2020年上海市七宝中学自主招生数学试卷
一、解答题（共4小题，满分0分）
1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），y＝过点M、C，2≤x
0
≤4，求菱形OABC的面积最大值．
2．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？
3．对于各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
k
．若1≤m＜n≤k，a
n
＜a
m
，则（a
n
，a
m
）称为一个逆序．数
列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3，2，1中2＜3，则称（3，2）为一个逆序，同理（3，1），（2，
1）也为逆序，逆序数为2+1＝3，现有一各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
100
，逆序数为k，则该
数列颠倒后得到的a
100
，a
99
，…，a
1
，逆序数为多少？
4．已知实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，…，[tn]＝n都成立，求正整数n的最大值．
2020年上海市七宝中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共4小题，满分0分）
1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），y＝过点M、C，2≤x
0
≤4，求菱形OABC的面积最大值．
【解答】解：∵菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），
∴直线的OM斜率为，由菱形对角线互相垂直可得：AC的斜率为﹣，
∴AC：y＝﹣（x﹣x
0
）+y
0
，
令y＝0，则x＝+x
0
＝，
∴A（，0），
∴C（，2y
0
），
∵M、C在同一反比例函数上
∴•2y
0
＝x
0
•y
0
，
∴x
0
2
＝2y
0
2
，
∴y
0
＝x
0
，
∴S＝•2y
0
＝•x
0
＝x
0
2
，
∴S
最大值
＝×4
2
＝24．
2．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？
【解答】解：由题意得：a＞0且Δ＝b
2
﹣4ac≤0，
即（）
2
≤，
故t＝＝1++≥1++3（）
2
＝3（）
2+≥，
当且仅当＝﹣时等号成立，
而（）
2
，无最大值，故t无最大值，
故t最小值为，无最大值．
3．对于各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
k
．若1≤m＜n≤k，a
n
＜a
m
，则（a
n
，a
m
）称为一个逆序．数
列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3，2，1中2＜3，则称（3，2）为一个逆序，同理（3，1），（2，
1）也为逆序，逆序数为2+1＝3，现有一各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
100
，逆序数为k，则该
数列颠倒后得到的a
100
，a
99
，…，a
1
，逆序数为多少？
【解答】解：根据题意可知：
各数互不相同的（a
m
，a
n
）和（a
n
，a
m
）中恰有一个逆序，
所以在数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
100
与a
100
，a
99
，…，a
1
，中，
共有：1+2+3+…+99＝＝4950个逆序，
因为数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
100
，逆序数为k，
所以a
100
，a
99
，…，a
1
逆序数为4950﹣k．
4．已知实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，…，[tn]＝n都成立，求正整数n的最大值．
【解答】解：∵[t]＝1，
∴则1≤t＜2，
∵[t
2]＝2，
∴2≤t
2
＜3，
∵[t
3]＝3，
∴3≤t
3
＜4①，
[t4]＝4，
∴4≤t
4
＜5，
此时2≤t
2
＜②，
∵[t
5]＝5，
∴5≤t
5
＜6，
由①和②，可知6≤t
5
＜，
与5≤t
5
＜6矛盾，
∴[t
5]＝5不成立，
因此n的最大值为4．
本文发布于:2023-01-02 16:08:38，感谢您对本站的认可！
本文链接：http://www.wtabcd.cn/fanwen/fan/90/78745.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
