等比数列公式

求等比数列通项公式的常用方法

等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前

n

项和的基础，也是研究

数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的

地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法.

一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等

比数列定义直接求它的通项公式.

例1．求下列数列的通项公式

5，-15，45，-135，405，-1512…

解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项1)3(5n

n

a

二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比

数列的通顶公式1

1

n

n

aaq来求。

例2：数列

n

a为等比数列，若

123123

7,8aaaaaa，求通项

n

a

解，由已知得3

2123

8aaaa（利用等比数列的性质）

2

2a，

123

7,aaaQ2

22

7

a

aaq

q

即

2

250q

q

22520qq，解得

2q

或

1

2

q

当

2q

时，得

1

1a，12n

n

a

当

1

2

q

时，得

1

4a，32n

n

a

评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由

1

a

与

q

来表示，也可

以用其他项来相互表示如nm

nm

aaq

例3：已知等比数列

n

a中，

310

3,384aa，则该数列的通项

n

a=

解：103

103

,aaq

7

10

3

384

128

3

a

q

a



2,q33

3

32nn

n

aaq

注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求

首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式nm

nm

aaq.

三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：

（一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项

例4．已知数列

n

a中

1

1

a

，12

1



nn

aa，求通项公式

n

a

解：由已知得：)1(21

1



nn

aa，∴

2

1

1

1







n

n

a

a

∴数列1

n

a是首项为

21

1

a

，公比为2的等比数列∴nn

n

aa22)1(11

1

.即12n

n

a.

评：对于)(

1

qprqapa

nn





形式的递推关系式，可以配常数，即

)()(

1

kaqkap

nn





，

pq

r

k



这里从而转化为等比数列，再求通项。也可以

用迭代法。如

1

21

nn

aa



，

1

21

nn

aa



，2

12

222

nn

aa



，

232

23

222

nn

aa



LL212

21

222nnnaa，

将上列各式相加得12)2221(2122

1

1nnn

n

aa.

（二）取倒数转化为等比数列，从而再求通项.

例5．已知数列

n

a中

2

1

a

，

1

2

1





n

n

na

a

a

，求通项公式

n

a.

解：易知0

n

a，由

1

2

1





n

n

na

a

a

，两边取倒数得

nn

aa

1

2

1

2

11

1





，即

)1

1

(

2

1

1

1

1



nn

aa

.∴数列













1

1

n

a

是首项为

2

1

1

1

1



a

，公比

2

1

为的等比数列，

∴1)

2

1

(

2

1

1

1

n

n

a

故

n

n

a

















2

1

1

1

.

四．利用

n

S与

n

a的关系：

n

a与

n

S的关系为1

1

(1)

(2)n

nn

Sn

a

SSn















，把

n

S转化

为

n

a的递推关系式，再求通项.

例6．已知数列

n

a的前

n

的和为

n

s，且32)3(mmasm

nn

，其中

m

为

常数，3m，求通项公式

n

a.

解：∵32)3(mmasm

nn

∴当2n时，32)3(

11





mmasm

nn

∴

1

22)3(





nnn

mamaam，∴

3

2

1







m

m

a

a

n

n)3(的常数m

，∴数列

n

a是

首项为

1

1

a

，公比为

3

2

m

m

的等比数列∴.1)

3

2

(



n

nm

m

a

.

五．实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究

n

a与

1n

a的关系，

求等比数列的通项

例7．从盛满

a

升

)1(a

纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1

升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第

n

次操作后溶液的浓度是多少

解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是

a

a

1

1

1



，操作

n

次后溶液

的浓度为

n

a，由题意知：

)

1

1(

1a

aa

nn





，∴数列

n

a是首项为

a

a

1

1

1



，公比

a

1

1

为的等比数列，nn

na

qaa)

1

1(1

1

.

等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数

列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题。