求弧长公式

弧长公式180

nR

l





；扇形面积公式：

2R

=

360

n

S



扇形

1

2

lR

1、向量的的数量积

2、定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉

并规定0≤〈a,b〉≤π

3、定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos

〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

2、向量的向量积

3、定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b

的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成

右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

4、定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•

向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

5、三点共线定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为

0360

r

l



，S圆锥侧=rl，S圆锥表=()rrl，其中为r圆锥底面半径，l为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心

角为0360

Rr

l







，S圆台侧=()rRl，S圆台表=22()rrlRlR.

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S圆柱侧=2rl，S圆柱表=2()rrl，

其中为r圆柱底面半径，l为母线长。锥体的体积计算公式：

ShV

3

1



锥S为底面面积，h为高）

台体的体积公式：''

1

()

3

VSSSSh

台（S，'S分别上、下底面积，h为高）

→''22

11

()()

33

VSSSShrrRRh

圆台（r、R分别为圆台上底、下底半径）