燕尾定理

.

'.

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形

ABC

中，AD，BE，

CF

相交于同一点

O

，那么

::

ABOACO

SSBDDC





．

O

F

E

D

CB

A

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

A

B

C

D

O

b

a

S3

S2

S1

S4

①22

13

::SSab

②22

1324

::::::SSSSababab；

③S的对应份数为2ab．

等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图

12

::SSab

ba

S

2

S

1

DC

BA

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图

ACDBCD

SS

△△

；

反之，如果

ACDBCD

SS

△△

，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于

它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

.

'.

如图在ABC△中，

,DE

分别是

,ABAC

上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC

上)，

则

:():()

ABCADE

SSABACADAE

△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

如图，

2

2S

，

3

4S

，求梯形的面积．

S4

S3

S2

S1

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形

ABCD

的AB平行于

CD

，对角线

AC

，

BD交于O，已知AOB△与BOC△的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形

ABCD的面积是________平方厘米．

35

25

O

A

B

CD

梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三

角形BOC面积的

2

3

，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

O

A

B

C

D

(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且

3

5

ABD

CBD



三角形的面积

三角形的面积

，那么OC的长是多少？

A

B

C

D

O

.

'.

梯形的下底是上底的

1.5

倍，三角形

OBC

的面积是29cm

，问三角形

AOD

的面积是多少？

A

BC

D

O

如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形

ADG

的面积是11，三角形

BCH

的面积是

23

，求四边形

EGFH

的面积．

H

G

F

E

D

C

B

A

如图，正方形

ABCD

面积为

3

平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分

的面积．

G

M

D

C

B

A

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF

的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．

A

B

C

D

E

F

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，

,EF

是DC边上的三等分点，求阴影部分的面

积．

O

FE

DC

B

A

如图，在长方形ABCD中，6AB厘米，2AD厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积．

.

'.

B

C

A

D

EF

O

(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE

的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．

O

E

A

B

C

D

【巩固】右图中

ABCD

是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平

方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

21

A

B

C

D

E

9

4

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形

面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

16

8

2

A

B

C

D

E

如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面

积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

F

A

B

C

D

E

10

5

(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3

块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘

米．

.

'.

?

8

5

2

O

AB

C

D

E

F

(98迎春杯初赛)如图，长方形

ABCD

中，

AOB

是直角三角形且面积为54，

OD

的长是16，

OB

的长是9．那么四边形

OECD

的面积是．

A

B

C

D

E

O

燕尾定理应用

【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形

ABC

的面积是1，E是

AC

的

中点，点D在

BC

上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的

面积等于．

F

E

D

C

B

A

【巩固】如图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是

30

，求阴影部分面积.

D

E

F

C

B

A

【巩固】如图，三角形ABC的面积是2200cm，E在

AC

上，点D在

BC

上，且

:3:5AEEC,:2:3BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．

F

E

D

C

B

A

【巩固】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与CD相交于点O,则ABC△被分成的4部

分面积各占ABC△面积的几分之几？

.

'.

O

E

D

C

B

A

【巩固】如图，三角形

ABC

的面积是1，

2BDDC

，

2CEAE

，AD与BE相交于点F，

请写出这4部分的面积各是多少?

A

B

C

D

E

F

【巩固】如图，E在

AC

上，D在

BC

上，且:2:3AEEC,:1:2BDDC，AD与

BE交于点F．四边形

DFEC

的面积等于222cm，则三角形

ABC

的面积．

A

B

C

D

E

F

三角形ABC中，C是直角，已知2AC，2CD，3CB，AMBM，那么三角形AMN(阴

影部分)的面积为多少？

A

B

C

D

M

N

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部

分的面积是多少平方厘米?

x

x

A

B

F

G

G

FE

D

CB

A

如图所示，在四边形ABCD中，3ABBE，3ADAF，四边形AEOF的面积是12，那么

平行四边形BODC的面积为________．

.

'.

O

F

E

D

C

B

A

ABCD

是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、

BC

边的中点，AF与

CE

交于

G

，

则四边形

AGCD

的面积是_________平方厘米．

G

F

E

D

C

B

A

如图所示，在

ABC△

中，:3:1BEEC，D是AE的中点，那么:AFFC．

F

E

D

CB

A

【巩固】在ABC中，:3:2BDDC，:3:1AEEC，求:OBOE？

A

B

C

D

E

O

【巩固】在ABC中，:2:1BDDC，

:1:3AEEC

，求

:OBOE

？

A

B

C

D

E

O

如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．

.

'.

O

F

E

D

C

B

A

如右图，

ABC△

中，

G

是

AC

的中点，D、E、F是

BC

边上的四等分点，AD与

BG

交于

M，AF与

BG

交于

N

，已知

ABM△

的面积比四边形

FCGN

的面积大

7.2

平方厘米，则

ABC△的面积是多少平方厘米？

N

M

G

A

B

CD

EF

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，

ABC

中，点D是边

AC

的中点，点E、F是边

BC

的三等分点，若ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

F

A

B

C

D

E

M

N