2011无锡中考数学

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无锡新领航教育

2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编

专题11：选择填空解答的押轴题专辑

一、选择题

1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【】

（A）正多边形都是轴对称图形；

（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；

（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；

（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．

【答案】A，C。

【考点】正多边形和圆，命题与定理。

【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：

A、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；

B、正多边形一个内角的大小=(n－2)×180n，不符合正比例的关系式，故错误；

C、正多边形的外角和为360°，每个外角=

0

360

n

，随着n的增大，度数将变小，故正确；

D、正五边形的对角线就不相等，故错误。

故选A，C。

2.（上海市2003年3分）已知AC平分∠PAQ，如图，点B、B’分别在边AP、AQ

上，如果添加一个条件，即可推出AB＝AB’，那么该条件可以是【】

（A）BB’⊥AC（B）BC＝B’C（C）∠ACB＝∠ACB’（D）∠ABC＝∠AB’C

【答案】A，C，D。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】首先分析选项添加的条件，再根据判定方法判断：

添加A选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’；

添加B选项中条件无法判定△ACB≌△ACB’，推不出AB＝AB’；

添加C选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’；

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添加D选项以后是AAS判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’。

故选A，C，D。

3.（上海市2004年3分）在函数y

k

x

k()0的图象上有三点Axy

111

()，、AxyAxy

222333

()()，、，，

已知xxx

123

0，则下列各式中，正确的是【】

13

0

31

0

213



312



【答案】C。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。

【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：

∵

k

＞0，函数图象如图，

∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。

∵xxx

123

0，∴yyy

213

。

故选C。

4.（上海市2005年3分）在下列命题中，真命题是【】

A、两个钝角三角形一定相似B、两个等腰三角形一定相似

C、两个直角三角形一定相似D、两个等边三角形一定相似

【答案】D。

【考点】相似三角形的判定；命题与定理。

【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析：A不正确，不符合相似三角形的判定方法；B

不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确；C不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不

正确；D正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定。故选D。

5.（上海市2006年4分）在下列命题中，真命题是【】

（A）两条对角线相等的四边形是矩形；

（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形；

（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

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【答案】D。

【考点】正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定．

【分析】A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误；B、两条对角线互相垂直平分的四边

形才是菱形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形

既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；

D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确。故选D。

6.（上海市2007年4分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图

所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是

【】

A．第①块B．第②块

C．第③块D．第④块

【答案】B。

【考点】确定圆的条件。

【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。第②块出现一段完整

的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，从而可得到半径的长。故

选B。

7.（上海市2008年Ⅰ组4分）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线

PAPB，

，切点分别为

AB，

．如

果60APB，

8PA

，那么弦AB的长是【】

A．4B．8C．43D．83

【答案】B。

【考点】切线的性质，等边三角形和判定和性质。

【分析】∵

PAPB，

是圆O的两条切线，∴=PAPB。

又∵60APB，∴APB是等边三角形。

又∵

8PA

，∴

=8AB

。故选B。

8.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形

ABCD

中，如果ABa



，

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ADb



，那么ab



等于【】

A．BD



B．AC



C．DB



D．CA



【答案】B。

【考点】向量的几何意义。

【分析】根据向量的意义，=abAC



。故选B。

9.（上海市2009年4分）如图，已知

ABCDEF∥∥

，那么下列结论正确的是【】

A．

ADBC

DFCE



B．

BCDF

CEAD



C．

CDBC

EFBE



D．

CDAD

EFAF



【答案】A。

【考点】平行线分线段成比例。

【分析】已知

ABCDEF∥∥

，根据平行线分线段成比例定理，得

ADBC

DFCE



。故选A。

10.（上海市2010年4分）已知圆O

1

、圆O

2

的半径不相等，圆O

1

的半径长为3，若圆O

2

上的点A满足AO

1

=3，则圆O

1

与圆O

2

的位置关系是【】

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

【答案】A。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：当两圆外切时，切点A能满足AO

1

=3，当两圆相交时，

交点A能满足AO

1

=3，当两圆内切时，切点A能满足AO

1

=3，所以，两圆相交或相切。故选A。

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11.（上海市2011年4分）矩形ABCD中，AB＝8，BC35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P

是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是【】．

(A)点B、C均在圆P外；(B)点B在圆P外、点C在圆P内；

(C)点B在圆P内、点C在圆P外；(D)点B、C均在圆P内．

【答案】C。

【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。

【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半

径PD=2

222AP+AD2357。点B、C到P点的距离分别为：PB=6，

PC=2

222PB+BC6359。∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。

故选C。

二、填空题

1.（上海市2002年2分）已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、

DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是

▲．

【答案】AB=AC或∠B=∠C或AE=AF。

【考点】菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质。

【分析】根据菱形的判定定理，结合等腰三角形和三角形中位线的性质，可添加一个条件：AB=AC或

∠B=∠C或AE=AF。

2.（上海市2003年2分）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D

在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是▲。

【答案】18＜r＜25或1＜r＜8。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】当⊙A和⊙C内切时，圆心距等于两圆半径之差，则r的取值范围是18＜r＜25；

当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和，则r的取值范围是1＜r＜8。

所以半径r的取值范围是18＜r＜25或1＜r＜8。

3.（上海市2004年2分）如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋

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转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为▲。

【答案】3。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形。

【分析】连接CH，得：△CFH≌△CDH（HL）。

∴∠DCH=

1

2

∠DCF=

1

2

（90°－30°）=30°。

在Rt△CDH中，CD=3，∴DH=CDtan∠DCH=3。

4.（上海市2005年3分）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，

AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D

和点E（如图），折痕DE的长为▲

【答案】1。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

【分析】∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，

∴

AC3

AB23

cosA

3

2





。

又∵△BDE是△ADE翻折而成，DE为折痕，

∴DE⊥AB，

11

ADBDAB233

22

，

∴在Rt△ADE中，

3

DEADtanA3tan3031

3

。

5.（上海市2006年3分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图是一

个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。

【答案】

【考点】用旋转设计图案，中心对称图形。

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【分析】通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可。

6.（上海市2007年3分）图是44正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并

涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．

【答案】。

【考点】利用旋转设计图案，中心对称图形。

【分析】图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对

称图形，它原来在右上方，那么旋转180°后将在左下方。

7.（上海市2008年4分）在

ABC△

中，

5ABAC

，

3

cos

5

B（如图）．如果圆

O

的半径为10，且经过点

BC，

，那么线段

AO

的长等于▲．

【答案】3或5。

【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质，弦径定理，勾股定理。

【分析】如图，过点A作

ADBC

交

BC

于点D，根据锐角三角函数，等腰三角

形的性质和弦径定理，由

5ABAC

，

3

cos

5

B得

3BDDC

。由勾股定理，

得

4AD

。

在

tBODR△

中，3,10BDBO，∴由勾股定理，得

1OD

。

当点

O

在

BC

上方，线段

3AOADOD

；

当点

O

在

BC

下方，线段

5AOADOD

。

8.（上海市2009年4分）在

RtABC△

中，

903BACABM°，，

为边

BC

上的

点，联结AM（如图所示）．如果将

ABM△

沿直线AM翻折后，点B恰好

落在边

AC

的中点处，那么点M到

AC

的距离是▲．

【答案】2。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

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【分析】∵

ABM△

沿直线AM翻折后，点B恰好落在边

AC

的中点处，假设这个点是B′。作

,MNACMDAB，垂足分别为,MD。

∵在

RtABC△

中，

903BACAB°，

，

∴

ABAB

′=3，

DMMN

，AB′=B′

C

=3，

6AC

。

∴

BACBAMMAC

SSS



，即

111

3636

222

DMMN。

∴

9

9

2

MN，即

=2MN

。

所以点M到AC的距离是2。

9.（上海市2010年4分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1

（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C

两点的距离为▲.

【答案】1或5。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。

【分析】旋转两种情况如图所示：

顺时针旋转得到F

1

点，由旋转对称的性质知F

1

C=EC=1。

逆时针旋转得到F

2

点，则F

2

B=DE=2,F

2

C=F

2

B＋BC=5。

10.（上海市2011年4分）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，

BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰

好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝▲．

【答案】80°或120°。

【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三

角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。

【分析】由已知，B恰好落在初始Rt△ABC的边上且旋转角0°＜m＜180°，故

点B可落在AB边上和AC边上两种情况。

当点B落在AB边上时（如图中红线），由旋转的性质知△DBE是等腰

三角形，由∠B＝50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得

m＝∠BDE＝80°。

F2F1

E

D

C

B

A

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当点B落在AC边上时（如图中蓝线），在Rt△CDH中，由已知BD＝2CD，即DH＝2CD，得∠CDH

的余弦等于

1

2

，从而由特殊角三角函数值得∠CDH＝60°，所以根据邻补角定义得m＝∠BDH＝120°。

三、解答题

1.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P

在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图1图2图3

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函

数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ

成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）

【答案】解：（1）PQ＝PB。证明如下：

过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四

边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形

（如图1）。

∴NP＝NC＝MB。

∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°。

而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM。

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB（AAS）。

∴PQ＝PB。

（2）作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。

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∴PT＝CB＝PN．

又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN（HL）。

∴S

四边形PBCQ

＝S

△四边形PBT

＋S

四边形PTCQ

＝S

四边形PTCQ

＋S

△PQN

＝S

正方形PTCN



＝CN2

＝（1－x

2

2

）

2

＝

2

1

x2

－x2＋1

∴y＝

2

1

x2

－x2＋1（0≤x＜

2

2

）。

（3）△PCQ可能成为等腰三角形。

①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0。

②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）

此时，QN＝PM＝

2

2

x，CP＝2－x，CN＝

2

2

CP＝1－

2

2

x。

∴CQ＝QN－CN＝

2

2

x－（1－

2

2

x）＝2x－1。

当2－x＝2

x－1时，得x＝1。

【考点】二次函数综合题，正方形的性质。

【分析】（1）过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM

都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得

△QNP≌△PMB，故PQ=PB。

（2）由（1）的结论，根据图形可得关系S

四边形PBCQ

＝S

△四边形PBT

＋S

四边形PTCQ

＝S

四边形PTCQ

＋S

△PQN

＝S

正方形PTCN

，代入数据可得解析式。

（3）分①当点P与点A重合，与②当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。

2.（上海市2003年12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是点B为圆心，AB长为半径的

圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边

DC于点F，G为切点：

（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；

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（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D

1

EF，如图，当EF＝

6

5

时，讨论△AD

1

D与△ED

1

F是否相似，

如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

【答案】解：（1）证明：∵∠DEF=45°，∴∠DFE=90°－∠DEF=45°。∴∠DFE=∠DEF。∴DE=DF。

又∵AD=DC，∴AE=FC。

∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，∴AD切圆B于点A。

同理：CD切圆B于点C。

又∵EF切圆B于点G，∴AE=EG，FC=FG。

∴EG=FG，即G为线段EF的中点。

（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1－y，

根据勾股定理，得（x+y）2=（1－x）2+（1－y）2，∴y=

1x

1x

-

（0＜x＜1）。

（3）当EF=

6

5

时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，即x＋

1x

1x

-

=

6

5

，解

得x

1

=

1

3

或x

2

=

1

2

。

①当AE=

1

2

时，△AD

1

D∽△ED

1

F，证明如下：

设直线EF交线段DD

1

于点H，由题意，得：△EDF≌△ED

1

F，EF⊥DD

1

且DH=D

1

H。

∵AE=

1

2

，AD=1，∴AE=ED。∴EH∥AD

1

，∠AD

1

D=∠EHD=90°。

又∵∠ED

1

F=∠EDF=90°，∴∠ED

1

F=∠AD

1

D。∴△ED1F∽△AD1D。

②当AE=

1

3

时，△ED

1

F与△AD

1

D不相似。

【考点】切线的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定。

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发

现G为线段EF的中点。

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（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关

系式。

（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值．分两种情况分别分析，根据切线长定理找到角之

间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似。

3.（上海市2004年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，

AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数

2

yx的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，

直线CD交

y

轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xx

CD

、，点H的纵坐标为y

H

．

同学发现两个结论：

①SS

CMD

ABMC



：：

梯形

23；

②数值相等关系：xxy

CDH

。

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为()()tt，，00”，其

他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）

（3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为()()tt，，00”，

又将条件“yx2”改为“yaxa20()”，其他条件不变，那么xx

CD

、和y

H

有怎么样的数值关系？（写

出结果并说明理由）

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【答案】解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由

点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为yx

∴点M的坐标为（2，2），

∴

3

1

2

CMD

ABMC

SS





梯形

，。

∴23

CMD

ABMC

SS

梯形

：：，即结论①成立。

设直线CD的函数解析式为ykxb

则

kb

kb











1

24

，得

k

b











3

2

∴直线CD的函数解析式为yx32；

由上述可得，点H的坐标为（0，－2），y

H

2。

∵2

CD

xx·，∴

CDH

xxy·，即结论②成立。

（2）结论①仍成立，理由如下：

∵点A的坐标为()()tt，00，则点B坐标为（20t，），从而点C坐标为()tt，2，点D坐

标为()242tt，，设直线OC的函数解析式为ykx，则tkt2，得kt。

∴直线OC的函数解析式为ytx。

设点M的坐标为（2ty，），

∵点M在直线OC上，∴当xt2时，yt22，点M的坐标为（222tt，）。

∴

222

1

2(2)23

22

CMD

ABMC

t

SStttt





梯形

：··：：

。

∴结论①仍成立。

（3）xx

a

y

CDH

·

1

，理由如下：

由题意，当二次函数的解析式为yaxa20()，且点A坐标为（t，0）（t0）时，点C坐

标为（tat，2），点D坐标为（242tat，），设直线CD的函数解析式为ykxb

第14页

则

ktbat

ktbat

kat

bat

























2

2

224

3

2

，得

∴直线CD的函数解析式为yatxat322。

则点H的坐标为（022，at），yat

H

22。

∵

2

2

CD

xxt·，∴

1

CDH

xxy

a

·。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两

点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐

标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。

（2）（3）的解法同（1）完全一样。

4.（上海市2005年12分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，

BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB

相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交

射线CB于点F。

（1）如图，求证：△ADE∽△AEP；

（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当BF＝1时，求线段AP的长.

【答案】解：（1）证明：连接OD，

∵AP切半圆于D，∴∠ODA=∠PED=90°。

又∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。

∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，∠AEP=∠OED+∠PED。

∴∠ADE=∠AEP。

又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEP。

（2）∵∠ABC＝90°，AB=4，BC=3，∴AC=5。

∵△AOD∽△ACB，∴

OAODAD

CACBAB

。∴OD=

3

5

OA，AD=

4

5

OA，

∵△ADE∽△AEP，∴

AEADDE

APAEEP

。

第15页

∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=

8

5

OA，

∴

4

OA

AEAD1

5

8

APAE2

OA

5

，

8

x

AE1

5

APy2

。

∴y关于x的函数解析式为y=

16

x

5

（0＜x≤

25

8

）。

（3）分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论：

情况1：当点B在CF上，y=

16

x

5

，BP=4－AP=4－

16

x

5

，

∵△PBF∽△PED，∴

BFED

BPEP

。

又∵△ADE∽△AEP，∴

EDAE

EPAP

。

∴

BFAE

BPAP

，即

8

x

1

5

1616

4xx

55





。解得：x=

5

8

。

∴AP=

16

x

5

=2。

情况2：如图，当点B在CF延长线上，

∵∠CEF=900－∠AED=900－∠P=∠CFE，

∴CE=CF=BC－BF=3－1=2。

过点E作EG⊥BC，交BC于点G，

则

EGCGCE2

ABBCAC5

。

解得，EG=

8

5

，CG=

6

5

。

∴FG=FC－CG=2－

64

=

55

。

又∵

PBFB

EGFG

，∴PB=

8

1

5

2

4

5



，AP=AB+PB=4+2=6。

综上所述，当BF＝1时，线段AP的长为2或6。

【考点】切线的性质；根据实际问题列一次函数关系式；相似三角形的判定与性质。

【分析】（1）证△ADE∽△AEP，两组对应角相等即可。连接OD，根据切线的性质，得∠ODA=90°，而

第16页

∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一个等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公

共角∠A，即可证得两三角形相似。

（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=

3

5

OA，AD=

4

5

OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=

16

x

5

。

又∵以点O为圆心的半圆交线段OC于点E，∴0＜AE≤AC，即0＜

8

5

x≤5，0＜x≤

25

8

。

（3）分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论即可。

5.（上海市2006年14分）已知点P在线段AB上，点

O

在线段AB延长线上．以

点

O

为圆心，

OP

为半径作圆，点

C

是圆

O

上的一点．

（1）如图，如果

2APPB

，

PBBO

．求证：

CAOBCO△∽△

（4分）；

（2）如果

APm

（m是常数，且

1m

），

1BP

，

OP

是

OA

，

OB

的比

例中项．当点

C

在圆

O

上运动时，求

:ACBC

的值（结果用含m的式子表示）

（7分）；

（3）在（2）的条件下，讨论以

BC

为半径的圆B和以

CA

为半径的圆

C

的位置关系，并写出相应m的取

值范围（3分）。

【答案】解：（1）证明：∵

2APPBPBBOPO

，∴

2AOPO

。∴

2

AOPO

POBO

。

∵

POCO

，∴

AOCO

COBO

。

∵

COABOC∠∠

，∴

CAOBCO△∽△

。

（2）设

OPx

，则

1OBx

，

OAxm

。

∵

OP

是

OA

，

OB

的比例中项，

∴21xxxm，得

1

m

x

m





，即

1

m

OP

m





。∴

1

1

OB

m





。

∵

OP

是

OA

，

OB

的比例中项，即

OAOP

OPOB

，

∵

OPOC

，∴

OAOC

OCOB

。

设圆

O

与线段AB的延长线相交于点Q，当点

C

与点P，点Q

不重合时，

∵

AOCCOB∠∠

，∴

CAOBCO△∽△

。

第17页

∴

ACOC

BCOB

即

ACOCOP

m

BCOBOB

，

当点

C

与点P或点Q重合时，可得

AC

m

BC

。

∴当点

C

在圆

O

上运动时，

:ACBCm

。

（3）由（2）得，

ACBC

，且11ACBCmBCm，1ACBCmBC，

圆B和圆

C

的圆心距

dBC

。

显然1BCmBC，∴圆B和圆

C

的位置关系只可能相交、内切或内含。

①当圆B与圆

C

相交时，11mBCBCmBC，得

02m

，

∵

1m

，∴

12m

。

②当圆B与圆

C

内切时，1mBCBC，得

2m

。

③当圆B与圆

C

内含时，1BCmBC，得

2m

。

【考点】圆的性质，相似三角形的判定和性质，比例中项的性质，两圆的位置关系。

【分析】（1）由已知，可得

COABOC∠∠

且

AOCO

COBO

，根据三角形的判定定理得证。

（2）由

OP

是

OA

，

OB

的比例中项，可求出

OAOC

OCOB

且

AOCCOB∠∠

，从而

CAOBCO△∽△

，从而

:ACBCm

。

（3）根据两圆的位置关系的判定，分别求出圆B与圆

C

相交、内切或内含的情况。

6.（上海市2007年14分）已知：60MAN∠，点B在射线AM上，4AB（如图）．P为直线

AN

上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点BPQ，，按顺时针排列），O是BPQ△的外心．

（1）当点P在射线

AN

上运动时，求证：点O在

MAN∠

的平分线上（4分）；

（2）当点P在射线

AN

上运动（点P与点A不重合）

时，

AO

与BP交于点C，设

APx

，ACAOy，

求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（5

分）；

（3）若点D在射线

AN

上，2AD，圆I为

第18页

ABD△

的内切圆．当BPQ△的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出

点A与点O的距离（5分）．

【答案】解：（1）证明：如图，连结

OBOP，

，

∵

O

是等边三角形BPQ的外心，

∴

=OBOP

，圆心角

360

120

3

BOP



。

当

OB

不垂直于AM时，作

OHAM

，

OTAN

，垂足分别为

HT，

。

由360HOTAAHOATO，且60A，90AHOATO，

∴120HOT。∴

BOHPOT

。∴

RtRtBOHPOT△≌△

。

∴

OHOT

。∴点O在

MAN

的平分线上。

当

OBAM

时，36090APOABOPOBA，即

OPAN

，

∴点O在

MAN

的平分线上。

综上所述，当点P在射线

AN

上运动时，点O在

MAN

的平分线上。

（2）如图，∵

AO

平分

MAN

，且60MAN，

∴30BAOPAO。

由（1）知，

OBOP

，120BOP，

∴30CBO，∴

CBOPAC

。

∵

BCOPCA

，∴

AOBAPC

。

∴

ABOACP△∽△

。∴

ABAO

ACAP

。∴

ACAOABAP

。

∴4yx。定义域为：

0x

。

（3）①如图1，当BP与圆I相切时，23AO；

②如图2，当BP与圆I相切时，

4

3

3

AO

；

③如图3，当BQ与圆I相切时，

0AO

。

第19页

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，相似三角形的判定和性

质，直线和圆相切的性质。

【分析】（1）分

OB

不垂直于AM和

OBAM

两种情况分别证明。

（2）由已知，证出

ABOACP△∽△

，根据相似三角形的性质即可得出

ABAO

ACAP

，从而得到y

关于x的函数解析式。由于点P在射线

AN

上运动（点P与点A不重合），所以函数的定义域为

0x

。

（3）分点P在射线

AN

上运动（点P与点A不重合），点P与点A不重合，点P在射线

AN

的反

向上运动（点P与点A不重合）三种情况分别讨论：

①当点P在射线

AN

上运动（点P与点A不重合）时，如图1，在

RtABO△

中，030BAO，

4AB，∴点A与点O的距离sin

3

423

2

AOABBAO。

②当点P与点A重合时，如图2，030BAO，

1

2

2

AB

，∴点A与点O的距离

sin

1134

43

2223

AOABBAO。

③点P在射线

AN

的反向上运动（点P与点A不重合）时，如图3，点

O

与点A重合，∴点A

与点O的距离

0AO

。

7.（上海市2008年14分）已知

24ABAD，

，90DAB，

ADBC∥

（如图）．E是射线

BC

上

的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设

BEx

，

ABM△

的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长（4分）；

A

B

M

Q

N

P

()D

I

O

图1

()PA

B

M

Q

N

D

I

O

图2

P

B

M

Q

N

D

I

O

()A

图3

第20页

（3）联结BD，交线段AM于点

N

，如果以

AND，，

为顶点的三角形与

BME△

相似，求线段BE的

长（5分）．

【答案】解：（1）取AB中点H，联结MH，

∵M为DE的中点，

∴

MHBE∥

，

1

()

2

MHBEAD。

又∵

ABBE

，∴

MHAB

。

∴

1

2ABM

SABMH

△

，得

1

2(0)

2

yxx。

（2）由已知得22(4)2DEx

。

∵以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

∴

11

22

MHABDE，即22

11

(4)2(4)2

22

xx







。

解得

4

3

x，即线段BE的长为

4

3

。

（3）由已知，以

AND，，

为顶点的三角形与

BME△

相似，又易证得

DAMEBM

。

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①

ADNBEM

；②

ADBBME

。

①当

ADNBEM

时，∵

ADBE∥

，∴

ADNDBE

。∴

DBEBEM

。

∴

DBDE

，易得

2BEAD

．得

8BE

②当

ADBBME

时，∵

ADBE∥

，∴

ADBDBE

。∴

DBEBME

。

又

BEDMEB

，∴BEDMEB△∽△。

∴

DEBE

BEEM

，即2BEEMDE，得22222

1

2(4)2(4)

2

xxx，

解得

1

2x，

2

10x（舍去）．即线段BE的长为2。

综上所述，所求线段BE的长为8或2。

【考点】梯形的中位线性质，勾股定理，两圆外切的性质，相似三角形的判定和性质。

第21页

【分析】（1）根据梯形的中位线性质，可得

11

()=4

22

MHBEADx，由90DAB可知MH是

ABM△

边AB上的高。因此，

1111

==24=2

2222ABM

ySABMHxx

△

。由于E是射线

BC

上

的动点（点E与点B不重合），从而

0x

。

（2）根据两圆外切，圆心距等于两半径之和，列方程22

11

(4)2(4)2

22

xx







解之即可。

（3）根据相似三角形的判定和性质，由于

DAMEBM

。从而只要

ADNBEM

或

ADBBME

即可。因此分此两情况讨论即可。

8.（上海市2009年14分）已知

9023ABCABBCADBCP°，，，∥，

为线段BD上的动点，

点

Q

在射线AB上，且满足

PQAD

PCAB



（如图1所示）．

（1）当2AD，且点

Q

与点B重合时（如图2所示），求线段

PC

的长（4分）；

（2）在图1中，联结AP．当

3

2

AD

，且点Q在线段AB上时，设点BQ、之间的距离为x，APQ

PBC

S

y

S

△

△

，

其中

APQ

S

△

表示APQ△的面积，

PBC

S

△

表示

PBC△

的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定

义域（5分）；

（3）当ADAB，且点

Q

在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小（5分）．

【答案】解：（1）∵

902ABCABADADBC°，，∥

，∴

ABD

为等腰直角三角形。

∴

45ABD°

。∴

45PBC°

。

∵1

PQAD

PCAB

，∴PQC为等腰直角三角形。

又∵

3BC

，∴

3

=2

2

PC。

第22页

（2）如图：添加辅助线AP，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成

APQ

S

△

，

PBC

S

△

，

高分别是,Hh，

则

113113

=222

222222APQ

SxHxHh

△

，

化简，得

3

=

4

Hh。

∴

3

=2

8APQ

Sxh

△

。

又

13

=3=

22PBC

Shh

△

，∴由APQ

PBC

S

y

S

△

△

得



3

2

11

8

==

3

42

2

xh

yx

h



。

∴y关于x的函数解析式为

117

=0

428

yxx









。

(3)假设PQ不垂直

PC

，则可以作一条直线PQ′垂直于

PC

，与AB交于Q′点，则：B，

Q′，P，

C

四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：

PQ'AD

PCAB

。又由于

PQAD

PCAB



所

以，点Q′与点Q重合，所以090QPC。

【考点】等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由等腰直角三角形的判定和性质和勾股定理可求出线段

PC

的长。

（2）由=

APQABDPQBAPQ

SSSSPAD

△△△△

求出APQ△和

PBC△

两高之间的关系

3

=

4

Hh

，即可

由APQ

PBC

S

y

S

△

△

列出y关于x的函数解析式

11

=

42

yx。

定义域：当

PC

垂直BD时，这时

=0x

，∴

0x

。

当点P运动到与D点重合时，x的取值就是最大值，连接

DC

,

作QDDC，由已知条件得：B，Q，DP，

C

四点共圆，则由圆周角

定理可以推知：QDCABD∽,∴

3

3

2

24

QDAD

DCAB

。

令34QDmDCm，,则由勾股定理得5QCm。

第23页

在tRAQD中，

222

AQADQD，即

2

22

3

23

2

xm









。

在tRQBC中，

222

QBBCQC，即2

22

35xm。

消去m，整理得：

2

644003010xx，878430xx，

得

12

743

==2

88

xx>，(舍去)。

所以函数

11

=

42

yx

11

=

42

yx的定义域为

7

0

8

x。

(3)作出一条直线PQ′垂直于

PC

，与AB交于Q′点，证明其与Q点重合即可。

9.（上海市2010年14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为

1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，

与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若

BP

1

tanD

3

，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

【答案】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°。

∵AD=AE，∴∠AED＝60°=∠CEP。∴∠EPC＝30°。

∴△BDP为等腰三角形。

∵△AEP∽△BDP，∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°。

∴AE=EP=1.

∴在Rt△ECP中，EC=

1

2

EP=

1

2

。

（2）设BD=BC=x，则AB=x＋1

∵AE=1，EC=2，∴AC=3。

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2＋BC2，

即（x＋1）2=32＋x2。

解得，x=4，即BD=BC=4。

过点D作DQ⊥AC于点Q，∵∠ACB＝90°，

第24页

∴DQ∥BC。∴△ADQ∽△ABC。

∴

ADAQDQ

ABACBC

。

∵AD=1，AB=5，AC=3，BC=4。

∴

1AQDQ

534

。∴

34

AQ=DQ=

55

，

。∴

32

QE=AEAQ=1

55

。

由DQ∥BC得，∠BPD=∠QDE，

∴

2

QE1

5

BPDQDE=

4

DQ

tn

2

aa

5

tn。

(3)设AQ=a，则QE=1－a。

过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE∽△PCE。

∴

QE11

BPDQDE=

DQ

tan

D3

an

Q

t

a

。∴DQ31a

在Rt△ADQ中，根据据勾股定理得，222ADAQDQ，

即2

22131aa





，解之得

4

1()

5

aa舍去

。

∴AQ=

4

5

，DQ=

3

5

。

∵△ADQ∽△ABC，∴

AQADDQ

ACABBC

。

∵AQ=

4

5

，AC=1＋x，AD=1，DQ=

3

5

。

∴

43

1

55

1+xABBC

，即

5533

,

xx

ABBC

44





。

∴△ABC的周长

5533

y133

4

xx

4

ABBCACxx





。

即：y33x，其中x>0。

【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含300角直角三角形的性质，勾股定理，平行的

性质，锐角三角函数定义，解方程。

【分析】（1）由已知，证出△BDP为等腰三角形。由△AEP∽△BDP证出AE=EP=1和△ECP是含300角

第25页

的直角三角形，根据300角所对边是斜边一半的性质得EC=

1

2

EP=

1

2

。

（2）Rt△ABC中，由勾股定理求得BD=BC=4。过点D作DQ⊥AC于点Q，根据相似三角形的判

定和性质证得△ADQ∽△ABC，从而得到

ADAQDQ

ABACBC

，求得

34

AQ=DQ=

55

，

，

2

QE

5

。根据平行

线内错角相等的性质和锐角三角函数定义，得到tantan

QE1

BPDQDE=

DQ2

。

（3）设AQ=a，过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE∽△PCE。根据相似三角形的性质和

BP

1

tanD

3

求得DQ31a。在Rt△ADQ中，根据据勾股定理得

4

5

a

，从而求得AQ=

4

5

，DQ=

3

5

。

由△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质得

AQADDQ

ACABBC

，从而得到

5533

,

xx

ABBC

44





，即

可求刘y关于x的函数关系式。

10.（上海市2011年14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，

直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，

12

sinEMP

13



．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函

数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的

长．

【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC=2222ABBC503040

。

∵CP⊥AB，∴△ABC∽△CPB。∴

ABAC

BCCP



，即

5040

30CP



。∴CP=24。

∴CM=

CP24

26

12

sinEMP

13





。

（2）∵

12

sinEMP

13



，∴设EP=12

a

，则EM=13

a

，PM=5

a

。

第26页

∵EM=EN，∴EN=13a，PN=5a。

∵△AEP∽△ABC，∴

PEBC

APAC



，即

1230

40

a

x



。∴x=16a，

16

x

a，∴BP=50－16a，

∴y=50－21a，=50－21·

16

x

，=50－

21

16

x。

由（1），当点E与点C重合时，AP=2222ACCP402432

，

∴函数的定义域是：0＜x＜32。

（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，AP=16a，BN=y=50－

21

165021

16

aa，

EN=EM=13a，AM=AP－MP=16a－5a=11a。

∵△AME∽△ENB，∴

AMME

ENNB



，即

1113

135021

aa

aa





。∴

11

8

a

。∴AP=16×

11

8

=22。

②当点E在BC上时，如图，设EP=12

a

，则EM=13

a

，MP=NP=5

a

，

∵△EBP∽△ABC，∴

BPEP

BCAC



，即

BP12

3040

a



。∴BP=9

a

。

∴BN=9

a

－5

a

=4

a

，AM=50－9

a

－5

a

=50－14

a

。

∵△AME∽△ENB，

AMME

ENNB



，即

501413

134

aa

aa





。

∴

8

9

a

。∴AP=50－9×

8

9

=42。

综上所述，AP的长为：22或42。

【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。

【分析】（1）根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值。

（2）根据EM＝EN，

12

sinEMP

13



，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，

即可求出

PEBC

APAC



，求出

a

的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．

（3）设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分点E在AC上和点E在BC上两种情况，根据

△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出

a

的值，得

出AP的长。