数学猜想

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“猜想——验证——归纳——运用”

的小学数学教学模式

黎川二小丁国安

一、模式的理论依据：

牛顿曾经说过:没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，

爱因斯坦的不少发明和理论也都是由一定的猜想而产生的。

《新课程标准》指出：数学教学活动应激发学生兴趣，

调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性

思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰

当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动

的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索

与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的

时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活

动过程。

猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教

育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家——常常凭借数学的直

觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教

学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动

探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。

二、模式的教学目标：

1、教师方面：引领数学教师理解《新课程标准》，研究

新教材，更好地整体把握教材体系，对教材中的教学内容和

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呈现方式进行深度思考、重新组合、创造性地用好，达到优

化有效，从而进一步提高教师驾驭教材的能力以及科学、合

理设计课堂教学方案，从而提高课堂教学效果。

2、学生方面：激发学生学习的兴趣，引导他们积极投

身到数学学习的过程中去；数学猜想能缩短学生解决问题的

时间，使学生获得数学发现的机会，提升他们的数学思维能

力；数学猜想能促使学生产生探究知识的欲望，提高观察、

分析问题的能力，增强学生的创造力。

三、模式的操作流程：

（一）、知识迁移——有“理”猜想，激活思维

学生的生活经验和已有知识常常与新知之间存在着一

层“真空地带”，这正是学生学习新知时在认知和心理上竭

力要跨越的障碍。在教学过程中，学生的猜测活动就应在这

“真空地带”中展开，让学生抓住新旧知识的连接点，创设

一定的问题情景，使学生能借助旧知产生“正迁移”，先建

立猜想，然后从不同角度来验证猜想。

因此，我们在引导学生进行“猜想”时，可以参照以下

几种方法进行：

1、把若干相同或相似的不同事物放在一起进行比较，

让学生由旧事物的已知属性去猜想新事物也具有相同或相

似的属性。

2、引导学生在已有知识和经验的基础上，对一些信息

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进行有效的分析，从而提出大胆又有创新的结果假设。

3、在实际操作中发现问题，提出猜想和假设，并通过

实际去验证。

当然、我们要提高学生“猜想”能力要注意遵循以下几

条基本原则

1．给足学生猜想的时空。

学生在课堂上是学习的主人，要充分发挥学生的主体地

位，改进教师讲授、学生练习的单一教学方式。同时，要引

导学生进行猜想，数学猜想是学生对数学问题的主动探索。

教师要为学生创设平等民主的课堂氛围，尊重学生的猜想，

给学生畅所欲言的机会，通过猜想，极大地调动学生学习的

积极性和主动性，激发他们探索新知的欲望。因此，教师要

为学生进行猜想提供足够的时间和空间。

2．允许学生出错。

数学学习是一个动手实践、合作交流和自主探索的过

程。学生原有的知识背景、生活经验各不相同，但要通过他

们的主动参与，包括独立思考、与他人交流和反思等，去构

建对数学的理解。在这个过程中，学生难免会出错，教师要

以积极的心态去聆听学生的猜想，允许学生有错误，不求全

责备，充分鼓励他们的猜想，让学生勇敢地与他人分享自己

的猜想，锻炼他们的思维。

3．引导学生学猜想。

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《数学课程标准》指出：“能通过观察、实验、归纳、

类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出

反例。”因此，教师要告诉学生，猜想不是无根之木、无源

之水，而是立足于自己已有知识经验和数学思考上的合理推

测，形成良好的猜想意识，学会合理的猜想。

如《分数的基本性质》教学片断一：

创设情境，提出猜想：

1、复习旧知，创设情境

师：我们数学课中经常要与数字打交道，那么在1——9

中，你喜欢哪两个数？

生：……

师：（板书：5和6）那么如果老师在5和6中间加一个

除号，这样组成一个除法算式，谁能不计算就能很快的写出

和这个算式大小相等的除法算式？

生：……

师：你们根据什么很快地写出了这些算式？按这样写下

去可以写多少个？（无数个）

生：商不变的性质。

师：谁能说一说商不变的性质？想起来了吗？

（出示商不变的性质）生读一遍。

师：我们知道分数与除法之间有着密切的关系，可以把

这些除法算式的商写成分数形式……这些分数之间大小有

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什么关系？

生：相等。

2、提出猜想：

师：这些分数的分子和分母发生了变化，而它们的大小

却没有变。这可奇怪了，我们知道，在除法中有商不变的性

质，那么请大家按行从左往右，再从右往左的顺序认真观察

这组分数，你们大胆的猜想一下，在分数中是不是也有什么

规律？如果有的话，应该怎么说呢？（可以把你们的猜想互

相说一说）

生：分数的分子和分母……

（二）、自主探究——验证猜想，加深理解。

学生在课堂中积极思维，大胆猜想，他们的创新意识得

到了激发但要想知道猜想是否有价值，是否合理正确，教师

还必须引导学生对其进行细心地验证，让学生体验到成功的

喜悦，这是一个不可或缺的过程因为对于知识的学习，不能

只局限于结论的获得，学生不仅必须知其然，还要知其所以

然，实践出真知，如果通过验证，发现猜想是错误的，应立

即调整思路，重新分析，只有引导学生把猜想和验证有机结

合起来，猜想才具有意义，如果只让学生猜想，学生的认识

最终只能是一无所知，或者一知半解学生的猜想是否正确，

教师知而不答，引导学生参与到知识的形成过程中来，让学

生自己探索验证，这时最好给学生足够的时间，让学生带着

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疑问，按自己的想法去选择材料做实验，让学生大胆地动手

做，鼓励学生把看到的都记下来，教师只是随机地指导，通

过提问、参与、建议等形式引导学生一步步迈向概念的原理，

有目的有意识地观察记录学生在实验中的表现，使用的材

料、方法，语言表述以及结论和发现，便于进行有针对性的

概括和小结

此时的验证猜测活动应具有如下特点：

1、目标性和可探究性。学生在验证猜测活动中，有预

定的并愿意为之奋斗的目标，学生的思维和探索活动方向是

明确的，而且学生有能力可以完成，但又有一定可探究性，

保证探索活动有一定的效率。

2、能动创造性。学生在验证猜测活动中，本质力量必

然会得到最充分的表现。表现在：一是学生将透过客体的外

部复杂现象，发现其本质规律，促进对新知的理解；二是学

生根据自己对客体的认识，在观念中重构各种数学知识和思

维方法，积累广泛的数学活动经验，从而为下一次实践活动

提供强有力的支撑。

如《分数的基本性质》教学片断二：

师：我们一起回过来看看这组分数，看看这组分数的分

子和分母是怎么变化的，是不是有这样的规律？

生：扩大2倍……

师：这是从左往右看的，那我们再来从右往左看……

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生：除以2……

师：通过这组数能证明同学们的猜想是正确的，但是，

我们知道，只靠这一组分数来证明，有的同学可能认为这没

有说服力，那我们是不是还可以根据猜想举例来证明这个规

律是正确的。

师：以1/2为例……1/2=2/4=4/8

师：对不对呢？（师打上问号）你能用什么方法来证明

它们相等吗？（生讲方法）老师这也有几种方法参考，（课

件出示）请同学们先择自己喜欢的方法来进行验证．

探究验证

师：接下来我们就一起来验证一下吧，谁愿意来读

读验证要求？

验证要求：

（1）4人小组合作完成。

（2）可以利用身边的材料（任选一种），可以用画

图法，也可以用计算的方法。

（3）每个小组推选出一名代表，汇报交流。

反馈时交流：（引导学生理解用材料法的前提必须

是相同材料）

（材料法）

生1：（三个相等的圆）：各把一个圆看作单位“1”，第

一种平均分成两份，表示这样的一份；第二种平均分成4份，

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表示这样的2份，第三种平均分成8份，表示这样的4份，

它们表示的阴影部分的大小是相同的，所以1/2＝2/4＝

4/8。

生2：（拿了3张正方形白纸）：各把一张白纸看作单位

“1”，第一种平均分成两份，表示这样的一份；第二种平均

分成4份，表示这样的2份，第三种平均分成8份，表示这

样的4份，它们表示的阴影部分的大小是相同的，所以1/2

＝2/4＝4/8。

生3：（拿了等长的三张纸条）：各把一条纸条看作

单位“1”，一种平均分成2份，表示这样的一份；另一种平

均分成4份，表示这样的2份；第三种平均分成8份，表示

这样的4份，它们表示的长度是相等的，所以1/2＝2/4＝

4/8。

画图法：画图验证（画线段。）

计算法：（预设）

生：1÷2＝0．52÷4＝0．54÷8＝0．5，

所以1/2＝2/4＝4/8。

生：商不变性质验证1÷2＝2÷4被除数、除数同

时乘以2，商不变。说明1／2＝2／4．

生：分数的分子、分母同时扩大2倍、4倍，分数

的大小不变。

师：同学们想的办法真多，你们充分利用了手里的

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材料和学过的知识验证了1/2＝2/4＝4/8。

（三）、完善发现——归纳整理，内化知识。

验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、议一议，

相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地

归纳概括出知识结论。归纳时要引导学生深刻立理解结论的

普遍性和结论中的每一句话。这时教师可以做出总结肯定其

正确、纠正其错误，以使同学们得到较完整的数学知识的认

识。

例如《分数的基本性质》教学片断三：

我们通过验证我们的猜想是完全正确的，那么你们认为

这个规律中哪几个字是最重要的呢？在运用分数的基本性

质的时候，哪些地方我们需要注意的？

a．同时乘或除以（强调：不能同时加或减，不能

分子乘、分母除以或分子除以，分母乘，举个反例）

b．相同的数（这个数可以是整数，也可以是小数

或分数可验证一下）

c．0除外（一个数除以0没意义，如果分母乘0的

话，也变成0了，就没有意义了，所以分母是不能为0的，

要把0除外）

我们发现的这个规律是每一个分数都有的特点，在数学

上被称为——分数基本性质。

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（四）、应用猜想——用之生活，培养思维。

学生经历猜想—验证的活动，建构自己的认知结构只是

学习的一个方面。数学学习还需要灵活运用数学知识解决实

际问题。为了使我们的数学教学更富魅力，使学生真正做到

理解数学来之生活，用之生活，可安排延伸应用猜想，让学

生在和谐、轻松的氛围中巩固知识，拓展思维。

如《分数的基本性质》教学片断四：

1、例题2：那你能用今天学的知识解决下面的问题吗？

（课件出示例题2）请看：把2/3和10/24化成分母是12而

大小不变的分数。（课件出示）先让学生在草稿纸上写，再

让学生讲出思考的过程。师：分子怎样变？这是运用了什么

知识？

2、你们知道吗，在大肥羊学校喜羊羊它们也在学习分

数的基本性质，喜羊羊向我们发出了挑战，看谁能很快的解

决下面的问题，那我们现在有没有信心和聪明的喜羊羊比一

比呢？

（1）．一个不能少（填数）：在羊羊的后面躲着什么数

呢？（学生每讲完一个点击小羊出示答案，并请2个学生说

想法。）

1/3=()/610/15=()/31/4=5

/()

（2）、把3/5和12/30化成分子是12而大小不变的分

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数。

3、学法回顾，总结本课：

我们今天学了什么，运用了什么样的学习方法来进行学

习的？．

师：像我们今天的学习方法，很多科学家的许多的发现

也就是用这样的思路来发现的。下面老师把我最喜欢的中国

数学家哥德巴赫猜想的发现者陈景润先生的一句名言和大

家一起来分享：

总之，“猜想——验证——归纳——运用”的小学数学

教学模式的运用与新课程倡导自主探究学习的精神相吻合，

这样能给多的时空让学生自主探索索，动手操作与合作交

流，使学生思维更主动、更灵活、更广阔、更深刻、更有利

于良好的思维品质的培养，更有利于学生思维的系统性和深

刻性，更有利于学生的未来发展。