P14习题1.1B组题；

4．阅读P14～15材料。

1.2.1函数的概念（一）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中

的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

【教学重点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

【教学难点】理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

【教学过程】

一、复习准备：

1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与

之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、讲授新课：

（一）函数的概念：

思考1：（课本P

15）给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与

时间t（秒）的变化规律是21305htt。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭

氧层空洞面积的变化情况。（见课本P

15图）

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高

低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P

16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎

样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关

系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

:fAB

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一

个数x，在集合B中都有唯一确定的数

()fx

和它对应，那么称

:

fAB为从集合A到集合B的

一个函数，记作：

(),yfxxA

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值

的集合{()|}fxxA叫值域。显然，值域是集合B的子集。

（1）一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数2yaxbxc(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域

24

4

acb

Byy

a















；当a﹤0时，值域

24

4

acb

Byy

a















。

（3）反比例函数

(0)

k

yk

x



的定义域是0xx

，值域是0yy

。

（二）区间及写法：

设a、b是两个实数，且a

（1）满足不等式

axb

的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3）满足不等式axbaxb或的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为,,,abab；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P

17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。

我们把满足,,,xaxaxbxb的实数x的集合分别表示为,,,,aa,,,bb。

巩固练习：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（学生做，教师订正）

（三）例题讲解：

例1．已知函数2()23fxxx，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数223,{1,0,1,2}yxxx的值域

例2．已知函数

1

()3

2

fxx

x





，

（1）求2

(3),(),3

3

ffff

的值；

（2）当a>0时，求

(),(1)fafa

的值。

（四）课堂练习：

1．用区间表示下列集合：

4,40,40,1,02xxxxxxxxxxxx且且或

2．已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

3．课本P19练习2。

（五）、归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

（六）、作业布置：

习题1.2A组，第4，5，6；

1.2.1函数的概念（二）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

（2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。

【教学重点】会求一些简单函数的定义域与值域。

【教学难点】复合函数定义域的求法。

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝

x

x23

与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

2.用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax2＋bx＋c（a≠0）、y＝

x

k

(k≠0)的定义域与值域。

二、讲授新课：

（一）函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的

定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

⑴f(x)=

2

3

2



x

x

；⑵f(x)=29x；⑶f(x)=1x－

x

x

2

；

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

说明：求定义域步骤：列不等式（组）→解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；

求法：由a

例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：

（1）

1

()1

4

fxx

x





；（2）

1

()

1

1

fx

x





2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)fx的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

（二）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．（课本P

18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）2()yx；（2）3

3yx

；

（3）2yx；（4）

2x

y

x

。

（三）课堂练习：

1．课本P19练习1，3；

2．求函数y＝－x2＋4x－1，x∈[-1,3)的值域。

（四）、归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。

（五）、作业布置：

习题1.2A组，第1，2；

1.2.2函数的表示法（一）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

【教学重点】会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

【教学难点】分段函数的表示及其图象。

【教学过程】

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

结合课本P

15给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P

19例3）某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y

元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

例2：（课本P

20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及

班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

甲

988791928895

乙9

丙

686573727582

班平均

分

88．278．385．480．375．782．6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

（二）分段函数的教学：

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通

常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数

值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域

上的不同解析式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：（课本P

21例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并

画出函数的图象。

例4．已知f(x)＝











),0[,12

)0,(,32

2xx

xx

，求f(0)、f[f(-1)]的值

（三）课堂练习：

1．课本P23练习1，2；

2．作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

3．某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以

上0.6元／kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y（元）之间的函数y=f(x)。

（四）、归纳小结：

本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以

是一些离散的点、线段、曲线或射线。

（五）、作业布置：

课本P

24习题1.2A组第8，9题；

1.2.2函数的表示法（二）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）了解映射的概念及表示方法；

（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。

【教学重点】求函数的解析式。

【教学难点】对函数解析式方法的掌握。

【教学过程】

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任

意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。

二、讲授新课：

（一）映射的概念教学：

定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中

的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应

:fAB

为从集

合A到集合B的一个映射。记作：

:fAB

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．（课本P

22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对

应；

（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，B=(,),xyxRyR

，对应关系f：平面直

角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内

切圆；

（4）集合A={x|x是新华中学的班级}，集合B={x|x是新华中学的学生}，对应关系：每一个

班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1}，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出

来。

（二）求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）

例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

例5．已知函数f(x)满足

1

()2()fxfx

x



，求函数f(x)的解析式。（消去法）

例6．已知()1fxx，求函数f(x)的解析式。

（三）课堂练习：

1．课本P

23练习4；

2．已知

2

2

11

()

11

xx

f

xx







，求函数f(x)的解析式。

3．已知2

2

11

()fxx

xx



，求函数f(x)的解析式。

4．已知()2()1fxfxx，求函数f(x)的解析式。

（四）、归纳小结：

本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。

（五）、作业布置：

5．课本P24习题1.2B组题3，4；

6．阅读P26材料。

1.2.2函数的表示法（三）

【课型】新授课

【教学目标】

（1）进一步了解分段函数的求法；

（2）掌握函数图象的画法。

【教学重点】函数图象的画法。

【教学难点】掌握函数图象的画法。。

【教学过程】

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并

在黑板上演示它们的画法。

2.讨论：函数图象有什么特点？

二、讲授新课：

例1．画出下列各函数的图象：

（1）

()22(22)fxxx

（2）2()243(03)fxxxx ；

例2．（课本P

21例5）画出函数()fxx的图象。

例3．设,x，求函数()213fxxx的解析式，并画出它的图象。

变式1：求函数()213fxxx的最大值。

变式2：解不等式2131xx。

例4．当m为何值时，方程245xxm有4个互不相等的实数根。

变式：不等式245xxm对xR恒成立，求m的取值范围。

三、课堂练习：

1．课本P

23练习3；

2．画出函数

1

(01)

()

(1)

x

fx

x

xx

















，

，

的图象。

四、归纳小结：

函数图象的画法。

五、作业布置：

课本P

24习题1.2A组题7，B组题2；

1.2函数及其表示复习课

【课型】复习课

【教学目标】

（1）会求一些简单函数的定义域和值域；

（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；

（3）会解决一些函数记号的问题．

【教学重点】求定义域与值域，解决函数简单应用问题。

【教学难点】对函数记号的理解。

【教学过程】

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程→指出题型解答方法）

1．说出下列函数的定义域与值域：

8

35

y

x





；243yxx；

2

1

43

y

xx





；

2．已知

1

()

1

fx

x





，求(2)f，((3))ff，(())ffx；

3．已知

0(0)

()(0)

1(0)

x

fxx

xx



















，

（１）作出()fx的图象；

（２）求(1),(1),(0),{[(1)]}ffffff 的值

二、讲授典型例题：

例１．已知函数

)(xf

=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．

例2．求下列函数的定义域：

（１）

0(1)x

y

xx







；（２）

2

2

4

23

x

y

xx







；

例３．若函数22

2

(1)(1)

1

yaxax

a





的定义域为Ｒ，求实数a的取值范

围．（1,9a）

例４．中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4

元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式

的费用分别为

12

,yy（元）．

（１）．写出

12

,yy与x之间的函数关系式？

（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

三．巩固练习：

1．已知

)(xf

=x2x+3，求：f(x+1)，f(

x

1

)的值；

2．若(12fxxx）,求函数

(xf）

的解析式；

3．设二次函数

)(xf

满足

)2()2(xfxf

且

)(xf

=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求

)(xf

的解析式．

４．已知函数

3

2

31

()

3

x

fx

axax







的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．

四、归纳小结：

本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．

五、作业布置：

7．课本P２４

习题1.２B组题１，３；

8．预习函数的基本性质。

1.3.1单调性与最大（小）值（一）

【课型】新授课

【教学目标】

理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别,学会

运用函数图象理解和研究函数的性质。

【教学重点】掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。

【教学难点】理解概念。

【教学过程】

一、复习准备：

1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2.观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

3.画出函数f(x)=x＋2、f(x)=x2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）

二、讲授新课：

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？当x

1

>x

2

时，f(x

1

)与f(x

2

)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自

变量x

1，x2，当x1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格

的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

2.教学增函数、减函数的证明：

例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，

其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

1、例题讲解

例1（P29例1）如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，

以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律

k

p

V



（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，

当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

例3．判断函数

2

1

y

x





在区间[2，6]上的单调性

三、巩固练习：

1.求证f(x)＝x＋

x

1

的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

2.判断f(x)=|x|、y=x3的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x2－2x的单调性。推广：二次函数的单调性

4.课堂作业：书P32、2、3、4、5题。

四、归纳小结：

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x

1

、x

2

∈给定区间，且x

1

2

；→计算f(x

1

)－f(x

2

)至最简→判断差的

符号→下结论。

五、作业布置：P39、1—3题

1.3.1单调性与最大（小）值（二）

【课型】新授课

【教学目标】

更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几

何意义.

【教学重点】熟练求函数的最大（小）值。

【教学难点】理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。

【教学过程】

一、复习准备：

1.指出函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2.f(x)＝ax2＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？

3.知识回顾：增函数、减函数的定义。

二、讲授新课：

1.教学函数最大（小）值的概念：

①指出下列函数图象的最高点或最低点，→能体现函数值有什么特征？

()23fxx，()23fxx[1,2]x；2()21fxxx，2()21fxxx

[2,2]x

②定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)

≤M；存在x

0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）

③探讨：仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．

→一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法）→试举例说明方法.

2、例题讲解：

例1（学生自学P30页例3）

例2．（P31例4）求函数

2

1

y

x





在区间[2，6]上的最大值和最小值．

例3．求函数1yxx的最大值

探究：

3

2

y

x





的图象与

3

y

x



的关系？

（解法一：单调法；解法二：换元法）

三、巩固练习：

1.求下列函数的最大值和最小值：

（1）2

53

32,[,]

22

yxxx

；

（2）|1||2|yxx

2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如

右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律→建立函数模型→求解最大值）

3、求函数21yxx的最小值.

四、归纳小结：

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范

围确定函数的最值．

（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．

（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

五、作业布置：

P39页A组5；B组1、2

房价

（元）

住房率（%）

16055

14065

12075

10085

1.3.2奇偶性

【课型】新授课

【教学要求】理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。

【教学重点】熟练判别函数的奇偶性。

【教学难点】理解奇偶性。

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：什么叫增函数、减函数？

2.指出f(x)＝2x2－1的单调区间及单调性。→变题：|2x2－1|的单调区间

3.对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x)。

二、讲授新课：

1.教学奇函数、偶函数的概念：

①给出两组图象：()fxx、

1

()fx

x



、3()fxx；2()fxx、()||fxx.

发现各组图象的共同特征→探究函数解析式在函数值方面的特征

②定义偶函数：一般地，对于函数

()fx

定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么函数

()fx

叫偶函数.

③探究：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义.

（如果对于函数定义域内的任意一个x，都有()()fxfx），那么函数()fx叫奇函数。

④讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）

⑤练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。

（假如f(x)是奇函数呢？）

1.教学奇偶性判别：

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）2()[1,2]fxxx（2）

32

()

1

xx

fx

x







例2．判断下列函数的奇偶性

（1）4()fxx（2）5()fxx（3）

1

()fxx

x



（4）

2

1

()fx

x



．

（5）

2

2

1

1(0)

2

()

1

1(0)

2

xx

gx

xx





















（6）1122xxy

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法）→按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上

的单调性。（小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证

明。

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性：

f(x)＝|x＋1|+|x－1|、f(x)＝

2

3

x

、f(x)＝x＋

x

1

、f(x)＝

21x

x



、f(x)＝x2,x∈[-2,3]

2.设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝

1

1

x

，求f(x)、g(x)。

4.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（）函数，

且最值是。

四、归纳小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，

用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与

奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这

两个性质．

五、作业布置

P39页A组6；B组3

1.3函数的基本性质应用

【课型】练习课

【教学目标】

掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决

一些问题。

【教学重点】掌握函数的基本性质。

【教学难点】应用性质解决问题。

【教学过程】

一、复习准备：

1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？

2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、教学典型习例:

1.函数性质综合题型：

①出示例1：作出函数y＝x2－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作→口答

→思考：y＝|x2－2x－3|的图像的图像如何作？→

②讨论推广：如何由()fx的图象，得到(||)fx、|()|fx的图象？

③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

分析证法→教师板演→变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）

2.教学函数性质的应用：

①出示例：求函数f(x)＝x＋

x

1

(x>0)的值域。

分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。→探究：计算机作图与结论推广

②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销

售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？

最大是多少？

分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。

2.基本练习题：

1、判别下列函数的奇偶性：y＝1x＋1x、y＝















)0(

)0(

2

2

xxx

xxx

（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=?）

2、求函数y＝x＋21x的值域。

3、判断函数y=

1

2





x

x

单调区间并证明。

（定义法、图象法；推广：

bax

dcx





的单调性）

4、讨论y=21x在[-1,1]上的单调性。（思路：先计算差，再讨论符号情况。）

三、巩固练习：

1.求函数y=

cx

bax



2

为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。（c=0）

2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

3.f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。

4.求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。

四、归纳小结：

本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质解题

五、作业布置

P44页A组9、10题；B组6题

2.1.1指数与指数幂的运算(一)

【课型】新授课

【教学目标】

了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法.理解根式的概念

【教学重点】掌握n次方根的求解.

【教学难点】理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景

【教学过程】

一、复习准备：

1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a、3a）

2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个

数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.→记法：3,aa

二.讲授新课:

1.教学指数函数模型应用背景：

①探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.

实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？

实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）

计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？

②课本P52问题1.国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总

值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP为2000年的多少倍？

课本P52问题2.生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后

体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为5730

1

()

2

t

P.探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科

学.

2.教学根式的概念及运算：

①复习实例蕴含的概念：2(2)4,

2

就叫4的平方根；3327，3就叫27的立方根.

探究：4(3)81,

3

就叫做

81

的？次方根,依此类推,若nxa,那么x叫做a的n次方根.

②定义n次方根：一般地，若nxa,那么x叫做a的n次方根.(

n

throot),其中

1n

,n

简记：na.例如：328，则382

③讨论：当n为奇数时,n次方根情况如何？,例如:3273,3273,记：nxa

当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如:4(3)81,

81

的4次方根就是

3

,记：na

强调：负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，即.00n

④练习：4ba,则a的4次方根为；3ba,则a的3次方根为.

⑤定义根式：像na的式子就叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

⑥计算2

2(3)、3

34、

(2)n

n

→探究：()n

na、n

na的意义及结果？（特殊到一般）

结论：()n

naa.当n是奇数时，aan

n；当n是偶数时，

(0)

||

(0)

n

n

aa

aa

aa













3、例题讲解（P5O例题1）：求下列各式的值

3

3(1)(8)2(2)(10)4

4(3)(3)2(4)()ab

三、巩固练习：

1.计算或化简：532；3

6a（推广：np

n

mpmaa，a0）.

2、化简：

526743642

；6

3231.512

3、求值化简：3

3()a；4

4(7)；6

6(3)；2

2()ab（

ab

）

四、归纳小结：

1．根式的概念：若n＞1且*nN

，则n,xaxan是的次方根,n为奇数时,=

n为偶数时，nxa；

2．掌握两个公式：

(0)

,||

(0)

n

nn

aa

nanaa

aa













n为奇数时,()为偶数时,

五、作业布置：P59、1题.

2.1.1指数与指数幂的运算(二)

【课型】新授课

【教学目标】

使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的

运算.

【教学重点】有理数指数幂的运算.

【教学难点】有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：什么叫根式？→根式运算性质：()n

na=？、n

na=？、np

mpa=？

2.计算下列各式的值：2

2()b；3

3(5)；2

43，5

10a，3

97

二、讲授新课：

1.教学分数指数幂概念及运算性质:

①引例：a>0时，

10

5

10252

5

5()aaaa→3

12?a；3

2

3

3

3

2

3

2)(aaa

→?a.

②定义分数指数幂：

规定*(0,,,1)

m

n

m

naaamnNn

；*

11

(0,,,1)

m

n

m

n

m

n

aamnNn

a

a





③练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：n

ma(0,,1)amnNn；2

53；3

45

B.求值

2

327；

2

55；

4

36

；

5

2a.

④讨论：0的正分数指数幂？0的负分数指数幂？⑤指出：规定了分数指数幂的意义后，指

数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有

理数指数幂．

指数幂的运算性质：0,0,,abrsQ

ra·srraa；rssraa)(；srraaab)(．

2.教学例题：

（1）、（P

51，例2）

解：①

222

3

32

3338(2)224

②

111

2()

21

222

1

25(5)55

5





③5151(5)

1

()(2)232

2



④

33

4()

3

44

162227

()()()

81338





（2）、（P

51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）

解：

117

3

33



228

2

3

222

333aaaaaa

3

1442

1

3333

2()aaaaaaa

3、无理指数幂的教学

23的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P

58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？

三、巩固练习：

1、练习：书P541、2、3题.

2、求值:

2

327;

4

316

;3

3

()

5

;

2

3

25

()

49



3、化简：

2115

11

3366

22(3)(8)(6)ababab；

3

1

16

8

4()mn

4.计算：

1221

2

1

(2)()

2

48

nn

n







的结果

5.若

1

3

10

7

3103

3

3,384,[()]n

a

aaa

a

求的值

四.归纳小结：

1．分数指数是根式的另一种写法.

2．无理数指数幂表示一个确定的实数.

3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.

五、作业布置：课本P592、4题.

2.1.1指数与指数幂的运算（三）

【课型】练习课

【教学目标】

n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式,掌握根式与分数指数幂的运算.

【教学重点】掌握根式与指数幂的运算.

【教学难点】准确运用性质进行计算.

【教学过程】

一、复习提问:（学生回答,老师板演）

1.提问：什么叫做根式?运算性质？

2.提问：分数指数幂如何定义？运算性质？

3.基础习题练习：（口答下列基础题）

①n为时，

(0)

||...........

(0)

n

n

x

xx

x













.

②求下列各式的值：3

62;416;681；6

2)2(；1532；4

8x；6

42ba

二、教学典型例题：

例1．（P

52，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）

2115

11

3366

22(2)(6)(3)ababab

（2）

3

1

8

8

4()mn

例2．（P

52例5）计算下列各式

（1）3

4(25125)25

（2）

2

3

2

(

.

a

a

aa

＞0）

例3．.已知

11

22aa



=3，求下列各式的值:

（１）1aa

；（２）22aa

；（３）

33

22

11

22

aa

aa









．

三、巩固练习：

1.化简：)()(4

1

4

1

2

1

2

1

yxyx.

2.已知

12

(),0xfxxx，试求)()(

21

xfxf的值

3.用根式表示

2

1

3

4()mn



，其中,0mn.

4.已知x+x-1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(2

3

2

3

2

1

2

1

xxxx

5.求值：2

3

25;

2

327;

3

2

36

()

49

;

3

2

25

()

4



;

3

4

2819;6

3231.512

6.已知32xab,求4

2362xaxa

的值.

7．从盛满1升纯酒精的容器中倒出

3

1

升，然后用水填满，再倒出

3

1

升，又用水填满，这样进

行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

四、归纳小结：

1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.

2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.

五，作业布置

化简：（1）5

2

9

3

22

3

2(9)(10)100

（2）322322

（3）a

aaa

2.1.2指数函数及其性质（一）

【课型】新授课

【教学目标】

使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数

函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.

【教学重点】掌握指数函数的的性质．

【教学难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？

2.提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？

二、讲授新课：

1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：

①探究两个实例：

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂

成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是

什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间

x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

②讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③定义：一般地，函数(0,1)xyaaa且叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自

变量，函数的定义域为R.

④讨论：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？→举例：生活中其它指数模

型？

2.教学指数函数的图象和性质：

①讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

②回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

③作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：

1

()

2

xy，2xy（师生共作→小结作法）

④探讨：函数2xy与

1

()

2

xy

的图象有什么关系？如何由2xy的图象画出

1

()

2

xy

的图象？

根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质.→变底数为3或1/3等后？

⑤根据图象归纳：指数函数的性质(书P56)

3、例题讲解

例1：（P

56例6）已知指数函数()xfxa（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求

(0),(1),(3)fff的值.

例2：（P

56例7）比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5与1.73

(2)0.10.8与0.20.8

(3)1.70.3与0.93.1

例3：求下列函数的定义域：

（1）

4

42xy

（2）||

2

()

3

xy

三、巩固练习：

4、P581、2题

5、函数2(33)xyaaa是指数函数，则a的值为.

3、比较大小：0.70.90.80.8,0.8,1.2abc；01,2.50.4,

0.22,1.62.5.

4、探究：在[m，n]上，()(01)xfxaaa且值域？

四、归纳小结

1、理解指数函数(0),101xyaaaa注意与两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思

想.

五、作业布置

P59习题2.1A组第5、7、8题

2.1.2指数函数及其性质（二）

【课型】新授课

【教学目标】

熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；

培养学生数学应用意识

【教学重点】掌握指数函数的性质及应用．

【教学难点】理解指数函数的简单应用模型．

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：指数函数的定义？底数a可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数的图象

是2.在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2xy，

1

()

2

xy，5xy，

1

()

5

xy

,10xy,

1

()

10

xy

3.提问：指数函数具有哪些性质？

二、讲授新课：

1.教学指数函数的应用模型：

①出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世

界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达

到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本

国策．

(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少

倍？

(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？

（师生共同读题摘要→讨论方法→师生共练→小结：从特殊到一般的归纳法）

②练习：2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的

总产值为原来的多少倍？→变式：多少年后产值能达到120亿？

③小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？→一般形

式：

2.教学指数形式的函数定义域、值域：

①讨论：在[m，n]上，()(01)xfxaaa且值域？

②出示例1.求下列函数的定义域、值域：21xy;513xy;

1

10.4xy.

讨论方法→师生共练→小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）

②出示例2.求函数

1

2

2

xy的定义域和值域.

讨论：求定义域如何列式？求值域先从那里开始研究？

3、例题讲解

例1求函数

21

21

x

x

y







的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

例2（P

57例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长

率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

例3、已知函数2,1,2329•xyxx，求这个函数的值域

三、巩固练习：

1、P58、3

2、一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，

y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3

3.比较下列各组数的大小：

13

22

2

()0.4

5



与（）；0.760.75

3

3

3

（）与（）.

四、归纳小结

本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞1或0＜a＜时xya的图象，在此

基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如xyka（a＞0且a≠1）.

五、作业布置

1、P59、9

2、设312

12

,,xxyaya其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，有：

①

12

yy②

1

y＞

2

y

2.2.1对数与对数运算（一）

【课型】新授课

【教学目标】

理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互化．

【教学重点】掌握对数式与指数式的相互转化.

【教学难点】对数概念的理解.

【教学过程】

一、复习准备：

1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭

（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？（得到：4

1

()

2

＝？，

1

()

2

x＝0.125x=?）

2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年

国民生产是2002年的2倍？（得到：(18%)x=2x=?）

问题共性：已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：课本实例由1.01xm求x

二、讲授新课：

1.教学对数的概念：

①定义：一般地，如果xaN

(0,1)aa，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）.

记作log

a

xN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数→探究问题1、2的指化对

②定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（commonlogarithm），并把常用对数

10

logN

简记为lgN在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自

然对数，并把自然对数log

e

N简记作lnN→认识：lg5;lg3.5；ln10；ln3

③讨论：指数与对数间的关系（0,1aa时，xaNlog

a

xN）

负数与零是否有对数？（原因：在指数式中N>0）

log1?

a

，log?

a

a

④：对数公式

NaN

alog

，

nan

a

log

2.教学指数式与对数式的互化：

①出示例1.将下列指数式写成对数式：35125；7

1

2

128



；327a；2100.01

（学生试练→订正→注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体）

②出示例2.将下列对数式写成指数式：

1

2

log325；lg0.001=-3；ln100=4.606

（学生试练→订正→变式：

1

2

log32?lg0.001=？）

3、例题讲解

例1（P

63例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）54=645（2）6

1

2

64



（3）

1

()5.73

3

m

（4）

1

2

log164（5）

10

log0.012（6）log102.303

e



例2：（P

63例2）求下列各式中x的值

（1）

64

2

log

3

x

（2）log86

x

（3）

lg100x

（4）2lnex

三、巩固练习：

1.课本64页练习1、2、3、4题

2．计算：27log

9

；

3

log243；

43

log81；

(23)

log(23)





；

3

45

log625

.

3．求logloglog,abc

bcNa+的值(a,b,cR且不等于1，N＞0）.

4．计算3

3

1

log

log

5

533的值.

四.归纳小结：

对数的定义：log(bN

a

aNba＞0且a≠1）

1的对数是零，负数和零没有对数

对数的性质：log1

a

aa＞0且a≠1

log

a

NaN

五．作业布置：P74、1、2

2.2.1对数与对数运算（二）

【课型】新授课

【教学目标】

掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问

题.

【教学重点】运用对数运算性质解决问题

【教学难点】对数运算性质的证明方法

【教学过程】

一、复习准备：

1．提问：对数是如何定义的？→指数式与对数式的互化：xaNlog

a

xN

2．提问：指数幂的运算性质？

二、讲授新课：

1.教学对数运算性质及推导：

①引例：由pqpqaaa，如何探讨log

a

MN和log

a

M、log

a

N

之间的关系？

设log

a

Mp,log

a

Nq，由对数的定义可得：M=pa，N=qa

∴MN=paqa=qpa

∴

a

logMN=p+q，即得

a

logMN=

a

logM+

a

logN

②探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？

如果a>0，a1，M>0，N>0，则

aaa

log(MN)=logM+logN;

aaa

M

log=logM-logN

N

；()n

aa

logM=nlogMnR

③讨论：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将

对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成

对数式）

④运用换底公式推导下列结论：

loglog

m

n

a

a

n

bb

m

；

1

log

loga

b

b

a



2.教学例题：

例1.判断下列式子是否正确，（a＞0且a≠1，x＞0且a≠1，x＞0，x＞y），

（1）logloglog()

aaa

xyxy（2）logloglog()

aaa

xyxy

（3）

logloglog

aaa

x

xy

y



（4）logloglog

aaa

xyxy

（5）(log)logn

aa

xnx（6）

1

loglog

aa

x

x



（7）

1

loglogn

aa

xx

n



例2（P

65例3例4）：用log

a

x，log

a

y，log

a

z表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）

小题的值.

（1）

log

a

xy

z

（2）

2

3

log

8a

xy

（3）75log(42)

z

（4）5lg100

三、巩固练习：

1、P681、2、3

3.设lg2a,lg3b，试用a、

b

表示

5

log12.

变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg3的值.

3、计算：

7

lg142lglg7lg18

3



；

lg243

lg9

；

lg27lg83lg10

lg1.2



.

4.试求2lg2lg2lg5lg5的值

5.设a、b、c为正数，且346abc，求证：

111

2cab



四、归纳小结：

对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式.

五、作业布置：P743、4、5

2.2.1对数与对数运算（三）

【课型】新授课

【教学目标】

能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解决应用问

题的能力．

【教学重点】用对数运算解决实践问题.

【教学难点】如何转化为数学问题

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：对数的运算性质及换底公式？

2.已知

2

log3=a，

3

log7=b,用a,b表示

42

log56

3.问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我

国人口总数将超过14亿？（答案：12(10.0125)14x→

7

1.0125

6

x

→

lg7lg6

12.4

lg1.0125

x





）

二、讲授新课：

1.教学对数运算的实践应用：让学生自己阅读思考P

67~P68的例5，例6的题目，教师点

拨思考：

①出示例120世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用

测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我

们常说的里氏震级M，其计算公式为：

0

lglgMAA，其中A是被测地震的最大振幅，

0

A是

“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.

（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时

标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多

少倍？（精确到1）

②分析解答：读题摘要→数量关系→数量计算→如何利用对数知识？

③出示例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年

衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P

与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：

（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的

关系，指出是我们所学过的何种函数？

（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来

解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？

④分析解答：读题摘要→寻找数量关系→强调数学应用思想

⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？

结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数xP)

2

1

(5730

；

6、例题选讲

例1、已知：45log,518,8log

3618

求ba（用含a，b的式子表示）

例2、计算

9

1

log

8

1

log

25

1

log

532

••

例3，

)2lg(2lglgyxyx已

求

y

x

2

log的值

三、巩固练习：

1.计算：0.2

1log35；4

491

2

log3log2log32

2.我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？

3.P68、4

四、归纳小结：

初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）；用数学结果解释现象

五、作业布置

P749、11、12

2.2.2对数函数及其性质（一）

【课型】新授课

【教学目标】

通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体

会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象

和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题.

【教学重点】对数函数的图象和性质

【教学难点】对数函数的图象和性质及应用

【教学过程】

一、复习准备：

1.画出2xy、

1

()

2

xy

的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.

2.根据教材P

73

例，用计算器可以完成下表：

碳14的含量P

0.50.30.10.010.001

生物死亡年数t

讨论：t与P的关系？（对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系

5730

1

2

logtP

，生物

死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数）

二、讲授新课：

1.教学对数函数的图象和性质：

①定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数

a

y=logx叫做对数函数(logarithmicfunction).

自变量是x；函数的定义域是（0，+∞）

②辨析：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：

2

2logyx，

5

log(5)yx

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制0(a，且)1a．

③探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

④练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象xy

2

log；

0.5

logyx

⑤讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

列表归纳：分类→图象→由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）

引申：图象的分布规律？

2、总结出的表格

图象的特征函数的性质

（1）图象都在y轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0

（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐

渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降.

（3）当a＞1时，logx

a

y是增函数，当

0＜a＜1时，log

a

yx是减函数.

（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）

点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点

左边的纵坐标都小于0.当0＜a＜1时，

图象正好相反，在（1，0）点右边的纵

坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐

标都大于0.

（4）当a＞1时

x

＞1，则log

a

x＞0

0＜

x

＜1，log

a

x＜0

当0＜a＜1时

x

＞1，则log

a

x＜0

0＜

x

＜1，log

a

x＜0

2.教学例题

例1：（P71例7）求下列函数的定义域

（1）2log

a

yx（2）log(4)

a

yx（a＞0且a≠1）

例2.（P72例8）比较下列各组数中的两个值大小

（1）

22

log3.4,log8.5

（2）

0.30.3

log1.8,log2.7

（3）log5.1,log5.9

aa

（a＞0，且a≠1）

三、巩固练习：

1、P73页3、4题

2．求下列函数的定义域：

0.2

log(6)yx；3

2

logyx.

3．比较下列各题中两个数值的大小：

22

log3log3.5和；

0.30.2

log4log0.7和；

0.70.7

log1.6log1.8和；

23

log3log2和．

4.已知下列不等式，比较正数m、n的大小：

3

logm＜

3

logn；

3.0

logm＞

3.0

logn；

a

logm＞

a

logn(a＞1)

5.探究：求定义域

2

log(35)yx；

0.5

log43yx.

四、归纳小结：

对数函数的概念、图象和性质;求定义域；利用单调性比大小.

五、作业布置

P74页7、8、10

2.2.2对数函数及其性质（二）

【课型】新授课

【教学目标】

了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学习反函数

的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数

的图象性质.

【教学重点与难点】理解反函数的概念

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：对数函数log(0,1)

a

yxaa且的图象和性质？

2.比较两个对数的大小：

10

log7与

10

log12；

0.5

log0.7与

0.5

log0.8

3.求函数的定义域1

3

1log2yx

；log(28)

a

yx

二、讲授新课：

1.教学对数函数模型思想及应用:

①出示例题（P72例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式lg[]pHH，

其中[]H表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？

（Ⅱ）纯净水7[]10H摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.

②讨论：抽象出的函数模型？如何应用函数模型解决问题？→强调数学应用思想

2．反函数的教学:

①引言:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把

这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数（inverfunction）

②探究：如何由2xy求出x？

③分析：函数

2

logxy由2xy解出，是把指数函数2xy中的自变量与因变量对调位置而得

出的.习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为xy

2

log.

那么我们就说指数函数2xy与对数函数xy

2

log互为反函数

④在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2xy及其反函数

2

logyx图象，发现什么性质？

⑤分析：取2xy图象上的几个点，说出它们关于直线xy的对称点的坐标，并判断它们是

否在xy

2

log的图象上，为什么？

⑥探究：如果

000

(,)Pxy在函数2xy的图象上，那么P

0关于直线

yx

的对称点在函数

xy

2

log的图象上吗，为什么？

由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线xy对称)

3、例题讲解

例1、求下列函数的反函数

（1）5xy（2）

0.5

logyx

例2、求函数)176(log2

2

1

xx的定义域、值域和单调区间

三、巩固练习：

1练习：求下列函数的反函数：3xy；

6

logyx

（师生共练→小结步骤：解x；习惯表示；定义域）

2.求下列函数的反函数：y=(2)x(x∈R)；y=

a

log

2

x

(a＞0,a≠1,x＞0)

3．己知函数()xfxak的图象过点（1，3）其反函数-1yfx的图象过（2，0）点，求fx

的表达式.

4．教材P75、B组1、2

四、归纳小结：

函数模型应用思想；反函数概念；阅读P73材料

五、作业布置

P74页、9、12

2.3幂函数

【课型】新授课

【教学目标】

通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能

进行简单的应用.

【教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.

【教学难点】画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.

【教学过程】

一、新课引入：

（1）边长为a的正方形面积2aS，这里S是a的函数；

（2）面积为

S

的正方形边长2

1

Sa，这里a是

S

的函数；

（3）边长为a的立方体体积3aV，这里

V

是a的函数；

（4）某人ts内骑车行进了1

km

，则他骑车的平均速度skmtv/1，这里v是t的函数；

（5）购买每本1元的练习本w本，则需支付wp元，这里p是w的函数.

观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）

二、讲授新课：

1、教学幂函数的图象与性质

①给出定义：一般地，形如xy)(Ra

的函数称为幂函数，其中



为常数.

②练：判断在函数23

1

,2,,1yyxyxxy

x



中，哪几个函数是幂函数？

③作出下列函数的图象：（1）xy；（2）

1

2yx；（3）2xy；（4）1xy；（5）3xy．

④引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：

（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（Ⅱ）

0

时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当

1

时，

幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；

（Ⅲ）

0

时，幂函数的图象在区间

),0(

上是减函数．在第一象限内，

当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于

时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

2、教学例题：

例1（P78例1）．证明幂函数()[0,]fxx在上是增函数

证：任取

121

,[0,),xxx且＜

2

x则

1212

()()fxfxxx

=1212

12

()()xxxx

xx





=12

12

xx

xx





因

12

xx＜0，

12

xx＞0

所以

12

()()fxfx，即()[0,]fxx在上是增函数.

例2.比较大小：5.1)1(a与5.1a；

2

2

3(2)a与

2

32；2

1

1.1

与2

1

9.0.

、

三、巩固练习：

1、论函数3

2

xy的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

2.比较下列各题中幂值的大小：4

3

3.2与4

3

4.2

；5

6

31.0与5

6

35.0

；2

3

)2(

与2

3

)3(.

四、归纳小结：

提问方式：

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

五、作业布置

P79页1、2、3题

第二章、基本初等函数习题课

【课型】复习课

【教学要求】

掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指

数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.

【教学重点】指数函数的图象和性质.

【教学难点】指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.

【教学过程】

一、复习准备：

1.提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.

2.求下列函数的定义域：12

1

8xy；

x

y















2

1

1；2log(1)(0,1)

a

yxaa且

3.比较下列各组中两个值的大小：6log7log

76

与；8.0loglog

23

与

；5.37.201.101.1与

二、典型例题：

例1：已知

54

log27＝a，54b＝3，用

108

,log81ab表示的值

解法1：由54b＝3得

54

log3＝b

∴

108

log81＝54

54

log81

log108

＝5454

5454

log27log3

log212log272

abab

a









解法2：由

54

log275427a得

设

108

log81,10881xx则

所以21(5427)327x

即：2(5454)5454axba

所以25454,2xaxabxaxab即

因此得：

2

ab

x

a







例2、函数

1

2

log2yx

的定义域为.

例3、函数232

1

()

2

xxy

的单调区间为.

例4、已知函数

)10(

1

1

log)(





aa

x

x

xf

a

且

.判断

)(xf

的奇偶性并予以证明.

例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x，

写出本利和y随存期x变化的函数解析式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计

算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利

息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息.）

（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的

应用问题.）

三、巩固练习：

1.函数

3

log(45)yx的定义域为.，值域为.

2.函数2322xxy的单调区间为.

3.若点

)

4

1

,2(

既在函数baxy2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=______，b=_______

4.函数12xay(

0a

，且

1a

)的图象必经过点.

5.计算



















2

1

75.0

3

4

3

0

3

1

01.0162

5

4

064.0

.

6.求下列函数的值域：

xy2

1

5;

x

y

















1

3

1

;1

2

1

















x

y;xy21

四、小结

本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力

五、课后作业：

教材P82复习参考题A组1——8题

3.1.1方程的根与函数的零点

【课型】新授课

【教学目标】

1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存

在的判定条件．

2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在

某个区间上存在零点的判断方法．

【教学重点、难点】

重点:零点的概念及存在性的判定．

难点:零点的确定．

【学法与教学用具】

1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，

从而完成本节课的教学目标。

2．教学用具：投影仪。

【教学过程】

(一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

（用投影仪给出）

①方程0322xx与函数322xxy

②方程0122xx与函数122xxy

③方程0322xx与函数322xxy

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零

点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

（二）互动交流研讨新知

函数零点的概念：

对于函数

))((Dxxfy

，把使

0)(xf

成立的实数x叫做函数

))((Dxxfy

的零点．

函数零点的意义：

函数

)(xfy

的零点就是方程

0)(xf

实数根，亦即函数

)(xfy

的图象与x轴交点的横坐标．

即：方程

0)(xf

有实数根函数

)(xfy

的图象与x轴有交点函数

)(xfy

有零点．

函数零点的求法：

求函数

)(xfy

的零点：

①（代数法）求方程

0)(xf

的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

)(xfy

的图象联系起来，并利用

函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

①代数法；②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数)0(2acbxaxy．

（１）△＞０，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，

二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一

个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程

02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无

零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数32)(2xxxf的图象：

①在区间

]1,2[

上有零点______；

)2(f

_______，

)1(f

_______,

)2(f

·

)1(f

_____0（＜或＞＝）．

②在区间

]4,2[

上有零点______；

)2(f

·

)4(f

____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数

)(xfy

的图象

①在区间

],[ba

上______(有/无)零点；

)(af

·

)(bf

_____0（＜或＞＝）．

②在区间

],[cb

上______(有/无)零点；

)(bf

·

)(cf

_____0（＜或＞＝）．

③在区间

],[dc

上______(有/无)零点；

)(cf·)(df_____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是

否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

（三）、巩固深化，发展思维

1．学生在教师指导下完成下列例题

例1．求函数f(x)=322xx的零点个数。

问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数2223xxxy，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的

图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利

用函数单调性判断零点的个数．

2．P88页练习第二题的（1）、（2）小题

（四）、归纳整理，整体认识

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

（五）、布置作业

P88页练习第二题的（3）、（4）小题。

3.1.2用二分法求方程的近似解(1)

【课型】新授课

【教学目标】

理解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序

化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

【教学重点、难点】

重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点：为何由︱a－b︳＜



便可判断零点的近似值为a(或b)?

【教学设想】

（一）、创设情景，揭示课题

提出问题：

（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的

根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？

（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，

如何找到这个零点呢？

（二）、研讨新知

一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要

求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在

的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以

零点在区间（2.5，3）内；

再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)

＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；

重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精

确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点

作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜

0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，即方程㏑x＋2x－

6=0近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方

法．

生：认真理解二分法的函数思想，根据课本上二分法的一般步骤，探索求法。

2．为什么由︱a－b︳＜



便可判断零点的近似值为a（或b）？

先由学生思考几分钟，然后作如下说明：

设函数零点为x

0

，则a＜x

0

＜b，则：

0＜x

0

－a＜b－a，a－b＜x

0

－b＜0；

由于︱a－b︳＜



，所以

︱x

0

－a︳＜b－a＜



,︱x

0

－b︳＜∣a－b∣＜



,

即a或b作为零点x

0

的近似值都达到了给定的精确度



。

（三）、巩固深化，发展思维

1．学生在老师引导启发下完成下面的例题

例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）

问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）

的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分

法求解．

（四）、归纳整理，整体认识

在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：

（1）本节我们学过哪些知识内容？

（2）你认为学习“二分法”有什么意义？

（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？

（五）、布置作业

P92习题3.1A组第4题，第5题。

3.1.2用二分法求方程的近似解(2)

【课型】新授课

【教学目标】

继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一

结论的实质；通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

【教学难点】

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

【教具准备】

多媒体课件、投影仪.

【教学过程】

一、创设情景，引入新课

师：观察二次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3

在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在

区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?

引导学生探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，

f（1）＜0，即f（－2）·f（1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=

－1，它是方程x2－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）

＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x2－

2x－3=0的另一个根.

我们能从二次函数的图象看到零点的性质：

1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点

－2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.

2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

师：对任意函数，结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否

得出同样的结论.

二、讲解新课

1.零点的性质

如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·

f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=

0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求

根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，

从而求出方程的根.

2.应用举例

【例1】教科书P

88

例1.

本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质（特别是单

调性）在确定函数零点中的重要作用.

（1）函数f（x）=lnx+2x－6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书

上的图3.1－3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.

（2）教科书上的表3－1，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得

对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，

3）内.

（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.

可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、

h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是

增函数.

【例2】已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：

①对任意实数x

1

≠x

2

，且f（x

1

）=f（x

2

）时，满足x

1

+x

2

=2；

②对任意x

1

、x

2

∈（1，+∞），总有f（

2

21

xx

）＞

2

)()(

21

xfxf

.

则方程ax2+bx+1=0根的情况是（）

A.无实数根B.有两个不等正根

C.有两个异号实根D.有两个相等正根

方法探究：（1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f（x）

是凸函数，即a＜0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，

可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两

个异号实根，故应选C.

（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x

1

x

2

=

a

1

＜0，可知f（x）

=0有两个异号实根，故应选C.

方法技巧：解析（2）的求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数

形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函

数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结

合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.

【例3】研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.

方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角

度分析，只需研究函数y=|x2－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.

解：设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个

函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两

个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.

方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个

步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.

三、课堂练习

教科书P

88

练习题1.（1）（2）

四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：

零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.

2.本节学习的数学方法：

归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.

五、布置作业

教科书P

92

习题3.11、2、3.

补充题：

1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所示，令g（x）=af（x）+b，则

下列关于函数g（x）的叙述正确的是

A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称

B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有大于2的零点

C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点

D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点

2.方程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.

3.已知二次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内至少存在一个实数c，使

得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.

课后记：

3.2.1几类不同增长的函数模型

【课型】新授课

【教学目标】

结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增

长差异性.

【教学重点、难点】

1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函

数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.

【学法与教学用具】

1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.

2．教学用具：多媒体.

【教学过程】

（一）引入实例，创设情景.

教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由

学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数

量关系的分析、函数模型的选择上作指导.

（二）互动交流，探求新知.

1.观察数据，体会模型.

教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出

自己的发现，并进行交流.

2.作出图象，描述特点.

教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进

行描述，为方案选择提供依据.

（三）实例运用，巩固提高.

1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的

收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息

做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.

2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问

题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体

会它们的增长差异.

3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励

比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，

写出完整的解答过程.进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.

5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数nyx（n＞0）、指数函数

nya（a＞1）、对数函数log

a

yx（a＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的

性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告.教师对学生的结论进行评

析，借助信息技术手段进行验证演示.

6.课堂练习

教材P

98练习1、2，并由学生演示，进行讲评。

（四）归纳总结，提升认识.

教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模

型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值

和内在变化规律.

（五）布置作业

教材P

107练习第2题

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的

增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用，并思考。有时同一个实际问题可以建立多个函

数模型，在具体应用函数模型时，应该怎样选用合理的函数模型.

3.2.2函数模型的应用实例（Ⅰ）

【课型】新授课

【教学目标】

能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实

际问题.

【教学重点与难点】

1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.

2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.

【学法与教学用具】

1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.

2.教学用具：多媒体

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今

有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只

有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老

师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”

和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，

即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.

比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.

（二）结合实例，探求新知

例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以

120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车

离开北京2h内行驶的路程.

探索：

1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；

2）所涉及的变量的关系如何？

3）写出本例的解答过程.

老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.

学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.

例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两

种优惠办法：

1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？

2）本例涉及到几个函数模型？

3）如何理解“更省钱？”；

4）写出具体的解答过程.

在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是

用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用

数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，如方程

（组），函数解析式，图形与网络等.

课堂练习1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提

高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他

因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.

[略解：]

设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞

0得：0＜x＜30

设客房租金总上收入y元，则有：

y=（20+2x）(300－10x)

=－20(x－10)2＋8000（0＜x＜30）

由二次函数性质可知当x=10时，

max

y=8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.

课堂练习2要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价

每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造

价.

（三）归纳整理，发展思维.

引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：

1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为

函数模型问题：

2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；

3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；

4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观

性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.

（四）布置作业

作业：教材P

107习题3.2（A组）第3、4题：

3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ）

【课型】新授课

【教学目标】

能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建

立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.

【教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.

【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.

【学法与教学用具】

1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论.

2.教学用具：多媒体

【教学设想】

（一）创设情景，揭示课题.

现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其

蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，

验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.

（二）实例尝试，探求新知

例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

1）写出速度v关于时间t的函数解析式；

2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；

3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段

路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.

本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，

此例分段函数模型刻画实际问题.

教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.

注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.

例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效

控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模

型：

0

rtyye

其中t表示经过的时间，

0

y表示

0t

时的人口数，r表示人口的年均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）

年份

19531954

人数

55

年份

719581959

人数

65636599467207

1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用

马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口

数据是否相符；

2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？

探索以下问题：

1）本例中所涉及的数量有哪些？

2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？

3）根据表中数据如何确定函数模型？

4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？

如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？

本例的题型是利用给定的指数函数模型

0

rtyye解决实际问题的一类问题，引导学生认识

到确定具体函数模型的关键是确定两个参数

0

y与t.

完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.

在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作

出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合

程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.

引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确

定t的近似值.

课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3

万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月

产量t与月份的x关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)xyabcabc其中为常数.已知4

月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

探索以下问题：

1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？

2）如何对所确定的函数模型进行评价？

本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.

引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价

的依据.

本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.

（三）.归纳小结，发展思维.

利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；

1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；

2）利用待定系数法，确定具体函数模型；

3）对所确定的函数模型进行适当的评价；

4）根据实际问题对模型进行适当的修正.

通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函

数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想

解决实际问题的基本过程如下：

符合

实际

不符合实际

从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用

的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再

利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.

图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，经常需要将函数

对应关系的一种形式向另一种转化.

（四）布置作业：教材P

107

习题3.2（A组）第6题.

画

散

点

图

收

集

数

据

选

择

函

数

模

型

求

函

数

模

型

检

验