华南理工继续学院

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《微积分》教学大纲

全院专科各专业适用

一、课程的性质与任务

《微积分》课程，是成人高等教育专科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不

仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置

的。

通过本课程的学习，要使学生获得《微积分》的基本概念、基本理论和基本方法。要通

过各个教学环节，逐步培养学生具有初步逻辑推理能力和自学能力，还特别注意培养学生具

有一定的运算能力。

二、本课程与有关课程的联系

微积分学以函数为研究对象，主要讲述函数的导数、微分和积分等概念、方法、计算和

应用，而极限方法是阐明这些概念和方法的基本工具。为此，学习本课程的学生应具备高中

数学及物理的知识基础。另一方面，本课程将为各专业的基础课和专业课奠定必要的数学基

础。

三、本课程的基本要求与重点

根据成人高等教育专科的培养目标——培养高等技术应用型人才，按基础理论课教材

“必需、够用”的原则，本课程的基本要求：

1、获得一元函数微积分的系统的基本知识、基本理论和基本方法；

2、了解多元函数微积分的初步知识。

本课程的重点为：一元函数的导数和积分的概念计算及其应用。

在教学过程中，首先要使学生切实理解基本概念和基本理论，了解其背景和意义。在此

基础上掌握基本的计算方法和应用，注重培养学生的运算能力和处理一些简单实际问题的能

力；同时，使抽象思维和逻辑推理的能力也有一定的提高。

四、课程内容和考核要求

第一章函数、极限与连续性（约12学时）

（一）课程内容

1、一元函数的定义及其图形

2、函数的表示法（包括分段函数）

3、函数的几种特性

4、反函数与复合函数

5、初等函数

6、数列极限

7、函数的极限

8、极限的运算法则

9、两个重要极限

10、无穷小量及其性质和无穷大量

11、无穷小量的比较

12、函数的连续性概念和连续函数的运算

13、函数的间断点

14、闭区间上连续函数的性质

（二）考核要求

2

1、理解一元函数的定义，掌握求定义域和函数值，理解函数记号的运用。

2、了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图象；了解分段函数的表示。

3、了解函数的有界性和周期性，掌握判断函数的奇偶性及单调性

4、掌握求简单的函数的反函数；掌握复合函数的分解；了解初等函数的构成。

5、理解数列极限的直观定义。

6、理解当x

时和xx

0

时函数极限的直观定义。

7、理解函数的单侧极限，了解函数极限与单侧极限之间的关系。

8、掌握极限的四则运算法则，并能熟练运用。

9、掌握两个重要极限，并能熟练运用。

10、了解无穷小和无穷大，掌握运用无穷小的性质，掌握判断两个无穷小的阶的高低或是否

等价。

11、理解函数在一点连续与间断的含义，掌握求出函数的两类间断点。

12、掌握判别分段函数在区间分界点处的连续性。

13、了解闭区间上连续函数的最大（小）值定理和函数取零值定理。

第二、三章一元函数微分学（约35学时）

（一）课程内容

1、导数的定义及其几何意义

2、可导函数的连续性

3、可导函数的和、差、积、商的求导法则

4、复合函数的求导法则

5、基本初等函数的导数公式

6、二阶导数

7、微分概念及微分的求法

8、介绍罗尔定理和拉格朗日中值定理

9、洛必达法则

10、函数单调性的判定

11、函数的极值及其求法

12、函数的最值及其应用

13、曲线的凹凸性与拐点

（二）考核要求

1、了解函数在一点可导与左、右导数之间的关系。

2、了解函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件。

3、掌握求曲线在一点处的切线方程和法线方程。

4、熟练掌握导数公式和函数四则运算的求导法则。

5、熟练掌握复合函数的求导（一层复合步骤为主）。

6、掌握求比较简单的函数的二阶导数。

7、掌握求函数的微分。

8、熟练掌握运用洛必达法则求

0

0

和





型极限。

9、掌握用导数的符号判别函数的单调性及求函数的增、减区间。

10、理解函数极值的概念，掌握求函数的极值。

11、了解函数最值的定义及其与极值的区别，掌握求简单应用问题的最值。

12、掌握确定曲线的凹凸区间，掌握求曲线的拐点。

3

第四、五章一元函数积分学（约35学时）

（一）课程内容

1、原函数与不定积分的概念

2、基本积分公式和不定积分的线性性质

3、不定积分的第一换元积分法（凑微分法）

4、不定积分的第二换元积分法

5、不定积分的分部积分法

6、微分方程初步（第六章：微分方程的基本概念；变量可分离的一阶微分方程；一阶线性

微分方程）

7、定积分概念及其几何意义

8、定积分的性质

9、变上限积分及其导数公式

10、牛顿–莱布尼兹公式

11、定积分的换元法和分部积分法

12、无穷区间上的广义积分

13、定积分的几何应用

（二）考核要求

1、理解原函数和不定积分的定义，了解它们的联系与区别；理解微分运算和不定积分运算

互为逆运算。

2、熟练掌握运用基本积分公式和不定积分的线性性质求比较简单函数的积分。

3、掌握第一换元积分法（凑微分法）。

4、掌握第二换元积分法（重点是根式代换）。

5、掌握分部积分法求被积函数属：指数函数（或三角函数）与幂函数的乘积；对数函数（或

反三角函数）与幂函数的乘积的积分。

6、掌握求解变量可分离的一阶微分方程。

7、理解定积分定义及定积分与不定积分的区别；了解定积分的值取决于被积函数和积分区

间，而与积分变量采用的记号无关。

8、了解定积分的性质。

9、掌握变上限积分的求导公式。

10、熟练掌握用牛顿–莱布尼兹公式计算定积分。

11、掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

12、掌握利用对称区间上奇函数或偶函数的定积分的结论。

13、掌握判断无穷区间上的广义积分的敛散性。

14、掌握在直角坐标系中计算平面图形的面积。

15、掌握求简单平面图形绕X轴旋转所得旋转体的体积。

第八、九章多元微积分学（约14学时）

介绍二元函数微分学和二重积分初步

（这部分的内容不作考核要求）

五、推荐用书

1、教材：21世纪成人高等教育系列教材

微积分

吴满曾令武主编

华南理工大学出版社（2007版）

2、教辅书：

4

高等数学解题指引与同步练习

吴满曾令武编著

华南理工大学出版社（2008版）

六、课后练习（必做题）

同步练习①

1-（1）（3）（4）（5），5，7，8，10，11，12，19-（1）（2），21，23-（1）（2）（4），26，27

—（2）（4）（5），40-（1）（3）（5），41-（1）（3）（5）（6）（7），42，55，59—（1），60。

同步练习②

11，12（1）~（5），13-（1）（2），16，18-（1）（2），23，24—（1），51，52，59（1）~（5）

同步练习③

6-（1）（2）（3），7（1）（3）（4）（5），12-（1）（2）（3），13，22，23-（1）（3）（4），24-

（1），25，27，28，35，36-（1）。

同步练习④

1，2，6-（1）（3）（4）（5）（7）（11）（13）（14），11—（1）~（6）（8）（11）（17）（22）（25），

15—（1）（2）（3），18—（1）（3）（4）（6）（7）。

同步练习⑤

1，3，4，6-（1）（2），10，11-（1）（2）（4），12-（1）（2），14—（1）~（5）（7）（8）（14），

25—（1）~（4），26，35—（1）（2）（3），41，43，47，48—（1）（2）（3）（5）（6）（7），

53，54，55。

同步练习⑥

1，3，8—（1）（3）（4）（5），9—（1）（2）（3）。

七、考试样题

2010年第一学期期末考试

《微积分》（专科）试卷样题

一、单项选择题（20分）

1．函数y=24

1

1

x

x





的定义域是（）

A．[-2，2]B.]2,(),2[C.]2,1()1,2[D.),(

2．

x

x

x

2sin

lim

A.2B.1C.

2

1

D.0

3.设函数y=3

22xe(e是常数)，则'y=（）

5

A.2e+3

1

3

2xB.

1

3

2

1

3

2



x

C.3

1

3

2xD.e3

1

2

3

2x

4.dxax)1(（）

A.x+xa1x+cB.c

a

ax



ln

C.x+c

a

ax



ln

D.x+acaxln

5.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则b

a

dxxf

dx

d

)(（）

A．b-aB.f(b)-f(a)C.f(x)D.0

.

二、填空题（20分）

6．



x

xx

)

2

1(lim。

7．曲线y=ex在点（0，1）处的切线方程为。

8．微分方程(1-x2)y-x'y=0的通解是。

9．设函数y=sinx，则

0x

dy=。

10.由曲线y=x与直线y=1及y轴所围成的平面图形的面积用定积分表示为。

三、计算题

11、求极限

0

lim

x

2

222

x

xex

。

12．设函数y=sin2x，求''y。

13．求不定积分dx

x



241

1

14．求函数y=248xx的极值，并指出是极小值还是极大值。

15．求不定积分xdxx2sin。

四、综合题（20分）

16．计算定积分dx

x





1

4

311

1

。

17．求由曲线xy=a与直线x=a，x=2a及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所产生的旋

转体的体积。

6

18．设函数f(x)在区间[-a,a]上连续，证明

a

a

adxxfxfdxxf

0

))()(()(

华南理工大学继续教育学院

《高等数学》教学指导小组

二〇一〇年三月