鸡兔同笼练习题

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鸡兔同笼练习题大全

1、鸡兔同笼,头共20个,足共62只,求鸡与兔各有多少只？

3、鸡兔同笼,头共35个,脚共94只,求鸡与兔各有多少个头？

4、在一个停车场上,停了汽车和摩托车一共32辆.其中汽车有4个轮子,摩托车有3个轮子,这些车一共有108

个轮子.求汽车和摩托车各有多少辆？

5、小华买了2元和5元纪念邮票一共34X,用去98元钱.求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少X？

6、全班46人去划船,共乘12只船,其中大船每只坐5人,小船每只坐3人,求大船和小船各有多少只？

7、X大妈养鸡兔共200只,鸡兔足数共560只,求鸡兔各有多少只？

8、鹤龟同池,鹤比龟多12只,鹤龟足共72只,求鹤龟各有多少只？

9、小刚买回8分邮票和4分邮票共100X,共付出6.8元,问,小刚买回这两种邮票个多少X？各付出多少元？

10、东风小学有3名同学去参加数学竞赛,一份试卷共10道题,答对一题得10分,答错一道不但不得分,还要

扣去3分,这3名同学都回答了所有的题目,小明得74分,小华得22分,小红得87分,他们三人共答对多少题？

11、在知识竞赛中,有10道判断题,评分规定：每答对一题得2分,答错一题要倒扣一分.小明同学虽然答了全

部的题目,但最后只得了14分,请问,他答错了几题？

12、某运输队为超市运送暖瓶500箱,每箱装有6个暖瓶.已知每10个暖瓶的运费为5元,损坏一个的话不但

不给运费还要陪成本10元,运后结算时,运输队共得1350元的运费.问、共损坏了多少只暖瓶？

13、蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫16只,共有110条腿和

14对翅膀.问,每种小鸟各几只？

14、螃蟹有10条腿,螳螂有6条腿和1对翅膀,蜻蜓有6条腿和2对翅膀.现在这三种动物37只,共有250条

腿和52对翅膀.每种动物各有多少只？

15、小东妈妈从单位领回奖金400元,其中有2元、5元、10元人民币共80X,且5元和10元的X数相等,试

问,这三种人民币各有多少X？

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16、小华有1分、2分、5分的硬币共38枚,合计9角2分,已知1分与2分的硬币的枚数相等.这三种硬币各

有多少枚？

1.某次数学竞赛共20道题,评分标准是：每做对一题得5分,每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞

赛,得了64分．问：小华做对几道题？

2.鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？

3.一只货船载重260吨,容积1000米3,现装运甲、乙两种货物,已知甲种货物每吨体积是8米3,乙种货物

每吨体积2米3,要使这只船的载重量与容积得到充分利用,甲、乙两种货物应分别装多少吨？

4.自行车越野赛全程220千米,全程被分为20个路段,其中一部分路段长14千米,其余的长9千米．问：

长9千米的路段有多少个？

5.有一群鸡和兔,腿的总数比头的总数的2倍多18只,兔有几只？

6.如果被乘数增加15,乘数不变,积就增加180；如果被乘数不变,乘数增加4,那么积就增加120．原来两个

数相乘的积是多少？

7.编一本695页的故事书的页码,一共要用多少个数字？其中数字"5〞用去了几个？

8.编一本辞典一共用去了6889个数字,这本辞典共有几页？

9.甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分；若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,

结算分数时,甲比乙多10分,问甲、乙各中几发？

10.某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分．小华得了76分,问他做对几题？

11177711.有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损1个

瓶子还要倒赔1元,结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃损坏了几只？

12.鸡与兔共有200只,鸡的脚比兔的脚少56只,问鸡与兔各多少只？

13.今有鸡兔共居一笼,已知鸡头与兔头共35个,鸡脚与兔脚共94只,问鸡兔各几只？

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14.蜘蛛有8条腿,蝴蝶有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和一对翅膀,现有这三种动物共21只,共140条腿

和23对翅膀,问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？

15.12X乒乓球台上共有34人在打球,问：正在进行单打和双打的台子各有几X？

16.鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只？

17.班主任X老师带五年级〔2〕班50名同学栽树,X老师一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,总

共栽树120棵,问几名男生,几名女生？

18.大油瓶一瓶装4千克,小油瓶2瓶装1千克．现有100千克油装了共60个瓶子．问大、小油瓶各多少个？

19.红英小学三年级有3个班共135人,二班比一班多5人,三班比二班少7人,三个班各有多少人？

20.X老师带了41名同学去##公园划船,共租了10条船．每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船

各租几条？

21.有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只？

22.小红的储钱罐里有面值2元和5元的人民币共65X,总钱数为205元,两种面值的人民币各多少X？

23.现有大小油桶50个,每个大桶可装油4千克,每个小桶可装油2千克,大桶比小桶共多装油20千克,问大

小桶各多少个？

24.有两桶油共重86千克,假如从甲桶油倒入乙桶4千克,则两桶油的重量相同．这两桶油各有多少千克？

25.瓷器商店委托搬运站运送800只花瓶,双方商定每只运费是0.35元,如果打破1只,不但不计运费,而且

要赔偿2.50元,结果运到目的地后,搬运站共得运费268.6元,求打破了几只花瓶？

26.学校举行运动会,三年级有35人参加比赛,四年级参加的人数是三年级的3倍,五年级参加的人数比三、

四年级参加的总人数多10人,五年级参加比赛的有多少人？

27.蓝墨水和红墨水,以前都是3角钱一瓶,王营小学每学期都花12元买若干瓶．现在每瓶蓝墨水涨价5分,

每瓶红墨水涨价3分,虽然买的两种墨水瓶数还和各学期相等,但比每学期都多付1.8元．该校每学期买两种墨水

各多少瓶？

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28.大院里养了三种动物,每只小山羊戴着3个铃铛,每只狮子狗戴着一个铃铛,大白鹅不戴铃铛．小明数了

数,一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛,三种动物各有多少只？

29.小毛参加数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做

错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？

30.赵传伦把一X50元和一X5元的人民币,兑换成了两元和5角的人民币共50X．他兑换了两种面额的人民

币各多少X？

31.幼儿园买来20X小桌和30X小凳共用去1860元,已知每X小桌比小凳贵8元,问小桌、小凳的价格各多

少？

32.动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类,规定老虎、狮子一类的大动物每次喂肉每头三斤,

狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤．该动物园共有这两类动物100头,每次需喂肉100斤,问大、小动物各多少？

33.小X的存钱盒里有2角,5角和1元人民币20X,共12元,算一算三种面值的人民币各有多少X？

34.鸡、兔共笼,鸡比兔多26只,足数共274只,问鸡、兔各几只？

35.某电视机厂每天生产电视500台,在质量评比中,每生产一台合格电视机记5分,每生产一台不合格电视

机扣18分．如果四天得了9931分,那么这四天生产了多少台合格电视机？

36.六年二班全体同学,植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男

生多4人,该班男生和女生各多少人？

37.X文符进山打猎,平均5枪打死两只兔子,9枪打死6只野鸡．他共放了25枪,获得猎物14只,两种动物

各打死了几只？

鸡兔同笼应用题体详解〔四个阶段〕

鸡兔同笼问题<1>基础级

1.鸡兔同笼,鸡兔共35个头,94条腿,问鸡、兔各多少只？

2.鸡兔同笼,头共20个,足共62只,求鸡与兔各有多少只？

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3.在一个停车场上,停了汽车和摩托车一共32辆.其中汽车有4个轮子,摩托车有3个轮子,这些车一共有108

个轮子.求汽车和摩托车各有多少辆？

4.小华买了2元和5元纪念邮票一共34X,用去98元钱.求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少X？

5.全班46人去划船,共乘12只船,其中大船每只坐5人,小船每只坐3人,求大船和小船各有多少只？

6.X大妈养鸡兔共200只,鸡兔足数共560只,求鸡兔各有多少只？

7.小刚买回8角分邮票和4角分邮票共100X,共付出68元,问,小刚买回这两种邮票个多少X？各付出多少元？

8.在一个停车场内,汽车、摩托车共停了48辆,其中每辆汽车有4个轮子,每辆摩托车有3个轮子,这些车共有

172个轮子,停车场内有汽车、摩托车各多少辆？

9.体育老师买了运动服上衣和裤子共21件,共用了439元,其中上衣每件24元,裤子每件19元,问老师买上衣

和裤子各多少件？

10.松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有

几天是雨天？

11.白兔妈妈采蘑菇,晴天每天可采24个,雨天每天可采16个.它一连几天采了168个蘑菇,平均每天采21个.

求晴天时一共采了多少个蘑菇？

12.小王买了甲,乙两种电影票共20X,两种电影票的平均票价为每X26元,而甲种电影票实际票价为每X30元,

乙种电影票实际票价为每X20元,求两种电影票各买了多少X？

鸡兔同笼问题<2>提高级

1.鸡兔同笼,鸡比兔多15只,鸡兔共有脚132只,问鸡兔各多少只？

2.鸡兔同笼,鸡兔共40个头,鸡脚比兔脚共多32只,问鸡兔各多少只？

3.鸡兔同笼,鸡比兔多10只,但鸡脚却比兔子少60只,问鸡兔各多少只？

4.鸡兔同笼,鸡比兔多10只,鸡脚比兔脚多10只,问鸡兔各多少只？

5.X大妈家养的鸡比兔多13只,兔足比鸡足少16只,求鸡兔各有多少只？

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6.鹤龟同池,鹤比龟多12只,鹤龟足共72只,求鹤龟各有多少只？

7.鸡与兔共有110个头,但鸡的脚比兔的脚少20只,求鸡兔各有多少头？

8.鸡与兔共有110只脚,但鸡的头数比兔的少20个,求鸡兔各有多少头？

9.东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分.X刚得了60

分,则他做对了几题?

鸡兔同笼问题<3>难题级

1.蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫16只,共有110条腿和

14对翅膀.问,每种昆虫各几只？

2.螃蟹有10条腿,螳螂有6条腿和1对翅膀,蜻蜓有6条腿和2对翅膀.现在这三种动物37只,共有250条腿

和52对翅膀.每种动物各有多少只？

3.有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对<蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿,2对翅膀;蝉6条

腿,1对翅膀>,三种动物各几只?

4.小东妈妈从单位领回奖金380元,其中有2元、5元、10元人民币共80X,且5元和10元的X数相等,试问,

这三种人民币各有多少X？

5.甲,乙,丙三种练习本每本价钱分别为7角,3角,2角.三种练习本一共卖了47本,付了21元2角,买的乙种

练习本的本数是丙种练习本本数的2倍.就三种练习本各买了多少本？

6.某校购买了大,中,小3种型号的投影仪共47台,他们的单价分别是700元,300元,200元,共支出21200元.

已知中型投影仪的台数为小型投影仪台数的2倍,问购买了多少台大型投影仪？

7.有一元,五元和十元的人民币共14X,共计66元,其中一元的X数比十元的多2X.问三种人民币各多少X？

8.买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40X,那么两种邮票各买了多少X？

9.食品店上午卖出甲,乙,丙三种糖果共100千克,共收入2570元.甲种糖：20元/每千克,乙种糖：25元/每千

克,丙种糖：30元/每千克,已知卖出的乙种糖和丙种糖共收入1970元,求丙种糖卖出了多少千克？

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10.买来3角,5角,7角的邮票共400X,共用去192元,其中7角的和5角的邮票X数相等.求每种邮票各多少X？

11.学校组织新年晚会,买了奖品铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花100元.其中铅笔的支数是圆珠笔支数的4

倍.已知铅笔每支2角钱,圆珠笔每支9角,钢笔每支2元1角.问：三种笔各有多少支？

12.学校组织新年晚会,买了奖品铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花300元.其中铅笔的支数是圆珠笔支数的4

倍.已知铅笔每支6角钱,圆珠笔每支2元7角,钢笔每支6元3角.问：三种笔各有多少支？

鸡兔同笼问题<4>超难级

1.小华有1分、2分、5分的硬币共38枚,合计9角2分,已知1分与2分的硬币的枚数相等.这三种硬币各有

多少枚？

2.100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚3人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？

3.100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃4个,小和尚4人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？

4.大油瓶一瓶装4千克,小油瓶两瓶装1千克.现在100千克油装了60个瓶.求大,小油瓶各有多少个？

5.在很久很久以前,传说有九头一尾的九头鸟和九尾一头的九尾鸟.有一次这两种鸟栖息在树林里,一位猎人

经过此地数了数,这两种鸟头共268个,尾332个,那么有九头鸟和九尾鸟各多少只？

6.某校数学竞赛,共有20道填空题.评分标准是：每做对1题得5分,做错1题倒扣3分,没做的一题得0分,

小英的得分是69分,那么小英有几题没做？

7.某校数学竞赛,共有20道填空题.评分标准是：每做对1题得5分,做错1题倒扣3分,没做的一题得0分,

小英的得分是72分,那么小英有几题没做？

8.某次数学抢答比赛共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣2分,不做倒扣1分.小华得了74分,问他做对几

题？答错几题？没答的有几题？

9.一件工程甲独做12天完成,乙独做18天完成,现在由甲先做若干天后,再由乙单独完成余下的任务,这样前

后共用了16天,甲先做了多少天?

10.一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接

着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?

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11.鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,则鸡兔各有多少只？

12.鸡与兔共有220只脚,若原来所有的鸡都换成兔,所有的兔都换成鸡后,则脚只有212只,求原来鸡兔各有多

少头？

例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打

完,共用了7小时.甲打字用了多少小时

解:我们把这份稿件平均分成30份<30是6和10的最小公倍数>,甲每小时打30÷6=5<份>,乙每小时打30÷10=3<

份>.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚

数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔"数=<30-3×7>÷<5-3>

=4.5,

"鸡"数=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

答:甲打字用了4小时30分.

例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4

倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？

解:从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价

格算作<0.60×4+2.7>÷5=1.02<元>.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是

<300-1.02×232>÷<6.3-1.02>=12<支>.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220<支>.

其中圆珠笔

220÷<4+1>=44<支>.

铅笔

220-44=176<支>.

答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.

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例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.X老师用120元共买了55个球,其中

买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中

球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

<1.5×2+1×3>÷<2+3>=1.2<元>.

从公式可算出,大球个数是

<120-1.2×55>÷<3-1.2>=30<个>.

买中,小球钱数各是

<120-30×3>÷2=15<元>.

可买10个中球,15个小球.

答:买大球30个,中球10个,小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系<倍数关系也可用类似方法>,

把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把"三"转化成"二"了.

典型应用题之鸡兔同笼

一,基本问题

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或

者用解它的典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只

解:我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面

上出现脚的总数的一半,·也就是

244÷2=122<只>.

在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数

122-88=34,

有34只兔子.当然鸡就有54只.

答:有兔子34只,鸡54只.

上面的计算,可以归结为下面算式:

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了

兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"脚数"就不一定是4和2,上面的

计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

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如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了

88×4-244=108<只>.

每只鸡比兔子少<4-2>只脚,所以共有鸡

<88×4-244>÷<4-2>=54<只>.

说明我们设想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=<兔脚数×总头数-总脚数>÷<兔脚数-鸡脚数>.

当然,我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176<只>,比244只脚少了

244-176=68<只>.

每只鸡比每只兔子少<4-2>只脚,

68÷2=34<只>.

说明设想中的"鸡",有34只是兔子,也可以列出公式

兔数=<总脚数-鸡脚数×总头数>÷<兔脚数-鸡脚数>.

上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.

假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"假设法".

现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.

例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支

解:以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.

现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有

蓝笔数=<19×16-280>÷<19-11>

=24÷8

=3<支>.

红笔数=16-3=13<支>.

答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只

中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是

8×<11+19>=240.

比280少40.

40÷<19-11>=5.

就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"<蓝铅笔>数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.

实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数

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19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷<19-11>=3,

就知道设想6只"鸡",要少3只.

要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打

完,共用了7小时.甲打字用了多少小时

解:我们把这份稿件平均分成30份<30是6和10的最小公倍数>,甲每小时打30÷6=5<份>,乙每小时打30÷10=3<

份>.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚

数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔"数=<30-3×7>÷<5-3>

=4.5,

"鸡"数=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

答:甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年,父母年龄<整数>和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后<20##>父的年龄是弟的年龄的4倍,

母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年

解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作

"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是

<25×4-86>÷<4-3>=14<岁>.

1998年,兄年龄是

14-4=10<岁>.

父年龄是

<25-14>×4-4=40<岁>.

因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是

<40-10>÷<3-1>=15<岁>.

这是20##.

.

12/32

答:公元20##时,父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20

对翅膀.每种小虫各几只

解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.利用公式就可以算

出8条腿的

蜘蛛数=<118-6×18>÷<8-6>

=5<只>.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13<只>.

也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式

蝉数=<13×2-20>÷<2-1>=6<只>.

因此蜻蜓数是13-6=7<只>.

答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道

全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人

解:对2道,3道,4道题的人共有

52-7-6=39<人>.

他们共做对

181-1×7-5×6=144<道>.

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人<<2+3>÷2=2.5>.这样

兔脚数=4,鸡脚数=2.5,

总脚数=144,总头数=39.

对4道题的有

<144-2.5×39>÷<4-1.5>=31<人>.

答:做对4道题的有31人.

习题一

1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只

2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋

各有几副

3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个

.

13/32

4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50X,其中2元与5元的X数一样多.那么2元,5元,10元

各有多少X

5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样

前后共用了16天.甲先做了多少天

6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路<3千米>,一段平路<4千

米>,一段下坡路<2千米>和一段平路<4千米>组成的;有的是由一段上坡路<3千米>,一段下坡路<2千米>和一段平

路<4千米>组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段

7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15X,问最多可以买1角的邮票多少X

二,"两数之差"的问题

鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40X,那么两种邮票各买了多少X

解一:如果拿出40X8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的X数就一样多.

<680-8×40>÷<8+4>=30,

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30X.

因此8分邮票有

40+30=70.

答:买了8分的邮票70X,4分的邮票30X.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:譬如,假设有20X4分,根据条件"8分比4分多40X",那么应有60X8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是

4×20+8×60=560.

比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1X4分,就要增加1X8分,每种要增加的X数是

<680-4×20-8×60>÷<4+8>=10.

因此4分有20+10=30,8分有60+10=70.

例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天

工程要多少天才能完成

解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,

晴天有

<150-8×3>÷<10+8>=7<天>.

雨天是7+3=10天,总共

7+10=17<天>.

答:这项工程17天完成.

.

14/32

请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是

17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只

解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14<只>,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2<倍>,于是鸡

的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

<100+28÷2>÷<2+1>=38<只>.

鸡是

100-38=62<只>.

答:鸡62只,兔38只.

当然也可以去掉兔28÷4=7<只>.兔的只数是

<100-28÷4>÷<2+1>+7=38<只>.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50<只>.此时脚数之差是

4×50-2×50=100,

比28多了72.就说明假设的兔数多了<鸡数少了>.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2

只鸡脚,相差为6只<千万注意,不是2>.因此要减少的兔数是

<100-28>÷<4+2>=12<只>.

兔只数是

50-12=38<只>.

另外,还存在下面这样的问题:总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".

例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝

句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差

13×5×4+20=280<字>.

每首字数相差

7×4-5×4=8<字>.

因此,七言绝句有

28÷<28-20>=35<首>.

五言绝句有

35+13=48<首>.

.

15/32

答:五言绝句48首,七言绝句35首.

解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460<字>,28×10=280<字>,

五言绝句的字数,反而多了

460-280=180<字>.

与题目中"少20字"相差

180+20=200<字>.

说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言

绝句的首数要比假设增加

200÷8=25<首>.

五言绝句有

23+25=48<首>.

七言绝句有

10+25=35<首>.

在写出"鸡兔同笼"公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.

现在来具体做一下,把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下,就会发现非常有趣的事.

例7,假设都是8分邮票,4分邮票X数是

<680-8×40>÷<8+4>=30.

例9,假设都是兔,鸡的只数是

<100×4-28>÷<4+2>=62<只>.

10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是

<20×13+20>÷<28-20>=35<首>.

首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与"鸡兔同笼"公式比较,这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥

妙何在呢

当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都

是同一件事.

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,

还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只

解:如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2<元>.因此破损只数是

<400-379.6>÷<1+0.2>=17<只>.

答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

请你想一想,这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗

.

16/32

例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错<包含不答>1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8

分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明

两次测验各得多少分

解一:如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120<分>.那么第二次只做对30-24=6<题>得分是

8×6-2×<15-6>=30<分>.

两次相差

120-30=90<分>.

比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6<

分>,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少

6+10=16<分>.

<90-10>÷<6+10>=5<题>.

因此,第一次答对题数要比假设<全对>减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11<题>.

第一次得分

5×19-1×<24-9>=90.

第二次得分

8×11-2×<15-11>=80.

答:第一次得90分,第二次得80分.

解二:答对30题,也就是两次共答错

24+15-30=9<题>.

第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6<分>,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10<分>.答错题互换一下,两次

得分要相差6+10=16<分>.

如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分",要少

了6×9+10.因此,第二次答错题数是

<6×9+10>÷<6+10>=4<题>·

第一次答错9-4=5<题>.

第一次得分5×<24-5>-1×5=90<分>.

第二次得分8×<15-4>-2×4=80<分>.

习题二

1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是

多少

.

17/32

2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.

问每种茶叶各买多少千克

3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴

天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天

4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题

5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分

数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发

6.甲,乙两地相距12千米.小X从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留

40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小

X速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度.

三,从"三"到"二"

"鸡"和"兔"是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两

个例子的解法,也可以看出,要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.

例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4

倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支

解:从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价

格算作

<0.60×4+2.7>÷5=1.02<元>.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是

<300-1.02×232>÷<6.3-1.02>=12<支>.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220<支>.

其中圆珠笔

220÷<4+1>=44<支>.

铅笔

220-44=176<支>.

答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.

例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.X老师用120元共买了55个球,其中

买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中

球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

.

18/32

<1.5×2+1×3>÷<2+3>=1.2<元>.

从公式可算出,大球个数是

<120-1.2×55>÷<3-1.2>=30<个>.

买中,小球钱数各是

<120-30×3>÷2=15<元>.

可买10个中球,15个小球.

答:买大球30个,中球10个,小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系<倍数关系也可用类似方法>,

把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把"三"转化成"二"了.

例15是为例16作准备.

例15某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少

解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间

去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是

每小时走4千米.

千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走<6+3>÷2=4.5千米.

例16从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千

米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到

乙地,各种路段分别是多少千米

解:把来回路程45×2=90<千米>算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种

"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,

鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

<90-4×21>÷<5-4>=6<小时>.

单程平路行走时间是6÷2=3<小时>.

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7<小时>行走路程是

45-5×3=30<千米>.

又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

<6×7-30>÷<6-3>=4<小时>.

行走路程是3×4=12<千米>.

下坡行走的时间是7-4=3<小时>.行走路程是6×3=18<千米>.

答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

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19/32

做两次"鸡兔同笼"的解法,也可以叫"两重鸡兔同笼问题".例16是非常典型的例题.

例17某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的

有多少次

解:如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题.

每次考25道题,就要多25-16=9<道>.

每次考20道题,就要多20-16=4<道>.

就有

9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

请注意,4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=54比42大,考25题

的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次<考20题有6次>.

答:其中考25题有2次.

例18有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共

用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位

解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车,

110-1.2×30=74<元>.

还余下50-30=20<人>都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车

110-1.2×40=62<元>.

还余下50-40=10<人>都乘地下铁路前往,钱还有多<62>6×10>.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有

35是5的整数倍.

现在又可以转化成"鸡兔同笼"了:

总头数50-35=15,

总脚数110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是

<6×15-68>÷<6-4>=11.

答:乘小巴前往的同学有11位.

在"三"转化为"二"时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.例17,

例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以与总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考

虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成"二"的问题了.在小学算术的X围内,学习这两种类型已足够了.

更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.

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20/32

习题三

1.有100枚硬币,把其中2分硬币全换成等值的5分硬币,硬币总数变成79个,然后又把其中的1分硬币换成等值

的5分硬币,硬币总数变成63个.求原有2分与5分硬币共值多少钱

2."京剧公演"共出售750X票得22200元.甲票每X60元,乙票每X30元,丙票每X18元.其中丙票X数是乙票X数的

2倍.问其中甲票有多少X

3.小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分,不答得2分,做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和

没答的题一样多.问小明共做对几题

4.1分,2分和5分硬币共100枚,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多

少枚

注:此题没有学过分数运算的同学可以不做.

5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米,走平路速度每小时5千米,下坡速

度每小时6千米.去时行走了4小时50分,回来时用了5小时.问从甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米

6.某学校有12间宿舍,住着80个学生.宿舍的大小有三种:大的住8个学生,不大不小的住7个学生,小的住5人.

其中不大不小的宿舍最多,问这样的宿舍有几间

测验题

1.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松籽,平均每天采14个.

问这几天当中有几天有雨

2.有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分

钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟

3.某工程甲队独做50天可以完成,乙队独做75天可以完成.现在两队合做,但是中途乙队因另有任务调离了若干天.

从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天

4.小华从家到学校,步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600,跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑

步时间多4分钟,但步行的距离却比跑步的距离少400米.问从家到学校多远

5.有16位教授,有人带1个研究生,有人带2个研究生,也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生.其中带1个

研究生的教授人数与带2,3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人

6.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖

金总额为9500元.问二等奖有多少名

7.有一堆硬币,面值为1分,2分,5分三种,其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1

元,问5分的硬币有多少个

第三讲答案

习题一

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1.龟75只,鹤25只.

2.象棋9副,跳棋17副.

3.2分硬币92个,5分硬币23个.

应将总钱数2.99元分成2×4+5=13<份>,其中2分钱数占2×4=8<份>,5分钱数占5份.

4.2元与5元各20X,10元有10X.

2元与5元的X数之和是

<10×50-240>÷[10-<2+5>÷2]=40.

5.甲先做了4天.

提示:把这件工程设为36份,甲每天做3份,乙每天做2份.

6.第一种路段有14段,第二种路段有11段.

第一种路段全长13千米,第二种路段全长9千米,全赛程281千米,共25段,是标准的"鸡兔同笼".

7.最多可买1角邮票6X.

假设都买4分邮票,共用4×15=60<分>,就多余100-60=40<分>.买一X1角邮票,可以认为40分换1角,要多6

分.40÷6=6……4,最多买6X.最后多余4分,加在一X4分邮票上,恰好买一X8分邮票.

习题二

1.语文书1.74元,数学书1.30元.

设想语文书每本便宜0.44元,因此数学书的单价是

<83.4-0.44×30>÷<30+24>.

2.买甲茶3.5千克,乙茶8.5千克.

甲茶数=<96×12-354>÷<132+96>=3.5<千克>

3.一连运了27天.

晴天数=<11×3+27>÷<16-11>=12<天>

4.小华做对了16题.

76分比满分100分少24分.做错一题少6分,不做少5分.24分只能是6×4.

5.甲中8发,乙中6发.

假设甲中10发,乙就中14-10=4<发>.甲得4×10=40<分>,乙得5×4-3×6=2<分>.比题目条件"甲比乙多10分"相

差<40-2>-10=28<分>,甲少中1发,少4+2=6<分>,乙可增5+3=8<分>.

28÷<6+8>=2.

甲中10-2=8<发>.

6.小X速度每小时6千米,小王速度每小时4.5千米.

王的速度是每小时

.

22/32

注:为了避免分数运算,路程以米为单位,时间以分钟为单位,就可以达到目的.

回答者：61.154.10.*2009-12-2916:53

例1〔古典题〕鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只？

分析如果46只都是兔,一共应有4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡

来置换一只兔,就要减少4-2=2〔只〕脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显

然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18.

解：①鸡有多少只？

〔4×6-128〕÷〔4-2〕

=〔184-128〕÷2

=56÷2

=28〔只〕

②免有多少只？

46-28=18〔只〕

答：鸡有28只,免有18只.

我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,

把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2,就可

以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=〔每只兔脚数×兔总数-实际脚数〕÷〔每只兔子脚数-每只鸡的脚数〕

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然,也可以先假设全是鸡.

例2鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只？

分析这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200〔只〕这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔

脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了〔200-80〕=120〔只〕,这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔

换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加〔2+4〕=6〔只〕,所以换成鸡的兔

子有120÷6=20〔只〕.有鸡〔100-20〕=80〔只〕.

解：〔2×100-80〕÷〔2+4〕=20〔只〕.

100-20=80〔只〕.

答：鸡与兔分别有80只和20只.

1、有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡有只,兔有只．

.

23/32

[解析]

解法一：

假设全是兔子,则脚有88×4=352只,实际才244只,相差的108只脚其实就是鸡和兔的脚数的差,故鸡有：108/〔4-2〕

=54只,兔子有：34只

解法二：

波利亚跳舞法.假设鸡和兔的脚全部抬起一半,那么脚就变成122只,所以多出的这34个头就是兔子的,因此鸡是54

只

2、红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元．那么,红铅笔买支,蓝铅笔买支．

[解析]

红铅笔：〔16×〕/〔〕=3支

蓝铅笔：〔2.8-16×0.11〕/〔〕=13支

3、蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀．现在这三种小虫共18只,有118条腿和20

对翅膀．有只蜘蛛,只蜻蜓,只蝉．

[解析]

假设全部都是蜘蛛,那么蜻蜓和蝉共有：〔8×18-118〕/〔8-6〕=13只

所以蜘蛛有：18-13=5只

假设全都是蝉,那么蜻蜓有：〔20-13×1〕/〔2-1〕=7只

所以蝉有：13-7=6只

4、鸡和兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28．鸡有只,兔有只．

[解析]

涉与到了盈亏问题

假设全是鸡,那么,鸡的脚数比兔的脚数多200只

实际上,鸡的脚数比兔的脚数少28

所以兔子的数量是：〔200+28〕/〔2+4〕=38只

.

24/32

故鸡的数量是：100-38=62只

5、有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算．每只２角,如有破损,破损瓶子不给运费,

还要每只赔偿１元．结果得到运费389.2元．在这次搬运中,玻璃破损了只．

[解析]

假设没有损坏,则得到：2000×0.2=400元

故破损了：〔400-389.2〕/〔0.2+1〕=9只

B卷

6、古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字；七言绝句是四句诗,每句都是七个字．有一诗选集,其中五言绝句

比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字．那么,五言绝句有首,七言绝句有首．

[解析]

如果再添加13首七言绝句就多了13×7×4=364个字

则总字数就比五言绝句多了384字

因此五言绝句有：384/〔2×4〕=48首

七言绝句则就有：48-13=35首

7、一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次．一连运了若干天,有晴天,也有雨天．其中雨天比

晴天多３天,但运的次数却比晴天少27次．那么一连运了天．

[解析]

假设晴天再多3天,那么就能多运3×16=48次,因此雨天比晴天的次数少了48+27=75次

所以雨天的次数是：75/〔16-11〕=15天

雨天的次数是：15+3=18天

因此一连运了15+18=33天

8、一些２分和５分硬币,共值2.99元,其中２分硬币个数是５分硬币个数的４倍．５分硬币有个．

[解析]

假设有1个5分,那么就有4个2分

.

25/32

因此有：5+4×2=13分

所以有5分的：299/13=23个

9、学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元．其中铅笔的数量是圆珠笔的

４倍．已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元．那么铅笔有支,圆珠笔有支,钢笔有支．

[解析]

假设有1支圆珠笔,那么就有4支铅笔,所以就有2.7+0.6×4=5.1元

假设全是钢笔,那么就有铅笔和圆珠笔〔232×6.3-300〕/〔〕=220支

所以铅笔有：220×4/5=176支,圆珠笔44支,钢笔12支

10、"京剧公演〞共出售750X票得22200元．甲票每X60元,乙票每X30元,丙票18元．其中丙票X数是乙票数的

２倍．其中甲票有X．

[解析]

乙丙每X票需要：〔18×2+30〕/3=22元

假设全是甲票,则乙丙有：〔60×750-22200〕/〔66-22〕=600X

所以甲有150X,乙有200X,丙有400X

11、某工厂的27位师傅共带徒弟40名,每位师傅可以带1名徒弟、2名徒弟或者3名徒弟．如果带1名徒弟的师

傅人数是其他师傅的2倍．带2名徒弟的师傅有位．

[解析]

带1名徒弟的师傅有：27×2/3=18人,故收1名徒弟的有：18人

假设剩下的9位师傅都是带3名徒弟,那么有徒弟9×3=27人,实际才22人

因此带2名徒弟的师傅有：〔27-22〕/〔3-2〕=5人

C卷

12、某人在途中经过一个山岭,上山时每小时走3240米；下山时每小时走6440米．已知他从上山到下山共用去6

小时〔不包括休息时间〕,共走27.440千米．上山用了小时,下山用了小时,上山走米,下山走米．

[解析]

.

26/32

假设全是上山,则总共爬了3240×6=19.44千米

因此下山用时〔〕/〔〕=2.5小时,走了2.5×6.44=16.1千米

故上山则用时6-2.5=3.5小时,走了27.44-16.1=11.34千米

13、甲乙两人进行射击比赛,约定每中一发记20分,脱靶一发扣12分．两人各打了10发,共得208分,其中甲比乙

多64分．甲中发,乙中发．

[解析]

甲得分〔208+64〕/2=136分,乙得分208-136=72分

甲中〔136+12×10〕/〔20+12〕=8发

乙中〔72+12×10〕/〔20+12〕=6发

14、大小猴子共35只,它们一起去采摘桃子．猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15千克,一个小猴子一小

时可采摘11千克；猴王在场监督的时候,每个猴子不论大小每小时都可多采摘12千克．一天采摘了8小时,

其中只有第一小时和最后一小时猴王在场监督,结果共采摘4400千克桃子．那么,在这群猴中,共有小猴只．

[解析]

假设猴王一分钟都不在,那么可以采摘4400-35×12×2=3560千克

假设全是大猴,则可以采摘35×15×8=4200千克

所以相差的640千克是小猴子采摘的

故有小猴子：640/8/〔15-11〕=20只

15、郭华叔叔八点整由A地出发到相距7.2千米的B地去．开始他步行,每分钟走90米；走到C地,向朋友借了一

辆自行车,骑车的速度是原来步行的3倍．又知他借车花了6分钟,最后他是八点四十分到达B地的．AC两地

相距米．

[解析]

A----------C-------------B

去掉借车的6分钟,则总共用时40-6=34分钟

假设都是自行车,则行驶：90×3×34=9180米=9.18千米

因此步行用时：〔〕/〔〕=11分钟

.

27/32

故AC相距：11×90=990米

思考：

☆今年是1998年,父母年龄〔整数〕和是78岁,兄弟的年龄是17岁．四年后〔20##〕父的年龄是弟的年龄

的４倍,母的年龄是兄的年龄的３倍．那么当父的年龄是兄的年龄的３倍时,是公元年．

[解析]

4年后,父母的年龄是78+2×4=86岁,兄弟的年龄是17+2×4=25岁

假设这25岁都是兄的年龄,则母亲的年龄则是25×3=75,实际才86,相差11年

故弟弟4年后的年龄是11岁,兄的年龄是14岁,父亲的年龄是11×4=44岁

父亲和兄的年龄差是44-14=30,因此父亲：兄=3：1=45：15

故是在公元20

##☆甲、乙两件商品成本共600元．已知甲商品按45%的利润定价,乙商品按40%的利润定价；后来甲打8折出

售,乙打9折出售,结果共获利润110元．两件商品中,成本较高的那件商品的成本是元．

[解析]

甲的售价是1.45×0.8=1.16,获利0.16

乙的售价是1.4×0.9=1.26,获利0.26

假设都是甲商品,则获利600×0.16=96元

因此乙商品的成本是〔110-96〕/〔0.26-0.16〕=140元

故甲商品的成本就是600-140=460元

因此甲的成本高

☆如下图,从A至B步行走细线道ADB需要35分钟,坐车走粗线道ACDEB需要22.5分钟．DEB

车行驶的距离是D至B步行距离的3倍,ACD车行驶的距离是A至D步行距离的5倍．又知车速是步行速度的6

倍．那么,先从A至D步行,再从DEB坐车,一共需要分钟.

[解析]

.

28/32

假设DEB车行驶的距离是D至B步行距离的5倍,那么坐车走ACDEB用时22.5×6/5=30分钟,实际

用时是22.5分钟,因此DEB坐车需要〔30-22.5〕/〔5-3〕=3.75分钟,坐车走ACD需要22.5-3.75=18.75

分钟,步行AD需要18.75×6/5=22.5分钟,因此总共需要3.75+22.5=26.25分钟

思维训练九、牛吃草问题

A卷

1、牧场上一片青草,每天都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天,或者供15头牛吃10天．这片青草可供25

头牛吃天〔每头牛每天吃草量相同〕．

[解析]

每天草的增量：〔20×10-10×15〕/〔20-10〕=5份

原有的青草量：〔10-5〕×20=100份

25头牛需要：100/〔25-5〕=5天

2、牧场上一片青草,每天都匀速生长．这片牧草可供12头年吃20天,或者供17头牛吃10天．这片青草可供头牛

吃5天．

[解析]

每天草的增量：〔20×12-10×17〕/〔20-10〕=7份

原有的青草量：〔12-7〕×20=100份

能供应的牛数：100/5+7=27头

3、一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内．如果10人淘水,3小时淘完；如果5人淘水,8小时淘完．如

果要求2小时淘完,要安排人淘水．

[解析]

每小时的进水量：〔8×5-3×10〕/〔8-3〕=2份

原有的进水的量：〔5-2〕×8=24份

需要安排的人数：24/2+2=14人

.

29/32

4、某车站在检票前若干分钟就有人开始排队等候检票．如果每分钟前来检票的旅客人数同样多,从开始检票到等

候检票的队伍消失〔无人排队等候检票〕,同时开4个检票口,需要30分钟；同时打开5个检票口,需要20分

钟．如果同时打开7个检票口,那么需要分钟．

[解析]

每分钟的人流量：〔4×30-5×20〕/〔30-20〕=2人

原有的人流总量：〔4-2〕×30=60人

需要的时间就是：60/〔7-2〕=12分钟

5、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或者可供80亿人生活300年．假设地球上新生的资源生长的

速度是一定的,为了使我们人类有不断发展的潜力,地球最多能够养人．

[解析]

每年资源的增长量：〔80×300-100×100〕/〔300-100〕=70份

因此,地球需要保持70亿人口即可

B卷

6、一块草地,每天生长的速度相同,现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃12天．如果一头牛一天

的吃草量等于4只羊一天的吃草量．那么10头牛与60头羊一起吃可以吃天．

[解析]

1牛=4羊,都看成牛

每天的增加量：〔16×20-80/4×12〕/〔20-12〕=10份

原有草的总量：〔16-10〕×20=120份

可供应的天数：120/〔10+60/4-10〕=8天

7、有3块草地,面积分别为5公顷、6公顷和8公顷．草地上的草一样厚,而且每天草的生长量相同．第一块草地

上的草可供11头牛吃10天,第二块草地上的草可供12头牛14天．那么,第三块草地上的草可供19头牛吃天．

[解析]

此类问题可转化成每亩去做

每亩每天的增长量：〔12×14/6-11×10/5〕/〔14-10〕=1.5份

.

30/32

每亩原有的草总量：〔12/6-1.5〕×14=7份

第三块草可供时间：7/〔19/8-1.5〕=8天

8、有三个牧场长满青草,第一牧场33公亩,可供22头牛吃24天；第二牧场28公亩,可供17头牛吃84天；第三

牧场40公亩,可供头牛吃24天．

[解析]

每亩每天的增长量：〔84×17/28-24×22/33〕/〔84-24〕=7/12份

每亩原有的草总量：〔22/33-7/12〕×24=2份

第三牧场可供时间：〔2/24+7/12〕×40=80/3头

9、一片牧场上的青草每天都匀速生长．这片青草可供17头牛吃30天,或者供19头牛吃24天．现有一群牛,在这

片草场上吃了6天后,卖掉4头,余下的牛又吃2天,把草场上的草全部吃光．这群牛原来有头．

[解析]

每天的增长量：〔17×30-19×24〕/〔30-24〕=9份

原有的草的量：〔17-9〕×30=240份

假设这群牛有X头,则得到如下方程：

240+9×〔6+2〕=6X+2〔X-4〕

→X=38头

C卷

10、画展9点开门,但早有人排队等候入场．从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多．如果开了3个

入场口,9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口,9点5分就没有人排队．那么,第一个观众到达的时间

是点分．

[解析]

每分钟的人流量：〔9×3-5×5〕/〔9-5〕=0.5人

原有的人流总量：〔5-0.5〕×5=22.5人

第一个观众到达：22.5/0.5=45分钟之前

.

31/32

即8：15分

11、快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆自行车．它们的速度分别是24千米/时、20千米/时、19千米/时．快

车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用小时．

[解析]

自行车的时速：〔20×10-24×6〕/〔10-6〕=14千米

与自行车距离：〔20-14〕×10=60千米

需要追上时间：60/〔19-14〕=12小时

12、有一批工人完成某项工程,如果再调来8个人,10天就能完成；如果仅调来3人,要20天才能完成．现在只调

来2个人,那么完成这项工程要天．

[解析]

原有的人数：〔8×10-3×20〕/〔20-10〕=2人

工程总量是：〔8+2〕×10=100份

需要时间是：100/〔2+2〕=25天

13、甲、乙、丙三块地,每块地面积一样大,甲块地用1台拖拉机和6头牛5天耕完；乙块地用1拖拉机和16头牛

3天耕完；丙块地有拖拉机2台,如果要求2.5天把地耕完,同时还要头牛．

[解析]

总量=〔1拖+6牛〕×5=〔1拖+16牛〕×3→1拖=9牛

故总量=〔9牛+6牛〕×5=〔2拖+X牛〕×2.5

→X=12头

其实也可以直接这么看

1台拖拉机和6头牛5天耕完

2台拖拉机和12头牛2.5天耕完

14、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度天天减少．已知一块牧场上的草可供20头牛

吃5天,或者可供15头牛吃6天．照此计算,可供头牛吃10天．

.

32/32

[解析]

每天草的减少量：〔15×6-20×5〕/〔6-5〕=-10份

原有的草量则是：[20-〔-10〕]×5=150份

需要的牛的头数：150/10-10=5头

15、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,两个性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级阶梯,女孩每分钟

走15级阶梯．结果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上．那么,该扶梯共有级阶梯．

[解析]

电梯的速度：〔15×6-20×5〕/〔6-5〕=-10份

电梯的长度：[20-〔-10〕]×5=150级

思考：

☆两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底．白天往下爬,两只蜗牛爬行的速度不同,一只白天爬20

分米,另一只白天爬15分米．黑夜里往下滑,两只蜗牛的滑行速度相同．结果一只蜗牛用了5昼夜到达井底,另一

只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．这口井底有米深．

[解析]

每天滑下的距离：〔15×6-20×5〕/〔6-5〕=-10分米

原来的井深则是：[20-〔-10〕]×5=150分米=15米

☆一个牧场长满青草,而且牧草每天都在均匀在生长着．12头牛4周可以吃光10/3格尔的牧草；21头牛9

周可以吃光10格尔的牧草．24格尔的牧草或够头吃18周〔格尔是牧场的面积单位〕．

[解析]

每格尔每周的增长量：〔21×9/10-12×4/10/3〕/〔9-4〕=0.9份

每格尔原有的草的量：〔21/10-0.9〕×9=10.8份

能够供应的牛的头数：〔10.8/18+0.9〕×24=36头