2015年高考数学试卷

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国Ⅰ卷）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，

第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z满足

1

1

z

z





=

i

，则|z|=（）

（A）1（B）

2

（C）3（D）2

2．oooosin20cos10cos160sin10=（）

（A）

3

2

（B）

3

2

（C）

1

2



（D）

1

2

3．设命题

p

：2,2nnNn，则p为（）

（A）2,2nnNn（B）2,2nnNn

（C）2,2nnNn（D）2,=2nnNn

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每

次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测

试的概率为（）

（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

5．已知M（

00

,xy）是双曲线C：

2

21

2

x

y上的一点，

12

,FF是C上的两个

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焦点，若

12

0MFMF•，则

0

y的取值范围是（）

（A）（-

3

3

，

3

3

）（B）（-

3

6

，

3

6

）

（C）（

22

3

，

22

3

）（D）（

23

3

，

23

3

）

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今

有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在

屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥

的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和

堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，

估算出堆放斛的米约有（）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

7．设

D

为ABC所在平面内一点

3BCCD

，则（）

（A）

14

33

ADABAC

（B）

14

33

ADABAC

（C）

41

33

ADABAC（D）

41

33

ADABAC

8．函数

()fx

=

cos()x

的部分图像如图所示，则

()fx

的单调递减区间为

（）

（A）

13

(,),

44

kkkZ

（B）

13

(2,2),

44

kkkZ

（C）

13

(,),

44

kkkZ

（D）

13

(2,2),

44

kkkZ

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

（A）5（B）6（C）7（D）8

10．25()xxy的展开式中，52xy的系数为（）

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（A）10（B）20（C）30（D）60

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该

几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20



，则r=（）

（A）1（B）2（C）4（D）8

12．设函数

()fx

=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数

0

x，使得

0

()fx0，则

a

的取值范围是（）

（A）[-

3

2e

，1）（B）[-

3

2e

，

3

4

）（C）[

3

2e

，

3

4

）（D）[

3

2e

，1）

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

13．若函数f（x）=2ln()xxax为偶函数，则a=

14．一个圆经过椭圆

22

1

164

xy



的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则

该圆的标准方程为.

15．若

,xy

满足约束条件

10

0

40

x

xy

xy

















，则

y

x

的最大值为.

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围

是.

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据

要求作答。

17．（本小题满分12分）

n

S为数列{

n

a}的前

n

项和.已知

n

a＞0，2

nn

aa=

43

n

S.

（Ⅰ）求{

n

a}的通项公式；

（Ⅱ）设

1

1

n

nn

b

aa



,求数列{

n

b}的前

n

项和.

18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的

两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

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19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单

位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对

近8年的年宣传费

i

x和年销售量

i

y（

i

=1,2，···，8）数据作了初步处理，

得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

y

w8

2

1

()

i

i

xx



8

2

1

()

i

i

ww



8

1

()()

ii

i

xxyy



8

1

()()

ii

i

wwyy





46.

6

56.

3

6.8289.81.61469108.8

表中

ii

wx，

w

=

1

8

8

1

i

i

w





（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关

于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结

果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据

11

(,)uv,

22

(,)uv，……，(,)

nn

uv,其回归线

vu

的斜率

和截距的最小二乘估计分别为：

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20．（本小题满分12分）在直角坐标系

xoy

中，曲线C：y=

2

4

x

与直线

ykxa

（

a

＞0）交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

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21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=3

1

,()ln

4

xaxgxx

.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线

()yfx

的切线；

（Ⅱ）用

min,mn表示m,n中的最小值，设函数

()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h（x）零点的个数.

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于E.

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；

（Ⅱ）若3OACE，求∠ACB的大小.

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23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系

xOy

中，直线

1

C:x=2，圆

2

C：22121xy

,以坐标

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求

1

C，

2

C的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线

3

C的极坐标方程为

4

R





，设

2

C与

3

C的交点为

M

,N,

求

2

CMN的面积.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

(全国I卷)《理科数学》试卷参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：

1．答案:A

解:由

1

1

z

i

z







得，

1

1

i

z

i







=

(1)(1)

(1)(1)

ii

ii





=

i

，故|z|=1，故选A.

2．答案:D

解:原式=oooosin20cos10cos20sin10=osin30=

1

2

，故选D.

3．答案:C

解:

p

:2,2nnNn，故选C.

4．答案:A

解:根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为223

3

0.60.40.6C

=0.648，故选A.

5．答案:A

解:由题知

12

(3,0),(3,0)FF，

2

2

0

0

1

2

x

y，所以

12

MFMF•=

0000

(3,)(3,)xyxy•=222

000

3310xyy，解得

0

33

33

y，

故选A.

6．答案:B

解:设圆锥底面半径为r，则

1

238

4

r

=

16

3

r

，所以米堆的体积为

2

1116

3()5

433



=

320

9

，故堆放的米约为

320

9

÷1.62≈22，故选B.

7．答案:A

解:由题知

11

()

33

ADACCDACBCACACAB

=

14

33

ABAC

，

故选A.

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8．答案:D

解:由五点作图知，

1

+

42

53

+

42



























，解得

=

，

=

4



，所以

()cos()

4

fxx





，

令

22,

4

kxkkZ





，解得

1

2

4

k

＜

x

＜

3

2

4

k

，kZ，故单调

减区间为（

1

2

4

k

，

3

2

4

k

），kZ，故选D.

9．答案:C

解:执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=

1

2

=0.5,S=S-m=0.5,

2

m

m

=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,

2

m

m

=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m=0.125,

2

m

m

=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,

2

m

m

=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,

2

m

m

=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，执行第6次，

S=S-m=0.015625,

2

m

m

=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执

行第7次，S=S-m=0.0078125,

2

m

m

=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,

否，输出n=7，故选C.

10．答案:C

解:在25()xxy的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式中1个取

x

，

其余因式取y,故52xy的系数为212

532

CCC=30，故选C.

11．答案:B

解:由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半

径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

22

1

4222

2

rrrrrr

=2254rr=16+20



，解得r=2，故选B.

12．答案:D

解:设

()gx

=(21)xex，

yaxa

，由题知存在唯一的整数

0

x，使得

0

()gx在

直线

yaxa

的下方.

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因为()(21)xgxex



，所以当

1

2

x

时，

()gx



＜0，当

1

2

x

时，

()gx



＞0，

所以当

1

2

x

时，

max

[()]gx=

1

2-2e

，

当0x时，

(0)g

=-1，

(1)30ge

，直线

yaxa

恒过（1,0）斜率且

a

，

故

(0)1ag

，且1(1)3geaa，解得

3

2e

≤

a

＜1，故选D.

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

13．答案:1

解:由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax

=22ln()ln0axxa，解得

a

=1.

14．答案:22

325

()

24

xy

解:设圆心为（

a

，0），则半径为4a，则222(4)2aa，解得

3

2

a

，故

圆的方程为22

325

()

24

xy

.

15．答案:3

解:作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，

y

x

是可行域内一点

与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故

y

x

的

最大值为3.

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16．答案:（62，6+2）

解:如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最

长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sinsin

BCBE

EC





，即

oo

2

sin30sin75

BE



，解得

BE

=6+2，平移AD，当D

与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠

FCB=30°，由正弦定理知，

sinsin

BFBC

FCBBFC





，即

oo

2

sin30sin75

BF



，解

得BF=62，所以AB的取值范围为（62，6+2）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据

要求作答。

17．答案:（Ⅰ）21n（Ⅱ）

11

646n





解:试题分析：（Ⅰ）先用数列第

n

项与前

n

项和的关系求出数列{

n

a}的递推

公式，可以判断数列{

n

a}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数

列{

n

a}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{

n

b}的通项公式，再用拆项消去

法求其前

n

项和.

试题解析：（Ⅰ）当1n时，2

1111

2434+3aaSa，因为0

n

a，所以

1

a=3，

当2n时，22

11nnnn

aaaa



=

1

4343

nn

SS



=4

n

a，即

第13页共19页

111

()()2()

nnnnnn

aaaaaa



，因为0

n

a，所以

1nn

aa



=2，

所以数列{

n

a}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以

n

a=21n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

n

b=

1111

()

(21)(23)22123nnnn





，

所以数列{

n

b}前n项和为

12n

bbb=

1111111

[()()()]

235572123nn





=

11

646n





.

18．答案:（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

3

解:

试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，

不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可

知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为

坐标原点，分别以,GBGC的方向为

x

轴，y轴正方向，||GB为单位长度，建

立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余

弦值.

解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不

妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=

2

，故DF=

2

2

.

在Rt△FDG中，可得FG=

6

2

.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=

2

，DF=

2

2

可得EF=

32

2

，

∴222EGFGEF，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

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（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以,GBGC的方向为

x

轴，y轴正方向，

||GB为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，

0），E（1,0,

2

），F（－1,0，

2

2

），C（0，3，0），∴

AE

=（1，3，

2

），

CF

=（-1，-3，

2

2

）.…10分

故

3

cos,

3

||||

AECF

AECF

AECF





.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为

3

3

.

19．答案:（Ⅰ）ycdx适合作为年销售

y

关于年宣传费用

x

的回归方程

类型；（Ⅱ）100.668yx（Ⅲ）46.24

解:

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）

令wx，先求出建立

y

关于

w

的线性回归方程，即可

y

关于

x

的回归方程；

（Ⅲ）（ⅰ）利用

y

关于

x

的回归方程先求出年销售量

y

的预报值，再根据年

利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）

的结果知，年利润z的预报值，列出关于

x

的方程，利用二次函数求最值的

方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售

y

关于年宣传费用

x

的

回归方程类型.

（Ⅱ）令wx，先建立

y

关于

w

的线性回归方程，由于

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8

1

8

2

1

()()

()

ii

i

i

i

wwyy

d

ww















=

108.8

=68

16

，

∴cydw=563-68×6.8=100.6.

∴

y

关于

w

的线性回归方程为100.668yw，

∴

y

关于

x

的回归方程为100.668yx.

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当

x

=49时，年销售量

y

的预报值

100.66849y=576.6，

576.60.24966.32z.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

0.2(100.668)13.620.12zxxxx，

∴当x=

13.6

=6.8

2

，即46.24x时，

z

取得最大值.

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

20．答案:（Ⅰ）0axya或0axya（Ⅱ）存在

解:

试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判

定，再利用设而不求思想即将

ykxa

代入曲线C的方程整理成关于

x

的一

元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，

PN的斜率之和用

a

表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出

,ab

关

系，从而找出适合条件的P点坐标.

解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)Maa，(22,)Na，或(22,)Ma，(2,)Naa.

∵

1

2

yx





，故

2

4

x

y

在

x

=

22a

处的到数值为a，C在(22,)aa处的切线

方程为

(2)yaaxa，即0axya.

故

2

4

x

y

在

x

=-

22a

处的到数值为-a，C在(22,)aa处的切线方程为

第16页共19页

(2)yaaxa，即0axya.

故所求切线方程为0axya或0axya.

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，

11

(,)Mxy，

22

(,)Nxy，直线PM，PN的斜率分

别为

12

,kk.

将

ykxa

代入C得方程整理得2440xkxa

.

∴

1212

4,4xxkxxa.

∴12

12

12

ybyb

kk

xx



=1212

12

2()()kxxabxx

xx



=

()kab

a



.

当ba时，有

12

kk=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以

(0,)Pa

符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

21．答案:（Ⅰ）

3

4

a

；（Ⅱ）当

3

4

a

或

5

4

a

时，

()hx

由一个零点；当

3

4

a

或

5

4

a

时，

()hx

有两个零点；当

53

44

a

时，

()hx

有三个零点.

解:

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点

坐标与对应的

a

值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将

x

分为

1,1,01xxx

研究

()hx

的零点个数，若零点不容易求解，则对

a

再分类

讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线

()yfx

与

x

轴相切于点

0

(,0)x，则

0

()0fx，

0

()0fx



，即

3

00

2

0

1

0

4

30

xax

xa















，解得

0

13

,

24

xa

.

因此，当

3

4

a

时，

x

轴是曲线

()yfx

的切线.

（Ⅱ）当

(1,)x

时，

()ln0gxx

，从而

()min{(),()}()0hxfxgxgx

，

∴

()hx

在（1，+∞）无零点.

当

x

=1时，若

5

4

a

，则

5

(1)0

4

fa

，

(1)min{(1),(1)}(1)0hfgg

,

第17页共19页

故

x

=1是

()hx

的零点；若

5

4

a

，则

5

(1)0

4

fa

，

(1)min{(1),(1)}(1)0hfgf

,故

x

=1不是

()hx

的零点.

当

(0,1)x

时，

()ln0gxx

，所以只需考虑

()fx

在（0,1）的零点个数.

（ⅰ）若3a或0a，则2()3fxxa



在（0,1）无零点，故

()fx

在（0,1）

单调，而

1

(0)

4

f

，

5

(1)

4

fa

，所以当3a时，

()fx

在（0，1）有一个

零点；当

a

0时，

()fx

在（0，1）无零点.

（ⅱ）若30a，则

()fx

在（0，

3

a



）单调递减，在（

3

a



，1）单调

递增，故当

x

=

3

a



时，

()fx

取的最小值，最小值为()

3

a

f=

21

334

aa



.

①若()

3

a

f＞0，即

3

4



＜

a

＜0，

()fx

在（0,1）无零点.

②若()

3

a

f=0，即

3

4

a

，则

()fx

在（0,1）有唯一零点；

③若()

3

a

f＜0，即

3

3

4

a

，由于

1

(0)

4

f

，

5

(1)

4

fa

，所以当

53

44

a

时，

()fx

在（0,1）有两个零点；当

5

3

4

a

时，

()fx

在（0,1）

有一个零点.…10分

综上，当

3

4

a

或

5

4

a

时，

()hx

由一个零点；当

3

4

a

或

5

4

a

时，

()hx

有两个零点；当

53

44

a

时，

()hx

有三个零点.

22．

答案:（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°

解:

试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直

角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，

即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由3OACE得，AB=

23，设AE=

x

，由勾股定理得212BEx，由直角三角形射影定理可得

第18页共19页

2AECEBE

，列出关于

x

的方程，解出

x

，即可求出∠ACB的大小.

试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，

在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连结OE，∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.

（Ⅱ）设CE=1，AE=

x

,由已知得AB=23，212BEx，

由射影定理可得，2AECEBE

，

∴2212xx，解得

x

=3，∴∠ACB=60°.

23．

答案:（Ⅰ）

cos2

,22cos4sin40（Ⅱ）

1

2

解:

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得

1

C，

2

C的极坐

标方程；（Ⅱ）将将

=

4



代入22cos4sin40即可求出|MN|，

利用三角形面积公式即可求出

2

CMN的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为

cos,sinxy

，

∴

1

C的极坐标方程为

cos2

，

2

C的极坐标方程为

22cos4sin40.……5分

（Ⅱ）将

=

4



代入22cos4sin40，得

23240

，解

得

1



=

22

，

2



=

2

，|MN|=

1



－

2



=

2

，

因为

2

C的半径为1，则

2

CMN的面积o

1

21sin45

2



=

1

2

.

第19页共19页

24．

答案:（Ⅰ）

2

{|2}

3

xx

（Ⅱ）（2，+∞）

解:

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式

组来解；（Ⅱ）将

()fx

化为分段函数，求出

()fx

与

x

轴围成三角形的顶点坐

标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于

a

的不等式，即可解出

a

的

取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于

1

1221

x

xx











或

11

1221

x

xx











或

1

1221

x

xx











，解得

2

2

3

x

，

所以不等式f（x）>1的解集为

2

{|2}

3

xx

.

（Ⅱ）由题设可得，

12,1

()312,1

12,

xax

fxxaxa

xaxa

















，

所以函数

()fx

的图像与

x

轴围成的三角形的三个顶点分别为

21

(,0)

3

a

A



，

(21,0)Ba

，

(,+1)Caa

，所以△ABC的面积为2

2

(1)

3

a

.

由题设得2

2

(1)

3

a

＞6，解得2a.

所以

a

的取值范围为（2，+∞）.