线性代数试题

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（线性代数）（A卷）

专业年级：学号：姓名：

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设

nm

A



为实矩阵,则线性方程组

0Ax

只有零解是矩阵)(AAT为正定矩阵的

(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)无关条件。

2．已知

32121

,,,,为四维列向量组，且行列式4,,,

1321

A，

1,,,

2321

B，则行列式BA

(A)

40

；(B)

16

；

(C)

3

；(D)

40

。

3．设向量组

s

，，，

21

)2(s线性无关，且可由向量组

s

，，，

21

线

性表示，则以下结论中不能成立的是

(A)向量组

s

，，，

21

线性无关；

(B)对任一个

j

，向量组

sj

，，，

2

线性相关；

(C)存在一个

j

，向量组

sj

，，，

2

线性无关；

(D)向量组

s

，，，

21

与向量组

s

，，，

21

等价。

4．对于n元齐次线性方程组

0Ax

，以下命题中，正确的是

(A)若

A

的列向量组线性无关，则

0Ax

有非零解；

(B)若

A

的行向量组线性无关，则

0Ax

有非零解；

(C)若

A

的列向量组线性相关，则

0Ax

有非零解；

(D)若

A

的行向量组线性相关，则

0Ax

有非零解。

5．设

A

为n阶非奇异矩阵)2(n，A为

A

的伴随矩阵，则

题号一二三总分总分人复分人

得分

得分评卷人

√

√

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(A)AAA11||)(；(B)AAA||)(1；

(C)111||)(AAA；(D)11||)(AAA。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．列向量

























1

1

1

是矩阵



























21

35

212

b

aA

的对应特征值的一个特征向量.

则



＝，a＝，

b

＝。

7．设n阶向量Txx)00(，，，，，

0x

；矩阵TEA,

且T

x

EA

1

1，则x_________。

8．已知实二次型

3221

2

3

2

2

2

132,1

2224),(xxxaxxxxxxxf正定,则常数a的

取值范围为________________。

9．设矩阵

33

)(





ji

aA，

ji

A是||A中元素

ji

a的代数余子式，

jiji

Aa，

131211

32aaa，已知0

11

a，则

11

a。

10．设

























403

212

221

A

，























1

1

a

，已知向量A

与线性相关，则a＝。

三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)

11．(1)求方程0)(xf的根，其中

2123

1123

6254

3122

)(

2

2











x

x

xf

；

得分评卷人

得分评卷人

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3/14

(2)计算n阶行列式

nn

nn

nn

nn

xxxxy

xxxyx

xxyxx

xyxxx

D

121

121

121

121





























。

12．设实向量Taaa

321

，其中0

1

a，3T，矩阵TEA

(1)试说明矩阵

A

能相似于对角阵；(2)求可逆矩阵

P

，使APP1为对角阵，

并写出此对角阵；(3)求行列式||EA。

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4/14

13．已知线性方程组

















2)1(22

2

1)1(

321

321

321

kxxkkx

xkxkx

xxkkx

，试讨论：

(1)

k

取何值时，方程组无解；(2)

k

取何值时,方程有唯一解，并求出其解；

(3)

k

取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。

14.设实二次型

3231

2

321

2

2

2

1321

845452)(xxxxxxxxxxxxf，，，

求：正交变换yQx，将f化为标准型。

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15.设3R的基为























1

1

1

1

，























0

1

1

2

，























0

0

1

3

。

(1)试由

321

，，构造3R的一个标准正交基

321

，，；

(2)求由基

321321

，，到，，的过渡矩阵

P

；

(3)已知向量

321

，求向量在基

321

，，下的坐标。

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线性代数期末试卷（A）参考答案

一、选择题1.(C)2.(D)3.(B)4.(C)5.(A)

二、填空题6．-1,-3,0；7.

1

；8.2/7||a；9．

7

6

；10.－1。

三、计算题

11．（1）)9)(1(5)(22xxxf，x1，－1，3，－3；（4分）

（2）









n

i

n

i

nn

yxyD

1

1

2

)1(

)()1(。（10分）

12．(1)

A

为实对称矩阵，所以相似于对角阵。(2分)

(2)因为2)()(TTEA，所以2

1

是

A

的特征值。

又秩1)(Tr，0||||TAE，所以1

32

是

A

的另两个特征值。

设Txxx),,(

321

为

A

对应1

32

的特征向量，则由

0),(

332211

xaxaxa，得

A

对应1

32

的线性无关的特征向量

TTaaaa),0,(,)0,,(

132121

，令

























13

12

321

21

0

0),,(

aa

aa

aaa

P

则

























100

010

002

1APP

。(7分)

(3)

EA

的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此4||EA。(10分)

13．(1)

0k

时，3)(2)(ArAr，无解(2分)

(2)

20kk，

时，3)()(ArAr，唯一解TT

k

k

xxx)0,1,

2

(),,(

321



(6分)

(3)

2k

时，2)()(ArAr，无穷多解,通解



































































2

0

1

0

1

0

3

2

1

c

x

x

x

。(10分)

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14．











































3

2

53

4

5

1

3

2

53

5

0

3

1

53

2

5

2

Q

；(8分)2

3

2

2

2

1

10yyyf。(10分)

15．(1)























1

1

1

3

1

1

,

























2

1

1

6

1

2

,

























0

1

1

2

1

3

，（3分）

(2)





























300

120

22223

6

1

),,(),,(

321

1

321

P（6分）

(3)

3212

1

6

3

3

6

1

2

3

























（10分）

注：本题答案不唯一，如























0

0

1

1

，























0

1

0

2

，























1

0

0

3

，则























001

011

111

P

，

321

23

（线性代数）（B卷）

专业年级：学号：姓名：

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设

33

)(





ji

aA的特征值为1，2，3，

ji

A是行列式||A中元素

ji

a的代数余子式，

则)(||

332211

1AAAA－＝

题号一二三总分总分人复分人

得分

得分评卷人

内

○

不

要

答

题

○

√

√

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（）

a.

6

21

；b.

6

11

；c.

3

11

；d.6。

2．已知AAPP

aaa

aaa

aaa

APnm











































若，，

333231

232221

131211

001

010

100

，则以下选项中正确的是

（）

a.45nm，；b.55nm，；c.54nm，；d.

44nm，。

3．n维向量)3(,,

21

ns

s

线性无关的充要条件是

（）

a．存在不全为零的数

s

kkk,,

21

，使0

2211



ss

kkk；

b．

s

,,

21

中任意两个向量都线性无关；

c．

s

,,

21

中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；

d．

s

,,

21

中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。

4．设BA，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中

21

kk，为任意常数）

（）

a.BA＋；b.BA；c.BA；d.BkAk

21

＋。

5．已知矩阵























22

22

22

a

a

a

A

，伴随矩阵0A，且0xA有非零解，则

（）

a.

2a

；b.

2a

或

4a

；c.

4a

；d.

2a

且

4a

。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．设行列式

300

002

010

D

，

ji

A是

D

中元素

ji

a的代数余子式，则



3

1

3

1ij

ji

A

得分评卷人

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＝。

7．设

A

是实对称可逆矩阵，则将AXXfT化为YAYfT1的线性变换为

____________________。

8．设矩阵



























533

42

111

xA有特征值6，2，2，且

A

能相似于对角阵，则x＝______

_____。

9．已知

0是n维实列向量，矩阵TkEA，

k

为非零常数，则

A

为正交矩阵的

充分必要

条件为

k

。

10.设























2

3

2

2

2

1

321

111

aaa

aaaA

，























1

1

1

b，其中

i

a互不相同，3,2,1i，

则线性方程组bxAT的解是___________。

三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)

11．计算n阶行列式：

nn

nn

nn

nn

xxxyx

xxyxx

xyxxx

yxxxx

D

121

121

121

121





























。

得分评卷人

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12．已知线性方程组

















bxaxx

xx

xx

321

31

21

1

1

，

（1）试问：常数ba，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。

13．设























11

11

11

a

a

a

A，

























2

1

1

，已知线性方程组Ax有解但不唯一。试求：

（1）a的值；（2）正交矩阵AQQQT使得，为对角矩阵。