平行线的定义

定义示例剖析

平行线的概念：在同一平面内，永不相交的

两条直线称为平行线．用“∥”表示．

∥ab，∥ABCD等．

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补．

b

a

4

3

2

1

若∥ab，则12；

若∥ab，则23；

若∥ab，则34180．

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行．

b

a

4

3

2

1

若12，则∥ab；

若23，则∥ab；

若34180，则∥ab．

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平行线的性质及

判定

题型一：平行线的定义、性质及判定

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条

直线与这条直线平行．

简单说成：过一点有且只有一条直线与已知

直线平行．

(c)

b

a

A

过直线a外一点A做

∥ba

，

∥ca

，

则b与c重合．

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直

线平行，那么这两条直线也互相平行．

简单说成：平行于同一条直线的两条直线平

行．

c

b

a

若

∥，∥baca

，则∥bc．

【例1】⑴两条直线被第三条直线所截，则（）

A．同位角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．以上都不对

⑵1和2是同旁内角，若145，则2的度数是（）

A．45B．135C．45或135D.不能确定

⑶如图，下面推理中，正确的是（）

A．∵180AD°，∴ADBC∥

B．∵180CD°，∴ABCD∥

C．∵180AD°，∴ABCD∥

D．∵180AC°，∴ABCD∥

(北京三帆中学期中)

⑷如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝（）

A．50°B．40°C．150°D．130°

(北京101中期中)

⑸如图，直线ABCD∥，EFCD，F为垂足，如果

20GEF°，则1的度数是（）

A．20°B．60°C．70°D．30°

(北京八中期中)

典题精练

D

C

B

A

b

a

2

1

D

G

F

1

E

C

B

A

⑹如图，直线

ab∥

，点B在直线

b

上，且

ABBC

，

155°

，则2的度数为______

2

1

b

a

C

B

A

(北京八十中期中)

⑺如图，1和2互补，那么图中平行的直线有（）

A．ab∥B．cd∥C．de∥D．ce∥

(北京十三分期中)

⑻将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12；②34；

③2490°；④45180°，其中正确的个数（）

1

2

3

4

5

A．1B．2C．3D．4

(北京十三分期中)

⑼如图，直线

12

ll∥，ABCD，134°，那么2的度数是．

2

1

l

2

l

1

D

C

B

A

(北京一六一中期中)

⑽将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164°，那么2等于．

2

1

(北京一六一中期中)

【解析】⑴D；⑵D；⑶C；⑷D；⑸C；⑹35°；⑺D；⑻D；⑼56°；⑽52°.

2

1

e

d

c

ba

【铺垫】多选题：下列说法错误的有（）

A：不相交的两条直线是平行线．

B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

C：三条直线a、b、c．若ab∥，bc∥，则ac∥；同理，若ab，bc，则ac．

D：已知的两边与

的两边平行，若48°，则

48°

．

E：若ABCD∥，CDEF∥，则ABEF∥．理由是等量代换．

F：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．

G：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．

【解析】ABCDEF

【例2】⑴如图，∥ABCD,BD,请说明12，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：∵

ABCD∥

，

∴

180BADD°

（）．

∵BD，

∴BAD

180°

（等量代换）．

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

∴12（）．

（北京市海淀区期末）

⑵填空，完成下列说理过程.

如图，DP平分ADC交AB于点P，90DPC，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4

相等吗？说明理由.

解：∵DP平分ADC，

∴∠3＝∠（）

∵APB=°，且90DPC，

∴∠1＋∠2＝90°.

又∵∠1＋∠3＝90°，

∴∠2＝∠3.（）

∴∠2＝∠4.

（北京市朝阳区期末）

⑶如图,已知DEAC∥，DFAB∥，求ABC度数．

4

3

2

1

F

E

D

C

B

A

解：∵DEAC∥（），

∴C（），

3（）

又∵DFAB∥（）

∴B（）

A（）

∴3A（）

2

1

D

C

B

A

P

D

C

B

A

4

3

2

1

3

2

1

A

B

CD

E

G

H

M

F

∴

123ABCBDC

（）

【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．

【解析】⑴依次填：两直线平行，同旁内角互补；B；

∥ADBC

；两直线平行，内错角相等

⑵4，角平分线定义，180，同角的余角相等

⑶已知；1；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；已知；2；两

直线平行，同位角相等；4；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．

【例3】⑴如图，已知直线

ABCD∥

，

115C°

，

25A°

，则E

的度数为度．

⑵如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EBAC∥的

条件：.

⑶如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：

①12；②34；③ADCE；

④DDCE；⑤180AABD°；

⑥180AACD°；⑦ABCD.

能说明ACBD∥的条件有.

⑷如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，

已知1260°，GM平分HGB交直线CD于点M．

则3（）

A．60°B．65°

C．70°D．130°

【解析】⑴∵ABCD∥，115C°（已知），

∴65BFC°（两直线平行，同旁内角互补）

∴65AFEBFC°（对顶角相等）．

∵25A°（已知），

∴90E°（三角形内角和）．

⑵EBDACB（EBABAC）等（答案不唯一）

⑶②④⑤；⑷A．

【例4】⑴已知：如图1，CD平分ACB，DEBC∥，80AED°，求EDC．

⑵已知：如图2，1C，2和D互余，BEFD于G．求证：ABCD∥．

(北京八中期中)

E

D

C

B

A

2

1

G

F

E

D

C

B

A

图1图2

A

B

C

D

E

图3

E

D

C

B

A

F

4

3

2

1

E

D

C

B

A

【解析】⑴∵

DEBC∥

∴

80EDCDCBACBAED，

∵CD平分

ACB

∴

1

40

2

EDCDCBACB

⑵证明：∵1C（已知）

∴BECF∥（同位角相等，两直线平行）

又∵BEFD（已知）

∴90CFDEGD（两直线平行，同位角相等）

∴290BFD（平角定义）

又∵290D（已知）

∴BFDD（等量代换）

∴ABCD∥（内错角相等，两直线平行）

【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果1100，则2的度数是.

⑵如图2，把一张四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，

若ABCD∥，ADBC∥，15DBC，则BOD.

⑶如图3，直线

1

l

、

2

l

分别和

3

l

、

4

l

相交，若1与3互余，2与3的余角互补，4110，

那么3.

2

1

B

C

D

E

O

A

4

3

2

1

l

3l

4

l

1

l

2

图1图2图3

⑷如右图，已知ABCD∥，ADBC∥，60B，50EDA，

则CDO.

【解析】⑴50°；⑵150°；⑶70°；⑷70°.

【备选2】已知，如图，DEBC于E，FGBC于G，12．求证：EHAC∥.

【解析】901HEC，902C，∵12

∴180HECC

∴EHAC∥（同旁内角互补，两直线平行）

图3

G

H

F

2

1

EB

D

A

C

A

O

E

D

C

B

【备选3】如图，已知AB、

CD

分别垂直EF于B、D，且

60FCD

，

130

，求证：BMAF∥.

1

A

M

F

E

D

C

B

【解析】∵AB、CD分别垂直EF于B、D

∴ABCD∥

∴60AFCD°（两直线平行，同位角相等）

160ABMABE°（垂直的定义）

∴AABM

∴BMAF∥（内错角相等，两直线平行）

【备选4】如图，已知

12180

，3B，试判断AED与ACB的大

小关系，并对结论进行证明．

【解析】法一：∵

12180

，∴2DFE

∴AB∥EF，∴3ADE

∵3B，∴BADE

∴DE∥BC，∴AEDACB

法二：延长EF，找2的同位角，证出AB∥EF，再找3的内错角，证出DE∥BC即可．

【例5】如图，已知：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，

MG、NH分别平分AME、CNE.求证：MG∥NH．

从本题我能得到的结论是：

【解析】∵AB∥CD，∴AMECNE

又∵MG、NH分别平分AME、CNE

∴

11

22

GMEAMECNMHNE

，∴MG∥NH

从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.

引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；

两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.

【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（）

①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角

的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线.

A．①②B．③④C．①⑤D．②⑤

【解析】D.在同一条直线上的是①，位置关系是平行的是③④.

N

M

H

G

F

E

D

C

B

A

1

2

3

A

B

C

D

E

F

模型示例剖析

a

b

2

1

若∥ab，则12

a

b

c

3

2

1

若∥∥abc，则

1213180，

b

a

3

2

1若∥ab，则123

a

b

3

2

1

若∥ab，则123360

【例6】已知：如图∥ABCD,点E为其内部任意一点，

求证：BEDBD．

【解析】过点E作∥EFAB,

∵∥EFAB,∥ABCD（已知）

∴∥EFCD（平行于同一条直线的两直线平行）

∵∥EFAB,（已知）

∴BBEF（两直线平行，内错角相等）

∵∥EFCD,（已知）

∴DDEF（两直线平行，内错角相等）

∵BEDBEFDEF

∴BEDBD（等量代换）

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典题精练

题型二：基本模型中平行线的证明

F

A

B

C

D

E

E

D

C

B

A

3

2

1

B

b

C

D

M

c

a

【例7】如图，已知ABDE∥，

80ABC

，

140CDE

，

求

BCD

的度数．

【解析】过点

C

作

CFAB∥

．

∵ABDE∥且

CFAB∥

（已知）

∴

CFABDE∥∥

（平行于同一条直线的两直线平行）

∵

ABCF∥

且

80ABC

（已知）

∴

80BCFABC

（两直线平行，内错角相等）

∵

DECF∥

且

140CDE

（已知）

∴

DCFCDE

（两直线平行，同旁内角互补）

∴

804040BCDBCFDCF

【拓展】如图所示，已知直线ab∥，直线c和直线a、b交于C、D两点，在C、D之间有一点M，

如果点M在C、D之间运动，问1、2、3之间有怎样的关系？

这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.

【解析】2=1+3.关系不变.

提示：过点M做直线da∥.

【例8】如图，已知

3180DCB

，12，

:4:5CMEGEM，求CME的度数．

【解析】如图延长CM交直线AB于点N

∵

3180DCB

，（已知）

3ABC（对顶角相等）

∴

180ABCDCB

（等量代换）

∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）

∴14（两直线平行，内错角相等）

∵12，（已知）

∴24（等量代换）

∴GE∥CM，（同位角相等，两直线平行）

∴

180CMEGEM

（两直线平行，同旁内角互补）

∵:4:5CMEGEM，

∴

80CME

【点评】通过辅助线将相关角联系起来.

F

E

D

C

B

A

AB

C

D

E

1

2

4

3

A

B

CD

E

G

M

N

1

2

3

A

B

CD

E

G

M

训练1.已知ABC的两边AB，BC分别与DEF的两边DE，EF平行，问ABC与DEF有何关

系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？

【解析】ABC与DEF相等或互补.

证明：根据同向与反向平行，可以分四种情况，如下图所示.

(4)

(3)

(2)

(1)

D

G

EF

D

EF

G

C

B

A

A

B

C

G

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

F

G

⑴若AB，BC分别与DE，EF，同向平行，如图(1)，则ABCDGCDEF；

⑵若AB，BC分别与DE，EF，反向平行，如图(2)，则ABCEGCDEF；

⑶若AB与DE同向平行，BC与EF反向平行，如图(3)，则ABCBGE，

180BGEDEF

，

180ABCDEF

；

⑷若AB与DE反向平行，BC与EF同向平行，如图(4)，得

180ABCDEF

；

综上所述，当ABC与DEF两边分别对应平行时，ABC与DEF或者相等，或者互补.

从本题我能得到的结论是：若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

训练2.如图，∥ABCD,150,2110,则3．

【解析】60°

训练3.已知：如图，AB、CD被EF所截，EG平分BEF，FG

平分EFD，且1290．

证明：ABCD∥．

【解析】∵EG平分BEF，FG平分EFD（已知），

∴1BEG,2DFG（角平分线性质）．

又∵1290（已知），

∴90BEGDFG（等量代换）．

∴12180BEGDFG．

即180BEFEFD°

∴ABCD∥（同旁内角互补，两直线平行）．

思维拓展训练（选讲）

AB

D

C

1

2

3

D

2

1

G

F

E

C

B

A

N

M

F

2

1

E

B

A

C

训练4.已知：如图，

ADBC

于点D，

EGBC

于点

G

，1E．

证明：AD平分

BAC

．

【解析】∵

ADBC

且

EGBC

（已知）

∴

ADEG∥

（垂直于同一条直线的两直线平行）

∴12（两直线平行，内错角相等）

3E（两直线平行，同位角相等）

又∵1E（已知）

∴

23

（等量代换）

∴AD平分

BAC

.

题型一平行线的定义、性质及判定巩固练习

【练习1】已知如图，1C，2B，MN与EF平行吗？为什么？

【解析】∵1C（已知），∴MNBC∥（内错角相等，两直线平行）

∵2B（已知），∴EFBC∥（同位角相等，两直线平行）

∴MNEF∥（平行于同一条直线的两直线平行）

【练习2】⑴如图1，ABCD∥，ADAC，32ADC°，则CAB的度数是．

⑵如图2，直线l与直线a，b相交．若ab∥，170°，则2的度数是．

⑶如图3，直线mn∥，155°，245°，则3的度数为（）

A．80°B．90°C．100°D．110°

【解析】⑴122°；⑵110°；⑶C．

复习巩固

图2图2

2

1

b

a

l

图3

n

m

3

2

1

图1

D

C

B

A

A

B

CD

E

G

32

1

1

G

E

D

C

B

A

【练习3】⑴已知：如图1，

110D°

，

70EFD°

，12，求证：

3B

．

(北京三帆中学期中)

证明：∵

110D°

，

70EFD°

（已知）

∴

180DEFD°

∴AD∥（）

又∵12（已知）

∴∥（）

∴∥（）

∴3B（）

⑵如图2，EFAD∥，12，70BAC°．将求AGD的过程填写完整．

(北京四中期中)

解：∵EFAD∥，

∴2（）

又∵12

∴13（）

∴AB∥（）

∴BAC180°（）

又∵70BAC°

∴AGD．

【解析】⑴EF；同旁内角互补，两直线平行；AD；BC；内错角相等，两直线平行；EF；BC；

平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．

⑵3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；AGD;

两直线平行，同旁内角互补；110°．

【练习4】如图，已知DAAB，DE平分ADC，CE平分BCD，

1290°，求证：BCAB．

【解析】∵DE平分ADC，CE平分BCD，1290°

∴180ADCBCD°，

∴AD∥BC，

∴180DABABC°

∵DAAB，

∴90ABC°，即BCAB

1

2

A

B

C

D

E

图2

1

3

2

G

A

E

B

D

F

C

图1

3

2

1

F

E

D

C

B

A

题型二基本模型中平行线的证明巩固练习

【练习5】已知：如图，点E为其内部任意一点，BEDBD.求证：

∥ABCD

.

E

D

C

B

A

【解析】如图过点E做∥EFAB,

∵∥EFAB

∴BBEF,

∵BEDBEFDEFBDEF

BEDBD

∴DEFD

∴∥EFCD

又∵∥EFAB

∴∥ABCD

F

A

B

C

D

E