高考数学答案

卷理科数学高考真题及

答案

TYYGROUPsystemofficeroom【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

理科数学

一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个

选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合2430Axxx，230xx,则AB

（A）

3

3,

2









（B）

3

3,

2









（C）

3

1,

2







（D）

3

,3

2







2.设

yixi1)1(

，其中yx,是实数，则yix

（A）1（B）2（C）3

（D）2

3.已知等差数列

n

a前9项的和为27，

10

8a，则

100

a

（A）100（B）99（C）98（D）97

4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）

1

3

（B）

1

2

（C）

2

3

（D）

3

4

5.已知方程

22

22

1

3

xy

mnmn





表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的

取值范围是

（A）1,3（B）1,3

（C）0,3（D）0,3

6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条

相互垂直的半径.若该几何体的体积是

28

3



,则它的表面积是

（A）17（B）18（C）20（D）28

7.函数22xyxe在2,2的图像大致为

（A）（B）

（C）（D）

8.若101abc，,则

（A）ccab（B）ccabba（C）

loglog

ba

acbc

（D）

loglog

ab

cc

9.执行右面的程序框图,如果输入的

011xyn，，

,则输出x,y的值满足

（A）

2yx

（B）

3yx

（C）

4yx

（D）

5yx

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交

C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25

,则C

的焦点到准线的距离为

(A)2(B)4(C)6(D)8

11.平面



过正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

的顶点

A,



3

2

2

2

3

3

1

3

知函数

()sin()(0),

24

fxx+x



，

为

()fx

的零

点,

4

x





为()yfx图像的对称轴，且()fx在

5

1836









，

单调，则



的最大值为

（A）11?（B）9?（C）7?（D）5

二、填空题：本大题共3小题,每小题5分

13.设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=．

14.5(2)xx的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）

15.设等比数列

n

a满足a1

+a

3

=10，a

2

+a

4

=5，则a

1

a

2

…a

n

的最大值为．

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需

要甲材料，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个

工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业

现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产

品B的利润之和的最大值为元．

三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分为12分）

ABC

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

2cos(coscos).CaB+bAc

（I）求C；

（II）若7c，ABC的面积为

33

2

，求ABC的周长．

18.（本小题满分为12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面

ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF



平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

n=n+1

结束

输出x,y

x2+y2≥36？

x=x+

n-1

2

，y=ny

输入x,y,n

开始

否

是

C





D



F

19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机

器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器

使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几

个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得

下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1

台机器更换的易损零件数发生的概率,记

X

表示

2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示

购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求

X

的分布列；

（II）若要求

()0.5PXn

,确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决

策依据,在19n与20n之中选其一,应选用哪

个？

20.（本小题满分12分）设圆222150xyx

的圆心为A,直线l过点B（1,0）且

与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明

EAEB

为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C

1

，直线l交C

1

于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆

A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数221xfxxeax有两个零点.

(I)求a的取值范围；(II)设x

1

,x

2

是fx的两个零点,证明：

12

2xx.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，

1

2

OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与⊙O相切；

(II)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系x



y中，曲线C

1

的参数方程为

cos

1sin

xat

yat











（t为参数，a＞0）．

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C

2

：ρ=

4

cos.

（I）说明C

1

是哪一种曲线，并将C

1

的方程化为极坐标方程；

0891011

20

40

频数

更换的易损零件数

O

D

C

B

A

（II）直线C

3

的极坐标方程为

0

，其中

0



满足tan

0



=2，若曲线C1

与C

2

的公共

点都在C

3

上，求a．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选

讲

已知函数123fxxx.

（I）画出yfx的图像；

（II）求不等式1fx

的解集．

2016年高考全国1卷理科数学

参考答案

题

号

1112

答

案

DBCBAADCCBAB

1.243013Axxxxx，3

230

2

Bxxxx









．

故

3

3

2

ABxx









．

故选D．

2.由11ixyi可知：1xxiyi，故

1x

xy











，解得：

1

1

x

y











．

所以，222xyixy．

故选B．

3.由等差数列性质可知：



19

5

95

9

92

927

22

aa

a

Sa





，故

5

3a，

而

10

8a，因此公差1051

105

aa

d







∴

10010

9098aad．

故选C．

4.如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段

AB

中，而当他的到达时间落在线段AC或

DB

时，才能保证他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率

10101

402

P



．

故选B．

5.

22

22

1

3

xy

mnmn





表示双曲线，则2230mnmn

∴223mnm

由双曲线性质知：222234cmnmnm，其中c是半焦距

∴焦距2224cm，解得1m

∴

13n

故选A．

6.原立体图如图所示：

是一个球被切掉左上角的

1

8

后的三视图

表面积是

7

8

的球面面积和三个扇形面积之和

故选A．

7.222882.80fe，排除A

222882.71fe，排除B

0x时，22xfxxe4xfxxe



，当

1

0,

4

x









时，0

1

40

4

fxe





因此fx在

1

0,

4







单调递减，排除C

故选D．

8.对A：由于

01c

，∴函数cyx在

R

上单调递增，因此1ccabab，A错误

对B：由于110c，∴函数1cyx在1,上单调递减，

∴111ccccababbaab，B错误

对C：要比较log

b

ac和log

a

bc，只需比较

ln

ln

ac

b

和

ln

ln

bc

a

，只需比较

ln

ln

c

bb

和

ln

ln

c

aa

，只

需lnbb和lnaa

构造函数ln1fxxxx，则'ln110fxx，fx在1,上单调

递增，因此

11

0lnln0

lnln

fafbaabb

aabb



又由01c得ln0c，∴

lnln

loglog

lnlnab

cc

bcac

aabb

，C正确

对D：要比较log

a

c和log

b

c，只需比较

ln

ln

c

a

和

ln

ln

c

b

而函数lnyx在1,上单调递增，故

11

1lnln0

lnln

abab

ab



又由01c得ln0c，∴

lnln

loglog

lnlnab

cc

cc

ab

，D错误

故选C．

9.如下表：

循环节

运行次

数

判断

是否

输出

运行前01//1

第一次否否

第二次否否

第三次是是

输出

3

2

x，6y，满足4yx

故选C．

10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为22ypx0p，设圆的方程为

222xyr，

题目条件翻译如图：

设0

,22Ax，,5

2

p

D









，

点0

,22Ax在抛物线22ypx上，

∴

0

82px……①

点,5

2

p

D









在圆222xyr上，∴

2

25

2

p

r









……②

点0

,22Ax在圆222xyr上，∴22

0

8xr……③

联立①②③解得：4p，焦点到准线的距离为

4p．

故选B．

11.如图所示：

∵

11

CBD∥平面，∴若设平面

11

CBD平面

1

ABCDm，则

1

mm∥

又∵平面ABCD∥平面

1111

ABCD，结合平面

11

BDC平面

111111

ABCDBD

∴

111

BDm∥，故

11

BDm∥

同理可得：

1

CDn∥

故m、n的所成角的大小与

11

BD、

1

CD所成角的大小相等，即

11

CDB的大小．

而

1111

BCBDCD（均为面对交线），因此

113

CDB



，即

11

3

sin

2

CDB．

故选A．

12.由题意知：

则21k，其中kZ

()fx在

π5π

,

1836







单调，

5π

,12

3618122

T



接下来用排除法

若

π

11,

4

，此时

π

()sin11

4

fxx









，()fx在

π3π

,

1844







递增，在

3π5π

,

4436







递减，

不满足()fx在

π5π

,

1836







单调

若

π

9,

4

，此时

π

()sin9

4

fxx









，满足()fx在

π5π

,

1836







单调递减

故选B．

α

A

A

1

B

B

1

D

C

C

1D

1

15．6416．216000

13.由已知得：1,3abm

∴222

2

2222213112ababmm，解得2m．

14．设展开式的第

1k

项为

1k

T



，0,1,2,3,4,5k

∴5

5

5

2

155

C2C2

k

k

k

kkk

k

Txxx







．

当53

2

k

时，4k，即

4

5

4543

2

55

C210Txx



故答案为10．

15.由于

n

a是等比数列，设1

1

n

n

aaq，其中

1

a是首项，

q

是公比．

∴

2

13

11

3

24

11

10

10

5

5

aa

aaq

aa

aqaq

























，解得：

1

8

1

2

a

q















．

故

41

2

n

n

a









，∴



2

11749

32...47

2224

12

111

...

222

nnnn

n

aaa























当

3n

或

4

时，

21749

224

n

















取到最小值

6

，此时

2

1749

2241

2

n





















取到最大值62．

所以

12

...

n

aaa的最大值为64．

16．设生产A产品x件，B产品

y

件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制

条件，构造线性规则约束为

目标函数2100900zxy

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)

(0,0)

(90,0)

在(60,100)处取得最大值，

216000z

17.解：⑴2coscoscosCaBbAc

由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC

∵πABC，0πABC、、，

∴sinsin0ABC

∴2cos1C，

1

cos

2

C

∵0πC，∴

π

3

C

⑵由余弦定理得：2222coscababC

∴6ab

∴2187ab

∴ABC△周长为57abc

18．解：(1)∵

ABEF

为正方形∴

AFEF

∵90AFD

∴

AFDF

∵=DFEFF

∴

AF

面

EFDC

AF

面

ABEF

∴平面

ABEF

平面

EFDC

⑵由⑴知

∵

ABEF∥

AB平面EFDC

EF

平面EFDC

∴

AB∥

平面

ABCD

AB

平面ABCD

∵面ABCD面

EFDCCD

∴

ABCD∥

∴CDEF∥

∴四边形

EFDC

为等腰梯形

以

E

为原点，如图建立坐标系，设

FDa

020EBa，，，

3

2

22

a

BCaa











，，，200ABa，，

设面

BEC

法向量为mxyz，，.

0

0

mEB

mBC















，即

1

111

20

3

20

22

ay

a

xayaz















111

301xyz，，

设面ABC法向量为

222

nxyz，，

=0

0

nBC

nAB















.即222

2

3

20

22

20

a

xayaz

ax















222

034xyz，，

设二面角EBCA的大小为



.

∴

二面角EBCA的余弦值为

219

19



19解：⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

记事件

i

A为第一台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i

记事件

i

B为第二台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i

由题知

134134

0.2PAPAPAPBPBPB，

22

0.4PAPB

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为

X

，则

X

的可能的取值为

16，17，18，19，20，21，22

122

⑵要令0.5Pxn≤≥，0.040.160.240.5，0.040.160.240.240.5≥

则n的最小值为19

⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部

分为备件不足时额外购买的费用

当

19n

时，费用的期望为

192005000.210000.0815000.044040

当

20n

时，费用的期望为

202005000.0810000.044080

所以应选用

19n

20.(1)圆A整理为2

2116xy，A坐标1,0，如图，

BEAC∥，则CEBD∠∠，由,ACADDC则∠∠，

EBDD∠∠，则

EBED

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为

22

1

43

xy



，

(0y)；

⑵

22

1

:1

43

xy

C

；设:1lxmy，

因为PQl⊥，设:1PQymx，联立

1

lC与椭圆

22

1

1

43

xmy

xy















得2234690mymy；

则



22

2

22

22

363634

121

||1||1

3434MN

mm

m

MNmyym

mm









；

圆心

A

到PQ距离



22

|11|

|2|

11

m

m

d

mm







，

所以

22

22

2

2

4434

||2||216

1

1

mm

PQAQd

m

m









，

21.（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea．

（i）设

0a

，则()(2)xfxxe，

()fx

只有一个零点．

（ii）设

0a

，则当

(,1)x

时，

'()0fx

；当

(1,)x

时，

'()0fx

．所以

()fx

在

(,1)

上单调递减，在

(1,)

上单调递增．

又

(1)fe

，

(2)fa

，取

b

满足

0b

且

ln

2

a

b

，则

22

3

()(2)(1)()0

22

a

fbbababb

，

故

()fx

存在两个零点．

（iii）设

0a

，由

'()0fx

得

1x

或

ln(2)xa

．

若

2

e

a

，则

ln(2)1a

，故当

(1,)x

时，

'()0fx

，因此

()fx

在

(1,)

上单调

递增．又当

1x

时，

()0fx

，所以

()fx

不存在两个零点．

若

2

e

a

，则

ln(2)1a

，故当

(1,ln(2))xa

时，

'()0fx

；当

(ln(2),)xa

时，

'()0fx

．因此

()fx

在

(1,ln(2))a

单调递减，在

(ln(2),)a

单调递增．又当

1x

时，

()0fx

，所以

()fx

不存在两个零点．

E

D

A

B

C

Q

P

N

M

A

B

综上，a的取值范围为(0,)．

（）不妨设

12

xx，由（Ⅰ）知

1

(,1)x，

2

(1,)x，

2

2(,1)x，

()fx

在

(,1)

上单调递减，所以

12

2xx等价于

12

()(2)fxfx，即

2

(2)0fx.

由于2

2

2

222

(2)(1)xfxxeax，而2

2

222

()(2)(1)0xfxxeax，所以

22

2

222

(2)(2)xxfxxexe.

设2()(2)xxgxxexe，则2()(1)()xxgxxee

.

所以当1x时，

()0gx





，而

(1)0g

，故当1x时，

()0gx

.

从而

22

()(2)0gxfx，故

12

2xx.

22．⑴设圆的半径为r，作

OKAB

于

K

∵120OAOBAOB，

∴30sin30

2

OA

OKABAOKOAr，，

∴

AB

与O⊙相切

⑵方法一：

假设

CD

与

AB

不平行

CD与

AB

交于

F

∵ABCD、、、四点共圆

∴

FCFDFAFBFKAKFKBK

∵

AKBK

∴22FCFDFKAKFKAKFKAK②由①②可知矛盾

∴ABCD∥

方法二：

因为,,,ABCD四点共圆，不妨设圆心为T

，

因为,OAOBTATB，所以,OT为

AB

的中

垂线上，同理,OCODTCTD，所以

OTCD为

的中垂线，所以ABCD∥．

23．⑴

cos

1sin

xat

yat











（t均为参数）

∴2

221xya①

∴

1

C为以01，为圆心，a为半径的圆．方程为222210xyya

∵222sinxyy，∴222sin10a即为

1

C的极坐标方程

⑵

2

4cosC：

两边同乘



得22224coscosxyx，

224xyx即2

224xy②

3

C：化为普通方程为2yx

由题意：

1

C和

2

C的公共方程所在直线即为

3

C

①—②得：24210xya，即为

3

C

∴210a∴1a

24．⑴如图所示：

⑵

41

3

321

2

3

4

2

xx

fxxx

xx

























，≤

，

，≥

当

1x≤

，41x，解得

5x

或

3x

当

3

1

2

x，321x，解得1x或

1

3

x

1

1

3

x∴或

3

1

2

x

当

3

2

x≥，41x，解得5x或3x

3

3

2

x∴≤或5x

综上，

1

3

x或13x或5x

1fx∴，解集为

1

135

3









，，，