安徽农业大学研究生

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿

真模拟五套题

主编：掌心博阅电子书

特别说明

本书严格按照该考研科目最新专业课真题题型、试题数量和考试难度出题，结合考研大纲整理编写了

五套全仿真模拟试题并给出了答案解析。涵盖了这一考研科目常考试题及重点试题，针对性强，是考研报

考本校该科目专业课复习的首选资料。

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者批评指正。

第3页，共25页

目录

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（一）.................................................4

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（二）.................................................9

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（三）...............................................13

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（四）...............................................18

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（五）...............................................22

第4页，共25页

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（一）

说明：本书由编写组多位高分在读研究生按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，仅

供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权请联系我们立即处理。

一、综合题

1

．

设

L

是一条平面曲线，其上任意一点

P

（

x

，

y

）（

x

＞

0

）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在

y

轴上的截距，且

L

经过点（，

0

）

.

（

1

）试求曲线

L

的方程；

（

2

）求

L

位于第一象限部分的一条切线，使该切线与

L

以及两坐标轴所围图形的面积最小

.

【答案】（

1

）

L

过点的切线方程为

.

此切线作

y

轴上的截距为

.

由题设知，这是齐次方程

.

令

.

可解得通解

.

由

L

经过点（，

0

），知

C=

，于是

L

方程为，即

.

（

2

）第一象限内曲线在点

P

（

x

，

y

）处的切线方程为

它与

x

轴及

y

轴的交点分别为与

.

设

L

与

x

轴和

y

轴在第一象限内所围图形面积

为，则所求面积为

令

解得驻点（舍去负值）

.

当时，

;

当时，，因而是

S

（

x

）在（

0

，）内的唯一极小

值点，即最小值点

.

于是所求切线为

，即

.

2

．

设有一高度为

h

（

t

）（

t

为时间）的雪堆在融化过程中

.

其侧面满足方程（设长

度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数

0.9

），问高度为

130

（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

【答案】设在

t

时刻

V

（

t

）和

S

（

t

）分别表示雪堆的体积和侧面积，

D

（

t

）表示底面区域

.

于是

由题意

..

将

V

（

t

）和

S

（

t

）的表达式代入此式中，化简得

，则

h

（

t

）

=t+C.

由初始条件

h

（

0

）

=130

，定出

C=130.

雪堆高度公式为

h

（

t

）

=130t.

令

h

（

t

）

=0

，解出

t=100

（小

时）

.

第5页，共25页

3

．

已知函数，求

f

（

x

）零点的个数

.

【答案】

青岛掌ㅗ心博く阅电子书

令

.

得驻点为

x=.

当时

.f

（

x

）单调递减；当时，

f

（

x

）单调递增

.

故

f

（）为唯一的极小值

.

也是最小值

.

而

当时，，故，

从而有

.

考虑

.

所以

.

所以函数

f

（

x

）在及上各有一个零点，所以零点个数为

2.

4

．

设区域，计算二重积分

【答案】积分区域

D

为右半圆，关于

x

轴对称，且函数是

y

的偶函数，是

y

的

奇函数，则

，

，

5

．

求，其中

C

为球面，

的边界线，从球心看

C

，

C

为逆时针方向

.

【答案】考查空间线积分的计算

.

①

参数式；

②

用斯托克斯公式

.

如下图所示

.

图

（

1

）参数式

.

青岛掌ё心博阅❤电子书

第6页，共25页

将

C

分为三段，在

x0y

平面上那一段

.

由

C

的变量轮换对称

及被积函数的变量的轮换对称

.

故

（

2

）利用斯托克斯公式

.

选

S

为以

C

为边界的球面，法矢量指向球心，

由于

同理

故

6

．

计算曲线积分，其中

L

是曲线

y=sinx

上从点（

0

，

0

）到点（，

0

）的

一段

.

【答案】

7

．

已知两曲线

y=f

（

x

）与在点（

0.0

）处的切线相同，写出此切线方程

.

并求极限

.

【答案】因为两曲线在点（

0,0

）处具有相同的纵坐标和切线斜率

.

所以

故所求切线方程为

y=x.

第7页，共25页

8

．

设为曲面（

a

＞

0

）所围空间域，求其体积

.

【答案】画图，如下图所示

.

青岛掌ㅐ心博阅电子书

图

（

1

）二重积分的几何意义

.

由

故

（

2

）用三重积分，且

“

先二后一

相应

D

的面积为：

故

（

3

）用定积分（旋转体的体积）

.

由图看出；

V

是由

yoz

面上的曲线及

2a

）绕

z

轴旋转而成

.

故

.

（

4

）用面积分

.

第8页，共25页

故

第9页，共25页

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（二）

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一、综合题

1

．

计算定积分

【答案】

2

．

设

f

（

x

，

y

）在闭区域上连续，且

，求

f

（

x

，

y

）

.

【答案】由二重积分的意义，为常数，故可令，则题等式成为

f

（

x

，

，将此等式两边在

D

上积分，得

即

.

故，

于是

.

3

．

计算积分

【答案】注意到被积函数内有绝对值号且

x=1

是其无穷间断点，因此

原式

故

原式

...

第10页，共25页

4

．

求过直线且与平面组成角的平面

【答案】为方便起见选择单参数平面束，设通过直线的平面束方程为

即

。

其法向量，而平面的法向量为，因所求平面与平面的夹角为

，则有

解得，对应的平面方程为

平面

x-z+4=0

的法向量，则

»

这说明，平面

x-z+4=0

也为所求平面。

5

．

计算不定积分

【答案】设，则，

而

所以

第11页，共25页

6

．

计算

.

【答案】令，则当

x=1

时，

t=1;

当

x=4

时，

t=2.

于是

原式

7

．

设二阶可导，且，过

y

上任意点

P

（

x

，

y

）作该曲线的切线与

x

轴的

垂线，上述两直线与

x

轴所围三角形的面积记为，区间

[0

，

x]

上以

y=y

（

x

）为曲边梯形面积记为，且

，求

y

（

x

）

.

【答案】如下图所示

.

图

过

P

（

x

，

y

）点的切线为

它在

x

轴上的截距为

.

从而，其中

所以

由得

两边求导且

令，得：，即

由

即由

故为所求曲线方程

.

8

．

计算曲面积分，其中是曲面的外侧

.

【答案】，

其中，

因为，

所以

.

由于被积函数及其偏导数在点（

0

，

0

，

0

）处不连续，作封闭曲面（外侧）

第12页，共25页

则由高斯公式，得

故

第13页，共25页

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（三）

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一、综合题

1

．

求以下直线方程。

（

1

）在平面Ⅱ：

x+y+z+1=0

内求垂直于直线的直线方程。

（

2

）求直线在平面Ⅱ

:4x-y+z=1

上的投影直线方程。

【答案】（

1

）直线

L

的方向矢量为。

它与平面Ⅱ的交点为。

因而平面的方程为：

2

（

x-0

）

-

（

y+1

）

-

（

z-0

）

=0

，即

2x-y-z-1=0

。

故所求直线方程为：

（

2

）过直线

L

的平面束为

即。

法矢量，由于直线

L

向平面

Ⅱ

的投影平面垂直于平面Ⅱ，即

。

因而。

故投影平面。

所求投影直线方程为：

2

．

过坐标原点作曲线

y=lnx

的切线，该切线与曲线

y=lnx

及

x

轴围成平面图形

D.

（

1

）求

D

的面积

A;

（

2

）求

D

绕直线

x=e

旋转一周所得旋转体的体积

V.

【答案】（

1

）设切点的横坐标为

.

则曲线

y=lnx

在点处的切线方程是

由该切线过原点知，从而故切线的方程为（见下图）

.

D

的面积

图

（

2

）切线与

x

轴及直线

x=e

所围成的三角形绕直线

x=e

旋转所得的圆锥体积为

第14页，共25页

曲线

y=lnx

与

x

轴及直线

x=e

所围成的图形绕直线

x=e

旋转所得的旋转体体积为

则所求旋转体的体积为

3

．

设，

求函数的表达式

.

【答案】当时，

当时，

所以

F

（

x

）

=

4

．

求函数在区域上的最大值和最小

值

.

【答案】由

^

得

D

内驻点为

.

在边界上，记，显见在上

f

（

x

，

y

）的最大值为

4

，最小值为

0.

在边界上，记

第15页，共25页

由得驻点

，

h

（

0

）

=f

（

0

，

2

）

=8.

综上，

f

（

x

，

y

）在

D

上的最大值为

8

，最小值为

0.

5

．

设曲面，计算

【答案】由于曲面关于平面

x=0

对称，因此

.

又曲面具有轮换对称

性，于是

6

．

求级数的和

.

【答案】采用幂级数求和函数的方法，先设

，

，

其中

应用公式

从而

（且）

.

因此

7

．

计算二重积分

青岛掌ㅓ心博✲阅电子书

其中

【答案】如下图，区域

D

的极坐标表示为

第16页，共25页

图

8

．

设球面，柱面

（

1

）求球面在柱面内的面积

.

（

2

）求柱面在球面内的面积

.

【答案】如下图所示，

图

（

1

）由柱对称性，只需计算部分，而球面在柱面内部分在

xoy

平面上的投影域为

（

2

）由对称性，只需计算部分

.

当时，柱面在球面内部分，在

xoz

平面上的投影为

第17页，共25页

第18页，共25页

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（四）

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一、综合题

1

．

有一高度为

h

（

t

）（

t

为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单

位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为

0.9

），问高度为

130

（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

【答案】令

V

为雪堆体积，

S

为雪堆的侧面积，其侧面在

xOy

平面上投影为

由题意，

.

故

即，则

h

（

t

）

=1.3t+c

又因为初始时刻，

h=130

，即

h

（

0

）

=130

，所以

130=-1.3

×

0+c

故

c=130

，从而

h

（

t

）

=-1.3t+130

，从

h

（

t

）

=0

，则

t=100

（小时）

故雪堆融化需要

100

小时

.

2

．

计算二重积分

，其中

D

是由曲线

y

和直线

y=-x

围成的区域

.

图

【答案】区域

D

如图所示，在极坐标系下

令

r=2asint

，有

第19页，共25页

3

．

计算曲面积分

其中为上半球面的上侧

.

【答案】补，方向向下

.

设由和所围区域记为根据髙斯公式，有

4

．

求幂级数的收敛域及和函数

.

【答案】（

1

）求收敛域，有

所以当

-1

＜

x

＜

1

时级数收敛

.

当时，，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛

,

故原级数的收敛域

为

[-1

，

1].

（

2

）设，

令，

所以

.

，

即，

而，所以，所以

.

故幂级数的和函数为

arctanx

，

[

―

1

，

1].

5

．

已知曲线，其中函数

f

（

t

）具有连续导数，且，

若曲线

L

的切线与

x

轴的交点到切点的距离值恒为

1.

求函数

f

（

t

）的表达式，并求此曲线

L

与

x

轴无边界

的区域的面积

.

【答案】

①

切线为

.

令

y=0

，则

第20页，共25页

，切线与

x

轴交点为，对应的切点为

.

由题意，则

因为

.

所以

因为

f

（

0

）

=0

，所以

.

②

.

6

．

求八分之一的球面的边界曲线的重心，设曲线的线密度

【答案】边界曲线如下图所示

青岛掌ㅎ心博阅电子书

图

曲线在

xOy

，

xOz

，

zOx

坐标平面内弧段分别为，则曲线的质量为

设曲线重心为，则

因为

.

所以

由对称性知，即所求重心为

.

7

．

计算

.

【答案】原式

8

．

已知满足

（

n

为正整数）

且，求函数项级数之和

.

【答案】由已知条件可见，

第21页，共25页

其通解为

由条件，得

C=0

，

故

从而

记，其收敛域为

[-1

，

1]

，

当时，有

故

.

当

x=-1

时，

.

于是，当时，有

第22页，共25页

2021年安徽农业大学农学院611高等数学考研仿真模拟五套题（五）

说明：本书由编写组多位高分在读研究生按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，仅

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一、综合题

1

．

求极限

.

【答案】

2

．

设，其中

x

＞

0,

求

.

【答案】令当

t=1

时，

u=1;

当时，

u=x.

于是

3

．

设位于第一象限的曲线

y=f

（

x

）过点，其上任一点

P

（

x

，

y

）处的法线与

y

轴的交点为

Q

，

且线段

PQ

被

x

轴平分

.

青岛掌щ心博◎阅电子书

（

1

）求曲线

y=f

（

x

）的方程；

（

2

）已知曲线

y=sinx

在上的弧长为，试用表示曲线

y=f

（

x

）的弧长

s.

【答案】（

1

）曲线

y=f

（

x

）在点

P

（

x

，

y

）处的法线方程为

其中（

X

，

Y

）为法线上任意一点的坐标

.

令

X=0

，则

故

Q

点坐标为

.

由题设知

，即

2ydy+xdx=0.

积分得

（

C

为任意常数）

.

由知

C=1

，故曲线

y=f

（

x

）的方程为

（

2

）曲线

y=sinx

在上的弧长为

曲线

y=f

（

x

）的参数方程为

第23页，共25页

故

令，则

4

．

求

青岛掌ㅠ心博┨阅电子书

【答案】为了处理的取整，令，

剖分

D

为

.

如下图所示

.

图

故

5

．

在

xOy

坐标平面上，连续曲线

L

过点

M

（

1

，

0

），其上任意点处的切线斜率与直

线

OP

的斜率之差等于

ax

（常数

a

＞

0

）

.

（

1

）求

L

的方程；

（

2

）当

L

与直线

y=ax

所围成平面图形的面积为时，确定

a

的值

.

【答案】（

1

）依题意得

求得其通解为

第24页，共25页

将

x=1

，

y=0

代入上式得

C=-a.

从而

L

的方程为

（

2

）

L

与直线

y=ax

的交点坐标为（

0

，

0

）和（

2

，

2a

），那么

L

与直线

y=ax

围成平面图形的面积

于是由题设知，

从而

a=2.

6

．

求过点

P

（

2

，

1

，

3

）且与直线

L;

垂直相交的直线方程

【答案】过

P

（

2

，

1

，

3

）作垂直于

L

的平面（即以

L

的方向为法矢量，过

P

点的平面）所求平面方

程Ⅱ

:3

（

x-2

）

+2

（

y-1

）

-

（

z-3

）

=0

，即

3x+2y-z-5=0

Ⅱ与

L

的交点

Q:

将直线的参数式代入平面方程：

故所求

Q

点为

所求直线方程为（两点式）

7

．

求微分方程满足条件的解

.

【答案】齐次方程的特征方程为

青岛掌л心博┿阅电子书

由此求得特征根

.

对应齐次方程的通解为

.

设非齐次方程的特解为，

则，

代入原方程，求得

A=.

从而

于是，原方程的通解为

将

y

（

0

）

=1

和代入通解，

求得

从而，所求解为

第25页，共25页

8

．

设

xOy

平面上有正方形及直线

.

若

S

（

t

）表示正方形

D

位于直线

l

左下方部分的面积，试求

【答案】如下图，

图

容易求出

S

（

t

）的表达式

当时，

当时，

当

x

＞

2

时，

因此