空集没有子集

子集、全集、补集（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1．理解子集、真子集概念．

2．会判断和证明两个集合包含关系．

3．会判断简单集合的相等关系．

（二）能力训练要求

1．通过概念教学，提高学生逻辑思维能力．

2．渗透等价转化思想．

（三）德育渗透目标

渗透问题相对论观点．

●教学重点

子集的概念，真子集的概念．

●教学难点

1．元素与子集，属于与包含间的区别．

2．描述法给定集合的运算．

●教学过程

Ⅰ．复习回顾

1．集合的表示方法

列举法、描述法

2．集合的分类

有限集、无限集

由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法．故

问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少．

Ⅱ．讲授新课

［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律．

我们共同观察下面几组集合

（1）A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}

（2）A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜3x－6＞0}

（3）A＝{正方形}，B＝{四边形}

（4）A＝



，B＝{0}

（5）A＝{直角三角形}，B＝{三角形}

（6）A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e}

［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性

（1）集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素．

（2）集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素．

（3）集合A中所有正方形都是集合B的元素．

（4）A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素．

（5）所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素．

（6）集合A中元素A、B都是集合B中的元素．

［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分．从而有下述结论．

1．子集

定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元

素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．记作AB（或BA），这时我们

也说集合A是集合B的子集．

［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义．

［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）．

如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB．

［师］依规定，空集



是任何集合子集．

请填空：



_____A（A为任何集合）．

［生］





A

［师］由A＝{正四棱柱}，B＝{正棱柱}，C＝{棱柱}，则从中可以看出什么规律？

［生］由题可知应有A



B，B



C．

这是因为正四棱柱一定是正棱柱，正棱柱一定是棱柱，那么正四棱柱也一定是棱柱．故

A



C．

［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”．

（1）任何一个集合是它本身的子集

［师］如A＝{9，11，13}，B＝{20，30，40}，那么有A



A，B



B．

师进一步指出：

如果A



B，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集．

这应理解为：若A



B，且存在b∈B，但b



A，称A是B的真子集．

A是B的真子集，记作AB（或BA）真子集关系也具有传递性若AB，BC，则

AC．

那么_______是任何非空集合的真子集．

［生］应填



（2）集合相等

两个集合相等、应满足如下关系：

A＝{2，3，4，5}，B＝{5，4，3，2}，即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B

的元素都是集合A的元素．

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时

集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们就说集合A等于集合B．记作A＝B．

用式子表示：如果A



B，同时B



A，那么A＝B．

如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；

{2，3，4}与{3，4，2}相等；

{2，3}与{3，2}相等．

［师］请同学互相举例并判断是否相等．

稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨．

如：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}．

2．例题解析

［例1］写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

分析：寻求子集、真子集主要依据是定义．

解：依定义：{a，b}的所有子集是



、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有



、{a}、{b}．

注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个．

［例2］解不等式x－3＞2，并把结果用集合表示．

解：由不等式x－3＞2知x＞5

所以原不等式解集是{x｜x＞5}

Ⅲ．课堂练习

（一）课本P

9

练习1、2、3

1．解：集合{a，b，c}的所有的子集有



、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、

{a，b，c}．

其中真子集有



、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}．

3．（1）解方程x＋3＝

2

x

－5，并把结果用集合表示．

解：∵x＋3＝

2

x

－5

∴x＝－16

那么解集为{x｜x＝－16}．

（2）解不等式3x＋2＜4x－1，并把结果用集合表示．

解：由3x＋2＜4x－1知x＞3

故原不等式的解集为{x｜x＞3}．

（二）补充练习

已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当A



B时，求实数m的取值范围．

分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系．需

用数形结合．

解：将A及B两集合在数轴上表示出来

要使A



B，则B中的元素必须都是A中元素

即B中元素必须都位于阴影部分内

那么由x＜－2或x＞3及x＜－

4

m

知

－

4

m

＜－2即m＞8

故实数m取值范围是m＞8

Ⅳ．课时小结

1．能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集．

2．清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P

10

习题1.21，2，3

1．图中A、B、C表示集合，说明它们之间有什么包含关系．

解：由图形结构及子集定义

A是B的子集，而B又是C的子集．故A



B



C

2．下列各题中，指出关系式A



B、A



B、AB、AB、A＝B中哪些成立：

（1）A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}．

解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，

故A



B及AB成立．

（2）A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}．

解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8

那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B．

式子A



B、A



B、A＝B成立．

3．判断下列式子是否正确，并说明理由．

（1）2



{x｜x≤10}

解：不正确．因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集．

（2）2∈{x｜x≤10}

解：正确．因数2是集合{x｜x≤10}中数．故可用“∈”．

（3）{2}{x｜x≤10}

解：正确．因{2}是{x｜x≤10}的真子集．

（4）



∈{x｜x≤10}

解：不正确．因为



是集合，不是集合{x｜x≤10}的元素．

（5）



{x｜x≤10}

解：不正确．因为



是任何非空集合的真子集．

（6）



{x｜x≤10}

解：正确．因为



是任何非空集合的真子集．

（7）{4，5，6，7}{2，3，5，7，11}

解：正确．因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素．

（8）{4，5，6，7}{2，3，5，7，11}

解：正确．因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11．

（二）1．预习内容：课本P

9

2．预习提纲：

（1）求一个集合补集应具备的条件．

（2）能正确表示一个集合的补集．

●板书设计

§1.2.1子集、全集、补集（一）

1．子集概念（定义）举例

（1）任何一个集合是它本身子集练习

作业

（2）集合相等小结

●备课资料

一、对子集的进一步理解

1．正确理解子集的概念．一般地，对于两个集合A与B，如果集合a中的任何一个元

素都是集合B的元素，我们就说集合A是集合B的子集，也就是说，如果由任一x∈A，可

以推出x∈B，那么集合A就是集合B的子集．在教学时，不宜把子集说成是由原来的集合

中的部分元素组成的集合．

2．在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错，例

如A



B与B



A是同义的，A



B与A



B是不同的．

要区分一些容易混淆的符号．

（1）∈与



的区别：∈是表示元素与集合之间关系的，因此，有1∈N，－1



N．等；



是表示集合与集合关系的．因此，有N



R，





R等．

（2）a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的一个集合．因

此，有1∈{1，2，3}，0∈{0}，{1}



{1，2，3}，不能写成0＝{0}，{1}∈{1，2，3}，1



{1，

2，3}．

（3）{0}与



的区别：{0}是含有一个元素的集合．



是不含任何元素的集合，因此

有





{0}不能写成



＝{0}，



∈{0}．

3．“事实上，设x是集合A的任意一个元素，因为A



B，所以有x∈B，又因为B



C

所以x∈C，从而A



C”这段话是什么意思？

这是“对于集合A、B、C，如果A



B，B



C，那么A



C”这一命题的数学证明．这

种证明方法在集合论中常常用到．要证明关系式A



C成立，我们的方法就是从关系式左边

的集合中任取一个元素x，证明x也属于关系式右边的集合，即从x∈A，推证x∈C．

4．集合之间的关系图是一种什么性质的图形？使用时要注意些什么？

这种图在数学上也称为文（TohnVenn，1834年～1923年英国逻辑学家）氏图．它仅仅

起着说明各集合之间关系的示意图的作用（就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那

样），因此，边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素或

子集统统包在里边就行．决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素（事实上，这个集

合可能与点毫无关系）；至于边界上的点是否属于这个集合，也都不必考虑．

二、参考练习题

1．判断正误

（1）空集没有子集（）

（2）空集是任何一个集合的真子集（）

（3）任一集合必有两个或两个以上子集（）

（4）若B



A，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B（）

（5）



{0}（）

分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．

解：该题的5个命题，只有（4）、（5）是正确的，其余全错．

对于（1）、（2）来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子

集．

对于（3）来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．

对于（4）来讲，当x∈B时必有x∈A，则x



A时也必有x



B．

而（5）符合，空集是任一非空集合的真子集．

2．集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．

分析：区分子集与真子集的概念．空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的

子集有2n，真子集有2n－1个．

则该题先找该集合元素，后找真子集．

解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2

即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}

真子集：



、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个

3．（1）下列命题正确的是（）

A．无限集的真子集是有限集

B．任何一个集合必定有两个子集

C．自然数集是整数集的真子集

D．{1}是质数集的真子集

（2）0与



的关系是（）

A．0＝



B．0



C．0∈



D．0



（3）以下五个式子中，错误的个数为（）

①{1}∈{0，1，2}②{1，－3}＝{－3，1}③{0，1，2}



{1，0，2}④



∈{0，

1，2}⑤



∈{0}

A．5B．2C．3D．4

（4）M＝{x｜3＜x＜4＝，a＝π，则下列关系正确的是（）

A．aMB．a



M

C．{a}∈MD．{a}M

解：（1）该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支．必须对概念把握准确，并不是

所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A．由于



只有一

个子集，即它本身，排除B．由于1不是质数，排除D．故选C．

（2）0是一个元素，



是不含任何元素的集合，符合上述意义的选D．

（3）该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系．

①应是{1}



{0，1，2}，④应是





{0，1，2}，⑤应是





{0}

故错误的有①④⑤，选C．

（4）M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π

因3＜a＜4，故a是M的一个元素．

{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M．选D．

4．判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：

（1）A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}

（2）A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}

解：（1）因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇

数构成的，即A＝B．

（2）因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，

又x＝4n＝2·2n

在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．

故集合A、B的元素都是偶数．但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA．

评述：此题是集合中较抽象题目．注意其元素的合理寻求．

5．已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．

解：因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}

当a＝0时，Q={x｜ax＋1＝0}＝



，QP成立．

又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－

a

1

}，

要QP成立，则有－

a

1

＝2或－

a

1

＝－3，a＝－

2

1

或a＝

3

1

．

综上所述，a＝0或a＝－

2

1

或a＝

3

1

评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．

本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况．

而当Q＝



时，满足QP．

6．已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0}，要使

AP



B，求满足条件的集合P．

解：由题A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}＝



B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1，1，－4}

由AP



B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：

{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}

评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素．

而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问

题的首要条件．

7．已知A



B，A



C，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的

集合A共有多少个？

解：因A



B，A



C，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足A



B，

有



，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，

{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，

2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，

{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个．

又满足A



C的集合A有



，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，

4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个．

其中同时满足A



B，A



C的有8个



，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上

述解法太繁．由此得到解题途径．

有如下思路：

题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元

素组成集合的子集数是多少．

显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8（个）

8．设A＝{0，1}，B＝{x｜x



A}，则A与B应具有何种关系？

解：因A＝{0，1}，B＝{x｜x



A}

故x为



，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素．故A∈B．

评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．

9．集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，

（1）若B



A，求实数m的取值范围．

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数．

（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

解：（1）当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝



满足B



A．

当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，

需











512

21

m

m

，可得2≤m≤3

综上m≤3时有B



A

（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}

所以，A的非空真子集个数为：28－2＝254

（3）∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x

∈A与x∈B同时成立．

则①若B＝



即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件．

②若B＝



，则要满足条件有：











51

121

m

mm

或











212

121

m

mm

解之m＞4

综上有m＜2或m＞4

评述：此问题解决：（1）不应忽略



；（2）找A中的元素；（3）分类讨论思想的运用．