祖冲之的资料

第21课承上启下的魏晋南北朝文化（一）案例模拟“算筹”计算

活动目的：

1．通过活动，使学生了解我国古代的数学计算工具之一“算筹”的基本情况，并

大致了解我国古代运用算筹进行筹算的方法。

2．通过活动体验，激发学生探究古代历史奥秘的热情，理解祖冲之取得将圆周率

数值精确到小数点以后第七位数字成就的不易，认识对科学的热爱、坚韧不拔的毅力是

祖冲之成功的秘诀。

活动准备：

学生：准备圆杆铅笔一支，直尺一把，牙签若干根。

教师：1．查阅有关祖冲之的资料，详细了解他计算圆周率的过程和方法。

2．查阅算筹的有关知识，了解我国古代使用算筹计算的基本方

法。

活动步骤：

1．学生用测量的方法取得手中圆杆铅笔圆截面的周长和直径的数值，并求出周长

与直径的比值。

2．了解祖冲之计算圆周率的方法。

3．了解“算筹”表示数的方法。

4．模拟“算筹”进行演算。

5．结合模拟演算活动，谈学习祖冲之计算圆周率的体会。

活动过程：

一、测量铅笔圆截面周长与直径并计算它们的比值

1．教师提出第一个活动任务：用直尺测量出你手中圆杆铅笔圆截面的周长和直径

的数值，然后计算周长与直径的比值。

直径可以测量，而圆的周长无法用直尺直接测量。调动学生思维，想办法借助其它

的线性工具，完成圆截面周长的测量。学生求得的周长与直径的比值，大都在3．3以

上。

2．提出问题：圆的周长与直径的比值，有数学名称吗？为什么大家求的比值不一

样呢？

圆的周长与直径之比就是圆周率。比值不一样的主要原因是测量的误差较大，计算

不精确。如何精确呢？

3．提出问题：圆周率的数值是多少？谁被称为圆周率之父？

二、学习了解祖冲之计算圆周率的成就及方法。

计算圆周率的关键，是如何求出圆的周长。祖冲之继承了西汉刘徽的割圆之术，采

用计算圆内接正多边形周长的办法计算圆的周长。他将圆的直径固定为一丈，通过多种

方法，主要是勾股定理的方法，求圆内接正多边形的周长。他是如何计算的？今天我们

一起走进祖冲之的那个时代，进行体验。

三、结合课文中“自由阅读卡”的内容，了解算筹表示数的方法。

1．学生阅读课本中的“自由阅读卡”和资料一，知道什么是算筹。

2．组织学生动手用牙签模拟：数字0—9的两种表示方法。

3．了解“算筹”表示数的方法。

用纵式表示个位、百位、万位……用横式表示十位、千位、十万位……如果遇到“0”

数，则空位不摆算筹，十进位制，从右到左。

4．模拟表示数。

范例：137

练习：

54283259160837924

四、模拟算筹进行演算

算筹可以进行加减乘除的计算，也可以进行乘方、开方等复杂运算。

尝试加法运算，要求用算筹表示算式。（注：其中加法符号与等号采用现代数学的

表示法）

范例：137十5428

练习

1．2356十4789

学生完成示意图：

2．426758十324051

学生完成示意图：

3．78345278十13297844

学生完成示意图：

五、结合模拟算筹活动，谈学习祖冲之用算筹计算圆周率的感受

1．学生阅读资料二，详细了解祖冲之计算圆周率的情况。

通过资料我们知道，祖冲之计算圆周率的工作是异常艰难的。下面仅以最简单的圆

内接正四边形为例，继续模拟体验。

2.师生共同模拟演算圆内接正四边形的边长。

出示：圆内接正四边形

我们选取圆内接四边形是因为它很特殊。它的对角线相互平分且垂直，可以直接用

勾股定理计算边长，不需要做多次运算。

以上是用手算并采用阿拉伯数字的开方算式，其开方法则有兴趣的同学可以去查资

料了解，由于它太复杂了，手算开方早已被平方根表、计算器所代替。祖冲之那个时代

没有阿拉伯数字，只有算筹，请大家试着用算筹模拟以上的开方算式。

相当多的学生没有完成模拟演算。

计算最简单的正四边形的边长就如此麻烦，更何况是24576边形。其他正多边形的

边长都需要多次运用勾股定理，多次乘方，多次开方，计算复杂程度是我们现代人难以

想象的。为什么要计算到正24576边形呢？我们再来观察一下。

刚才正四边形的边长是0．7071，其周长是

0．7071×4＝2．8284（丈）

直径为一丈，这样计算出的圆周率还不足3。因此我们知道了，只有圆内接正多边

形的边数越多，其周长才越接近圆的周长。祖冲之为了圆周率数值的精确，他坚持计算

到了24576边形。为此他花了整整一年的光阴，终于把圆周率的数值精确到了小数点以

后第七位数字。其中的酸甜苦辣通过我们的模拟活动相信大家有了一定的体验。

问题：祖冲之采用的计算工具就是同学们今天模拟的“算筹”。请你们结合自己模

拟算筹进行计算的体验，谈一谈祖冲之成功带给你的感受。

学生1：祖冲之肯定有惊人的恒心和毅力。因为用算筹进行计算注意力要高度集中，

稍不注意就会前功尽弃。如用数筹表示数字要准确，摆好的算式有一点风吹草动，就要

重来，一个复杂的算式可能要成百上千次的计算才能成功。

学生2：祖冲之很勤奋。用算筹进行计算繁琐枯燥。不仅要熟练地掌握计算的规则，

还要经常练习，才能计算得又快又准。

学生3：祖冲之不迷信前人的成就，敢于创新。前人已经有了3．14的结果，可是

他还要验算，并且想办法努力使计算结果更精确。

学生4：祖冲之计算圆周率时一定需要很大的场地和强壮的体魄。因为我在模拟活

动中课桌不够用，最后是在地上摆放演算的。而且据资料介绍，算筹比牙签长多了。

学生5：我认为祖冲之很喜欢数学。一是从他个人的成就可以看出，他不仅精确计

算了圆周率，还写了《缀术》，编制了历法等和数学有关的工作；二是只有热爱才能如

此不怕困难，一个不喜欢数学的人是不会用这么长的时间，忍受严寒酷暑，反复做这样

单调的计算的。热爱数学是祖冲之取得杰出成就的最根本原因。

你们通过自己的体验、感受和反思，发掘出了祖冲之身上这些可贵的科学精神和科

学品质。这些精神和品质正是值得我们永远牢记的。

学生天地：

1．你由算筹表示数字的方法、进位制等，联想到哪些事物？

2．通过模拟算筹活动，你最想说的是什么？

背景资料：

算筹简介

算筹是中国独特的一种计算工具。它是一种竹制、木制或骨制的小棍。把算筹放在

地面或盘中，就可以一边摆弄小棍，一边进行运算。“运筹帷幄”中的“运筹”就是指

移动筹棍，当然运筹还含有筹划的意思。

算筹的发明是在结绳记数等记数方法的基础上逐渐产生的。它最早出现在何时，现

在已经无法考证，但在春秋战国，算筹使用的已经非常普遍了。

用算筹进行计算很方便，在古代中国使用的也很普遍，秦始皇及张良等政治家都亲

自进行过算筹计算。

算筹有纵式和横式两种不同的摆法。这是因为十进位制的需要。所谓十进位制，又

称十进位值制，包含有两方面的含义。一是“十进制”，即每满十数进一个单位，十个

一进为十，十个十进为百，十个百进为千；二是“位值制”，即每个数码所表示的数值，

不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码“5”，

放在个位上表示5，放在十位上就表示50，放在百位上就表示500，放在千位上就表示

5000庞在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和

运算时，十进位值制更标准。

按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百

位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式。这样从右到左，纵横相间，以此类推，就

可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定

的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。这种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法

是完全一致的。

中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其

他古老民族的记数法作一比较，其优点是显著的。古罗马的数字系统没有位值制，只有

七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但

用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个

数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数

码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得

许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在

他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为最妙的发明之一。

割圆不尽十指磨出血，周率可限青史标美名──圆周率是怎样算出来的？

祖冲之得罪了朝廷权臣，赋闲在家，心里郁愤难平。他深感当时的世道要干成一件

事实在难。当时他才36岁，于是就想搞点与政界牵涉不大的事一研究数学。他先为古

代数学名著《九章算术》作了注。《九章算术》成书于公元四、五十年间，集我国古代

数学之大成，历代有不少人曾为它作注，但都碰到一个难题：那就是圆周率。很古时候，

人称“径一周三”，即π＝3。王莽新朝时精确到3.1547，东汉时张衡又精确到3.1466，

三国时刘徽为《九章算术》作注，则认为最精确的应是3.14。

祖冲之一接触到圆周率问题，便被困扰得坐卧不安。这周径之比是如何得出的呢？

他研究刘徽注的那本《九章算术》。这时屋里还有一个十三、四岁的男孩，他是祖冲之

的儿子，叫祖暅。别看他小小年纪，却天资聪颖，戏耍之余常爱在父亲身边推算那些数

字和图形。今天他看到地上许多圆圈感到很新鲜，便单腿在地上跳起图来。突然听到父

亲拍案喊道：“有了！”将他吓了一跳，忙跑过去拉着父亲的衣袖问道：“什么有了？”

“办法有了。暅儿，你看刘徽这里不是明明写着割圆术吗？只要将一个圆不断地割下去，

内接上正多边形，求出多边形的周长，不就有了圆周率了吗？暅儿，你会吗？”

“我会，用爸爸教过的勾股定理去求就是了。”

“道理简单，算起来可就费动了。从今天起，咱俩就来办这件事，你可要十分仔细。”

说完，祖冲之到院里搬来几根大竹子，操起一把刀破成细条，又一一斩成短截，整

整两天，地上堆起了一座竹棍的小山。现在听起来奇怪，搞计算怎么先干起竹木活

来？原来，当时既没有阿拉伯数字可以笔算，也没有算盘可以珠算。运算全靠算筹的这

种原始工具。今天遇到这么大的算题，平时的那些算筹哪里够用？

祖冲之将这一切准备好以后，便在地上画了一个直径为一丈的大圆，将圆割成六等

分，然后再依次内接一个12边形、24边形、48边形……他都按勾股定理用算筹摆出乘

方、开方等式，一一求出多边形的边长和周长。把直径定为一丈，这样就省掉再除一次

的程序。不断求出多边形的周长，也就不断逼近圆周率了。祖暅也在那个大圆圈里跳进

跳出地帮他拿算筹，记数字。就这样直算得月落鸟啼，直算得鸡鸣日升，那竹棍摆成的

算式从桌上延到地下，又满地转着圈子，一屋上下全都是算筹。这批算筹又都是些新破

的竹子，还没有来得及打磨，祖冲之用手捏着、想着、摆着，不消几日，指头渐渐都被

磨破，那绿白相间的新竹竟染上了红红的血印。

他们父子这样不分昼夜地干着。接到第96边形时，遇到了难以想象的困难。当年

刘徽就是至此却步，而将得到的3.14定为最佳数据。夜静更深，小祖暅睡了。祖冲之

推开窗户，深吸了夜深时分甜甜的空气，看了一回星空，又转过身来看看地上的那大圆。

那内接的96边形，与圆都快接近于重合了。按说能算到这一步已经实在不易，用这个

数字再去为《九章算术》作注，也就完全可以了。他用拳头捶了捶酸困的后腰，又摸摸

缠了布条的手指，向墙边的书架踱去，忽然背后刷拉拉一阵响声。他猛一回头，哎呀！

原来刚才未关窗户，一阵夜风吹起窗慢，把竹筹摆起的许多算式扫得七零八落，抛洒一

地。这式子刚摆完还没有来得及验算，也未抄下得数。要知每算一遍就要进行十一次加

减乘除和开方，多么繁重的劳动啊！祖冲之一下扑在地上，用还渗着血的十指捧起一掬

算筹，对着深邃的夜空，低声喊道：“老天啊！你怎么如此欺人！”他一甩衣袖，索性

将桌上的残式全部拂去，又重新摆布起来。就这样不知又过了多少天，只知花开花落，

月缺月圆，父子俩把地上那个大圆直割到24576份，这时的圆周率已经精确到

3.14159261。祖冲之知道这样不断割下去，内接多边形的周长还会增加，更接近于圆周，

但这已到了小数点后第八位，再增加也不会超过0.00000001丈，所以圆周率必然是

3.1415926＜π＜3.1415927。当时祖冲之就把圆周率定在“上下二限”之间。这上下限

的提法确是祖冲之首创，他得出的圆周率精确值在当时世界上已遥遥领先，直到一千年

后才有阿拉伯数学家阿尔卡西的计算超过了他。所以国际上曾提议将圆周率命名为“祖

率”。

算筹与算盘的关系

算筹可以表示任何自然数，还能够进行加、减、乘、除、乘方、开方等复杂的计算

问题。当时，人们对“算筹”是非常珍视的。木、竹、骨都可以制。为了减少反复制作

的麻烦，方便携带，还专门做了算袋或算子筒。

随着社会的进步，生产的发展，需要计算的数字越来越大。“算筹”用起来就显得

很不方便了。为了避免算筹的丢失，减少在地上摆放搬移筹棒的麻烦，人们便设法使“算

筹”连结到一起，固定在一定的物体上。于是，便想出了用一粒粒算珠代替筹棒，用细

棒把算珠穿起来，固定在木框上，用手指拨动算珠代替移动筹棒。这样“算盘”就发明

了！

最初的算盘是什么样子，也无法知晓。明代初年的算盘，中间是一根细木片将上下

珠隔开。明代中叶，横梁（隔片）才加固渐宽。明朝末年的算盘，已和近代相同了。

到了现代，人们为了减少拨珠清盘的麻烦，对算盘又作了一些改进。由原来上档两

株变为一珠，并加上了清盘装置。算珠的形状、大小更适于操作。在计算器普遍使用的

今天，古老算盘作为中华民族的瑰宝，仍有它特有的功能。

参考资料来源

1．义务教育课程标准实验教科书《中国历史》七年级上册人民教育出版社

2．《数理化通俗演义》梁衡著人民教育出版社