奉贤中学

上海市奉贤区奉贤中学高一数学理联考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

是一个符合题目要求的

1.在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，，这个三角形的面积为，则a=

（）

A.2B.C.D.

参考答案：

D

依题意，解得，由余弦定理得

.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条

边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用

正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.

2.点（3，-6）与⊙：（x-1）2+(y+2)2=16-a2（其中a为常数）的位置关系

是

A.点在⊙上B.点在⊙外C.点在⊙内D.与a的值有关

参考答案：

B

略

3.已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（M）∩N=（）

A．B．C．D．

参考答案：

C

略

4.已知函数f（x）=，方程f（x）=k恰有两个解，则实数k的取值范围是

（）

A．（，1）B．[，1）C．[，1]D．（0，1）

参考答案：

A

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】利用数学结合画出分段函数f（x）的图形，方程f（x）=k恰有两个解，即f（x）图形与

y=k有两个交点．

【解答】解：利用数学结合画出分段函数f（x）的图形，如右图所示．

当x=2时，=log2x=1；

方程f（x）=k恰有两个解，即f（x）图形与y=k有两个交点．

∴如图：＜k＜1

故选：A

5.已知函数的最小正周期为π，若，则的

最小值为（）

A.B.C.πD.

参考答案：

A

【分析】

由正弦型函数的最小正周期可求得，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据

可知和必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的

方式可构造方程组求得，；从而可知时取最小值.

【详解】由最小正周期为可得：

，

和分别为的最大值点和最小值点

设为最大值点，为最小值点

，

当时，

本题正确选项：A

【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关

键是能够根据函数的最值确定和为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.

6.在区间[﹣2π，2π]范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（）

A．3B．5C．7D．9

参考答案：

B

【考点】H2：正弦函数的图象；HC：正切函数的图象．

【分析】直接由tanx=sinx，解方程即可得到结论．

【解答】解：tanx=sinx得，

即sinx（）=0，

即sinx=0或，

∴sinx=0或cosx=1．

∴在区间[﹣2π，2π]内x=﹣2π，﹣π，0，π，2π共5个值．

故两个函数图象的交点个数为5个．

故选：B．

7.（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）

A．log0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89

C．log0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.8

参考答案：

A

考点：指数函数的图像与性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：依据对数的性质，指数的性质，分别确定log0.89，0.89，90.8数值的大小，然后判定选项．

解答：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，

所以：log0.89＜0.89＜90.8，

故选：A

点评：本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．

8.直线的方程的斜率和它在轴与轴上的截距分别为()

ABCD

参考答案：

A

9.已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）

参考答案：

B

【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．

【分析】先根据指数函数的单调性求出函数在[1，2]上的值域，然后根据f（x）≤4建立关于m的不

等式，解之即可．

【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，

∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，

∵f（x）≤4，

∴2+m≤4，解得m≤2，

∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．

故选：B．

10.定义在R上的函数f(x)是偶函数且,当x∈时,,则

的值为

A．B．C．D．

参考答案：

A

∵，

∴，

又函数为偶函数，

∴．选A．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11.设2134与1455的最大公约数为m，则m化为五进制数为．

参考答案：

12.在等差数列{}中，是方程的两根，则

．

参考答案：

15

13.已知函数，若当时，，则实数的取值范围

是___________

参考答案：

14.已知，幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则f（2）

的值为．

参考答案：

16

【考点】幂函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则指数是偶

数且大于0，由于﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4≤4，即可得出．

【解答】解：∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，

则指数是偶数且大于0，

∵﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4≤4，

∴因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，

∴m=﹣1，f（x）=x4，

∴f（2）=24=16．

【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20米的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测

得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是___________米。

参考答案：

；

略

16.（6分）（2015秋淮北期末）（A类题）如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点

A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为．

参考答案：

3π

【考点】球的体积和表面积．

【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．

【分析】由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，即可

求出球的表面积．

【解答】解：由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，

∴球的表面积为=3π．

故答案为：3π．

【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．

17.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为

185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有___学

生。

参考答案：

3700

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18.（本题满分13分)如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分

别为、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、。

（1）求圆和圆的方

程；

（2）过点作的平行线，求直线被圆截得的弦的长

度；

参考答案：

（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在

的角平分线上，同理，也在的角平分线上，

即三点共线，且为的角平分线，

的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，

圆的方程为

；....

......................3分

设圆的半径为，由，得：,

即，，圆的方程为：

；................6分

（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，

此弦所在直线方程为，即，

圆心到该直线的距离，则弦长

=.............13分

注：也可求得点坐标，得过点的平行线的方程，再根据圆心

到直线的距离等于，求得答案；还可以直接求点或点到直线的距离，进而求得弦长。

19.已知分别以为公差的等差数列满足。

（1）若，且存在正整数，使得，求证：；

（2）若，且数列的前项和满足

，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令，问不等式是否对恒成

立？请说明理由。

参考答案：

解：（1）依题意，，

即，即；

等号成立的条件为，即，

，等号不成立，原命题成立．

（2）由得：，即：，

则，得

，，则，；

（3）在（2）的条件下，，，

要使≤，即要满足≤0，

又，，∴数列单调减；单调增，

①当正整数时，，，；

②当正整数时，，，；

③当正整数时，，，，

综上所述，对∈N

+

，不等式≤恒成立．

略

20.(本题满分12分)经英国相关机构判断，MH370在南印度洋海域消失.中国两舰艇随即在边长为

100海里的某正方形ABCD（如图）海域内展开搜索.两艘搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前

联合搜索，且（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的

海平面.设，搜索区域的面积为.

（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；

（2）求的最大值，并求此时的值.

参考答案：

（1）

,

（2）令,,

则，当时，

.

∴当时，搜索区域面积的最大值为()平方海里.

21.已知等比数列{a

n

}的前n项和为S

n

，公比，，．

（1）求等比数列{a

n

}的通项公式；

（2）设，求的前n项和T

n

．

参考答案：

（1）（2）

【分析】

（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得

到所求通项公式；（2）求得b

n

＝n，，由裂项相消求和可得答案．

【详解】（1）等比数列的前项和为，公比，①，

②．

②﹣①，得，则，

又，所以，

因为，所以，

所以，

所以；

（2），

所以前项和．

【点睛】裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂

项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或

.

22.（12分）如图，三个图中，图①是一个长方体截云一个角所得多面体的直观图，它的

主视图和左视图为图②、图③（单位：cm）。

（1）在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连接，证明：//平面EFG。

参考答案：

(1)如图

(2)所求多面体体积

V＝V长方体－V正三棱锥

＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm

2

)

(3)在长方体ABCDA′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′.

因为E，G分别为AA′，A′D′中点，

所以AD′∥EG，

从而EG∥BC′.

又BC′?平面EFG，

所以BC′∥面EFG.

略