平行线的性质教案

7.4平行线的性质

第一环节：情境引入

活动内容：

一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次

拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？

说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，

即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的

性质．

活动目的：

通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质。

教学效果：

由于学生对平行线的性质比较熟悉，因此，在学生回忆起这些知识后，能很

快解决实际问题。

第二环节：探索与应用

活动内容：

①画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条

直线所截的同位角的关系是怎样的？

②平行公理：两直线平行同位角相等．

③两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内

角有什么关系呢？

∵a∥b(已知)，

∴∠1＝∠2(两条直线平行，同位角相等)

∵∠1＝∠3(对顶角相等)，

∴∠2=∠3(等量代换)．

师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？

学生活动：同学们积极举手回答问题．

教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．

师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的．并归纳总结出平行线的第三

条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推

导过程并写出第三条性质，形成正确板书．

∵a∥b(已知)

∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)

∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义)

∴∠2+∠4＝180°(等量代换)

即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同

旁内角互补

师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问

题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内

角互补，即它们的符号语言分别为：

∵a∥b，

∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)．

∵a∥b(已知)，

∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．

∵a∥b(已知)，

∴∠2+∠4＝180°．(两直线平行，同旁内角互补)

(板书在三条性质对应位置上)

活动目的：

通过对平行线性质的探索，使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识，

认识证明的必要性。

教学效果：

在前面复习引入的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够

进行推理，在这里教师不必包办代替，充分调动学生的主动性和积极性，进而培

养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣．

第三环节：课堂练习

活动内容：

①已知平行线AB、CD被直线AE所截

(1)若∠1=110°,可以知道∠2是多少度吗？为什么？

(2)若∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？

(3)若∠1=110°，可以知道∠4是多少度吗，为什么？

②变式训练：如图是梯形有上底的一部分，已知量得

∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？

解：∵AD∥BC(梯形定义)，

∴∠A+∠B＝180°．∠C＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，

∴∠B=180°-∠A＝180°-115°=65°．

∴∠C＝180°-∠D＝180°-100°=80°．

③变式练习：如图，已知直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°

(1)∠DAB等于多少度？为什么？

(2)∠EAC等于多少度？为什么？

(3)∠BAC、∠BAC＋∠B＋∠C各等

于多少度？

④如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．

(1)∠E＝78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？

(2)∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？

活动目的：

通过学生对证明的螺旋式上升的认识，更认识到数学严密性与证明的必要

性，做到每一步都有根有据。

教学效果：

在教师不给任何提示的情况下，学生独立完成，把理由写成推理格式．对于

学习困难一点的同学允许他们相互之间讨论后,再试着在练习本上写出解题过

程．对学生中出现的不同解法给予肯定，培养学生的解题能力．

第四环节：课堂反思与小结

活动内容：

①归纳两直线平行的判定与性质

②总结证明的一般思路及步骤

活动目的：

使学生认识到平行线的判定与性质是一对互逆定理，并由感性认识上升到理

性认识，归纳总结出证明题的一般思路及步骤。

教学效果：

应让学生积极讨论，说出平行线的判定及性质，由角的关系得到两条直线平

行的结论是平行线的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相等或互补的结论

是平行线的性质，能通过具体实例，使学生在有充足的感性认识的基础上上升到

理性认识，总结出平行线性质与判定的不同，总结证明的一般步骤，养成严谨的

推理习惯．

课后练习：课本的习题6.4第1，2，3题

教学反思

语言是思维的工具，要学好证明，必须学会语言的表达和运用，初学几何证

明题时，学生对于几何语言不甚清楚，几何语言分为文字语言、符号语言和图形

语言，老师有必要强调：将图形语言和符号语言相结合是学好证明的基本功，画

图时按要求将符合题意的图形画出来。但要注意以下几点：

(1)注意所画图形的多种情况；

(2)能根据题意画出简单的图形，掌握“题”与“图”的对应关系，一般图形

不要画成特殊图形，否则就意味着人为增加了已知条件，反之，特殊图形也不

要画成一般图形，这两种做法都没有真实的表达题意;

(3)图形力求准确，便于观察,有利于解题。

4．4一次函数的应用

第1课时确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；(重点)

2．会确定一次函数的表达式．(重点)

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直

至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信

息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内

容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝(m－4)m2－15的表达式．

解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不

为0，这种类型简称为定义式．

解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两

点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过

解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴









5＝b，

－5＝2k＋b.

解得









k＝－5，

b＝5.

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个

待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数

的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从

而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A(4，3)

是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

3

4

，即正比例函数的表

达式为y＝

3

4

x.∵OA＝32＋42＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

5

2

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点

的坐标为(0，－

5

2

)．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

5

2

＝b，代入3＝4k2＋b

中，得k2＝

11

8

.∴一次函数的表达式为y2＝

11

8

x－

5

2

.

方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐

标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出

函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当

数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克售价y/元

18＋0.4

216＋0.8

324＋1.2

432＋1.6

540＋2.0

……

解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.

当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的

表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式









正比例函数y＝kx（k≠0）

一次函数y＝kx＋b（k≠0）

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表

达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，

体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2平方根

第1课时算术平方根

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)

3．了解算术平方根的性质．(难点)

一、情境导入

上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边

长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们

学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？

二、合作探究

探究点一：算术平方根的概念

【类型一】求一个数的算术平方根

求下列各数的算术平方根：

(1)64；(2)2

1

4

；(3)0.36；(4)412－402.

解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等

于这个非负数即可．

解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；

(2)∵(

3

2

)2＝

9

4

＝2

1

4

，∴2

1

4

的算术平方根是

3

2

；

(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；

(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是

3.

方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清

求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．

(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算

术平方根十分有用．

【类型二】利用算术平方根的定义求值

3＋a的算术平方根是5，求a的值．

解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.

解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.

方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

探究点二：算术平方根的性质

【类型一】含算术平方根式子的运算

计算：49＋9＋16－225.

解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．

解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.

方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．

【类型二】算术平方根的非负性

已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．

解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a≥0，a2≥0，由几个非负数相加

和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.

方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a≥0，|a|≥0，a2≥

0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.

三、板书设计

算术平方根





概念：非负数a的算术平方根记作a

性质：双重非负性





a≥0，

a≥0

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成

过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概

念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

4．4一次函数的应用

第1课时确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；(重点)

2．会确定一次函数的表达式．(重点)

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直

至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信

息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内

容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝(m－4)m2－15的表达式．

解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不

为0，这种类型简称为定义式．

解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两

点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过

解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴









5＝b，

－5＝2k＋b.

解得









k＝－5，

b＝5.

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个

待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数

的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从

而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A(4，3)

是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

3

4

，即正比例函数的表

达式为y＝

3

4

x.∵OA＝32＋42＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

5

2

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点

的坐标为(0，－

5

2

)．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

5

2

＝b，代入3＝4k2＋b

中，得k2＝

11

8

.∴一次函数的表达式为y2＝

11

8

x－

5

2

.

方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐

标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出

函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当

数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克售价y/元

18＋0.4

216＋0.8

324＋1.2

432＋1.6

540＋2.0

……

解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.

当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的

表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式









正比例函数y＝kx（k≠0）

一次函数y＝kx＋b（k≠0）

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表

达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，

体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．