首都师范大学附中

北京市首都师范大学附属中学2022--2023学年九年

级上学期9月月考数学试卷

一、单选题

1.汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉

字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“首师附中”四个

字的篆书，其中能看作轴对称图形的是（）

A．

B．

C．

D．

2.一元二次方程的一次项系数是（）

A．B．2C．3D．0

3.抛物线的顶点坐标为（）

A．B．C．D．

4.将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（）

A．B．

C．D．

5.小华将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一

个如图所示的雪花图案，则可以为（）

A．B．C．D．

6.用配方法将一元二次方程变形为的形式是（）

A．B．C．D．

7.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M

1

N

1

P

1

，

则其旋转中心可以是()

A．点EB．点FC．点GD．点H

8.下面的三个问题中都有两个变量：

①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积与矩形一条边长；

②赵老师爬香山所花的时间和平均速度；

③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元，成本价

为10元/，单价每降价1元，可以多卖出，月饼利润与降价；其中，

变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A．①B．①③C．②③D．①②③

二、填空题

9.点关于原点对称的点的坐标是_________．

10.已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达

式可以是_________．(写出一个符合题意的答案即可)

11.若二次函数的图象上有两点,则_____.（填

“>”，“=”或“<”）

12.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点

和点，则的值为______________．

13.如图，为正方形内的一点，绕点按顺时针旋转后得到

，连接，若三点在同一直线上，则的度数为

___________．

14.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐

标为（3，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为_____．

15.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间

有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若

能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除

水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求

出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________．

16.小明用记录某地区去年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第

天下过雨时，记，当第天没下过雨时，记；他用记录

该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第天有雨时，记

，当预报第天没有雨时，记；记录完毕后，小明计算出

，那么该月气象台预报准确的总天数为________；若

，则气象台预报准确的天数为________．(用

表示)

三、解答题

17.解方程：．

18.解不等式组：．

19.已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的

值．

20.如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线

上．

求证：平分．

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，

且与轴交于点．

（1）求的值和点的坐标；

（2）若二次函数图象过，两点，直接写出关于的不等式

的解集．

22.关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根大于0，求k的取值范围．

23.掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰

投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方

向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球

从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在

x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示．

(1)在图中画出实心球运动路径的示意图；

(2)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；

(3)根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距

离（实心球落地点C与出手点的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为满

分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分．

24.如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段

BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若BF=BA，AD=4，DF=2，求BF的长．

25.年巴塞罗那奥运会上，由1984、1988年两届残疾人奥运会射箭奖牌获

得者，37岁的巴塞罗那选手雷波洛射箭点火．只见他从轮椅上站起来，用火种

点燃箭头，然后准确地射向70米远、20米高的火炬塔，圣火随之而起．火炬

塔上面的圣火台的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可

以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为(单位：m），距地面的

竖直高度为（单位：），获得数据如表：

d（m）210

h（m）010.517.021.724.525.524.5k

小欣根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研

究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：

(1)的值为；

(2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线

连接；

(3)据说，为了成功点燃主火炬，雷波洛练了不下2000次．练习中，他的命中

率超过了令人欣喜的．但是，由于开幕式是在晚间进行，而点火之前，体

育场内的所有灯光熄灭，射手只能凭借月光和体育场外围微弱的灯光来判断火

炬塔的位置．请结合函数图象分析，雷波洛射出的箭是否掉进了圣火台里？

答：（“是”或者“否”）．

(4)据组织者透露说，圣火台的上空充满可燃气体，只要雷波洛射出的箭能够进

入圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬．小欣在研究这个问题

的过程中还发现，如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过

调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，如果保证圣火被点燃，请结合

函数图象分析，射手向前移动的最大距离与向后移动的最大距离之和

是米．(精确到1米)

26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．

(1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；

(2)点在抛物线上，其中．

①当时，求的取值范围和的值；

②若存在，使得，直接写出的取值范围．

27.在中，，将线段绕点顺时针旋转到如图所

示的位置，得到线段，连接平分交于点，交的延

长线于点，连接．

(1)依题意补全图形；

(2)①求的度数；②用等式表示线段之间的数量关系，并证

明．

28.将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个

点．对于同一类中的任意两点，称与中的最

大值为点和点的“联络量”，记作．将每类能得到的最大联络量作

为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，

点的横、纵坐标都是整数．

(1)①点中，与点的“联络量”是2的

有；

②点在平面上运动，已知将点分在同一类时“代表量”是5，则动点

所在区域的面积为；

(2)对于平面上的任意一点，将点分为两类，试说明：无论如何分

类，“类筹”总不小于2；

(3)已知二次函数上的任一点均满足将点分为

两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围．