正三棱锥

1

正三棱锥性质

1．底面是正三角形。

2．侧面是三个全等的等腰三角形。

3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。

4．大用处的四个直角三角形（见图）。

（1）斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）

（2）高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）

（3）高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）

（4）斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直

角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元

素集中于一个直角三角形中，利于解出。

正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为

a

，则这个正四面体的

(1)全面积S

全

=32a；

(2)体积V=3

2

12

a

；

(3)对棱中点连线段的长d=

2

2

a

；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相

切，则此线段就是该球的直径。)

(4)相邻两面所成的二面角



=

1

arccos

3

(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为=

1

arccos

3

(7)外接球半径R=

6

4

a

；

(8)内切球半径r=

6

12

a

.

(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).

1、侧面高为（a√3)/2，高为（a√6）/3

2、内切球半径（a√6）/12，外接球半径（a√6）/4，内切球半径+外接球半径=高

3、与棱相切的球半径（a√2）/4

2

有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.

如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=

a

,OB=

b

,OC=

c

.则

①不含直角的底面ABC是锐角三角形；

②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③体积V=

1

6

a

b

c

；

④底面面积S

△ABC

=222222

1

2

abbcca；

⑤S2

△BOC=S△BHC·S△ABC

；

⑥S2

△BOC+S2

△AOB+S2

△AOC=S2

△ABC

⑦

2222

1111

OHabc

;

⑧外接球半径R=222

1

2

abc；

⑨内切球半径r=AOBBOCAOCABC

SSSS

abc







正四面体的性质：设正四面体的棱长为

a

，则这个正四面体的

(1)全面积S

全

=32a；

(2)体积V=3

2

12

a

；

(3)对棱中点连线段的长d=

2

2

a

；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相

切，则此线段就是该球的直径。)

(4)相邻两面所成的二面角



=

1

arccos

3

(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为=

1

arccos

3

(7)外接球半径R=

6

4

a

；

(8)内切球半径r=

6

12

a

.

(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).

A

B

C

D

O

H