2014年江苏高考数学

1

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上

．．．．．．．．

．

（1）【2017年江苏，1，5分】已知集合

}2{1A，

，23{},Baa．若1AB，则实数a的值为_______．

【答案】1

【解析】∵集合

}2{1A，

，23{},Baa．1AB，∴1a或231a

，解得1a．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．

(2）【2017年江苏，2，5分】已知复数1i12iz,其中i是虚数单位，则z的模是_______．

【答案】

10

【解析】复数1i12i123i13iz,∴2

21310z

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

（3）【2017年江苏,3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300，100件．为

检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中

抽取_______件．

【答案】18

【解析】产品总数为2000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为

606

1000100



，则应从丙

种型号的产品中抽取

6

30018

100



件．

【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，

即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．

（4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图:若输入x的值为

1

16

，则输出y的值是_______．

【答案】2

【解析】初始值

1

16

x

，不满足1x，所以4

1

2

16

22

2log2log2y．

【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于

基础题．

（5）【2017年江苏，5，5分】若

1

tan

46













．则tan_______．

【答案】

7

5

【解析】

tantan

tan11

4

tan

4tan16

1tantan

4































,∴6tan6tan1，解得

7

tan

5



．

【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．

（6）【2017年江苏，6，5分】如如图,在圆柱

12

OO

内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相

切。记圆柱

12

OO

的体积为

1

V

,球O的体积为

2

V

，则1

2

V

V

的值是________．

【答案】

3

2

【解析】设球的半径为R，则球的体积为：3

4

3

R，圆柱的体积为：2322RRR

．则

3

1

3

2

23

4

2

3

V

R

R

V







．

【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

2

（7）【2017年江苏,7，5分】记函数2()6fxxx的定义域为D．在区间

[45]，

上随机取一个数x，则xD

的概率是________．

【答案】

5

9

【解析】由260xx

得260xx

，得23x，则

2[]3D，

,则在区间

[45]，

上随机取一个数x，则xD

的概率





32

5

549

P







．

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是

解决本题的关键．

(8）【2017年江苏，8，5分】在平面直角坐标系xoy中,双曲线

2

21

3

x

y

的右准线与它的两条渐近线分别交于

点P，

Q

，其焦点是

1

F

，

2

F

，则四边形

12

FPFQ

的面积是_______．

【答案】

23

【解析】双曲线

2

21

3

x

y的右准线：

3

2

x

,双曲线渐近线方程为：

3

3

yx

，所以

33

,

22

P









,

33

,

22

Q











，



1

2,0F．

2

2,0F．则四边形

12

FPFQ

的面积是:

1

4323

2



．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

（9)【2017年江苏，9,5分】等比数列

n

a的各项均为实数，其前n项的和为

n

S

，已知

3

7

4

S

，

6

63

4

S

，则

8

a

________．

【答案】32

【解析】设等比数列

n

a的公比为

1q

，∵

3

7

4

S

，

6

63

4

S

，∴

3

1

1

7

14

aq

q







，

6

1

1

63

14

aq

q







，

解得

1

1

4

a

，

2q

．则7

8

1

232

4

a

．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

(10）【2017年江苏，10，5分】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存

储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是________．

【答案】30

【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=

600900

6442240xx

xx



（万元）．

当且仅当30x时取等号．

【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

（11）【2017年江苏，11,5分】已知函数3

1

2x

x

fxxxe

e



,其中e是自然数对数的底数，若

2120fafa,则实数a的取值范围是________．

【答案】

1

1,

2









【解析】函数3

1

2x

x

fxxxe

e



的导数为：2

11

32220xx

xx

fxxee

ee





,可得fx在R上

递增；又3

3

1

220xxx

x

fxfxxxeexxe

e



，可得fx为奇函数，

则2120fafa，即有2211fafafa,即有221aa

，解得

1

1

2

a

．

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不

等式的解法,考查运算能力,属于中档题．

3

（12）【2017年江苏，12,5分】如图,在同一个平面内,向量

OA

，

OB

,

OC

，的模分别为1，1，

2

，

OA

与

OC

的夹角为



，且

tan7

，

OB

与

OC

的夹角为

45

。若

OCmOAnOB

(,mnR），则

mn

________．

【答案】3

【解析】如图所示，建立直角坐标系．1,0A．由

OA

与

OC

的夹角为



，且

tan7

．

∴

1

cos

52

，

7

sin

52

．∴

17

,

55

C







．

23

cos45cossin

25



．



24

sin45sincos

25



．∴

34

,

55

B









．∵

OCmOAnOB

（,mnR）,

∴

13

55

mn

，

74

0

55

n

，解得

7

4

n

，

5

4

m

．则3mn．

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（13）【2017年江苏，13，5分】在平面直角坐标系

xOy

中，

120A（-，）

，

06B（，）

，点P在圆2250Oxy：上，

若

20PAPB

,则点P的横坐标的取值范围是________．

【答案】

52,1







【解析】根据题意,设

00

,Pxy，则有22

00

50xy，

22

12,,612612620PAPBxyxyxxyyxyxy，

化为

00

126300xy

，即

00

250xy

，表示直线

250xy

以及直线下方的区域，

联立

22

00

00

50

250

xy

xy















,解可得

0

5x

或

0

1x

，由图得：点P的横坐标

0

x

的取值范围是

52,1







．

【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于

0

x

、

0

y

的关系式．

(14)【2017年江苏，14，5分】设fx是定义在R且周期为1的函数，在区间



0,1上,2,

,

xx

fx

xx













D

D

，其中

集合*

1

,

n

xxnN

n









D

，则方程lg0fxx的解的个数是_______．

【答案】8

【解析】∵在区间



0,1上，2,

,

xx

fx

xx













D

D

,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又fx是定义在R

上且周期为1的函数，∴在区间1,2上，

21,

1,

xx

fx

xx

















D

D

,此时fx的图象与

lgyx

有且只有

一个交点；同理：区间2,3上，fx的图象与

lgyx

有且只有一个交点；区间3,4上，fx的图象

与

lgyx

有且只有一个交点；区间4,5上，fx的图象与

lgyx

有且只有一个交点；区间5,6上，

fx的图象与

lgyx

有且只有一个交点；区间6,7上,fx的图象与

lgyx

有且只有一个交点；区

间7,8上，fx的图象与

lgyx

有且只有一个交点；区间8,9上，fx的图象与

lgyx

有且只有

一个交点；在区间9，上，fx的图象与

lgyx

无交点；故fx的图象与

lgyx

有8个交点；

即方程lg0fxx的解的个数是8．

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质，转化思想，难度中档．

二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内

．．．．．．．．

作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤．

（15）【2017年江苏，15,14分】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，

平面ABD平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD．

（1）//EFABC平面;

（2）ADAC．

解：

(1

）在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB//．又因为EF平面

4

ABC

，AB平面

ABC,

所以//EFABC平面．

（

2)

因为平面ABDBCD平面，平面

ABD

平面

BCDBD

，

BC平面

BCD,BCBD,

所以BC平面ABD．因为AD平面ABD，所以BCAD．又ABAD，

BCABB

，AB平面

ABC

，BC平面

ABC

，所以AD平面

ABC

,

又因为

AC

平面

ABC

，所以

ADAC

．

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理,线面

垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．

(16）【2017年江苏，16，14分】已知向量cossinxxa，，3,3b

，0,x．

(1）若

//ab

，求x的值;

（2）记fxab，求fx的最大值和最小值以及对应的x的值．

解

:

（

1)

因为

co()s,sinxxa

，

(3,3)b

，

//ab

，所以

3cos3sinxx

．若cos0x,

则sin0x，

与22sincos1xx

矛盾，故cos0x．于是

3

tan

3

x

．又0,x

，所以

5π

6

x

．

（

2)

π

(cos,sin)(3,3)3cos3sin23cos(())

6

fxxxxxxab

．

因为

0,x

，所以

ππ7π

[,]

666

x

，从而

π3

1cos()

62

x

．于是

,

当

ππ

66

x

，即0x时，

fx

取

到最大值

3

；当

π

6

x

,

即

5π

6

x

时

,fx

取到最小值

23

．

【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．

（17）【2017年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系

xOy

中，椭圆1

22

22

xy

+=ab

ab

:0E

的左、

右焦点分别为F

1

,

2

F

,离心率为

1

2

，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一

象限，过点F

1

作直线

1

PF

的垂线

1

l

,过点

2

F

作直线

2

PF

的垂线

2

l

．

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若直线l

1

，l

2

的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标，

解

:

（

1

）设椭圆的半焦距为

c

．因为椭圆

E

的离心率为

1

2

,

两准线之间的距离为

8

，所以

1

2

c

a



，

22

8

a

c



，解得

2,1ac

，于是223bac

，因此椭圆

E

的标准方程是

22

1

43

xy



．

（

2

）解法一：

由

(1)

知，

1

(1,0)F

,

2

(1,0)F

．设

00

(,)Pxy

，因为点P为第一象限的点，故

00

0,0xy

．

当

0

1x

时，

2

l

与

1

l

相交于

1

F

,

与题设不符．

当

0

1x

时，直线

1

PF

的斜率为0

0

1

y

x

,

直线

2

PF

的斜率为0

0

1

y

x

．因为

11

lPF⊥

，

22

lPF⊥

，所以直线

1

l

的斜

率为0

0

1x

y



，直线

2

l

的斜率为0

0

1x

y





，从而直线

1

l

的方程：0

0

1

(1)

x

yx

y





，

①

直线

2

l

的方程

:0

0

1

(1)

x

yx

y





．

②

由

①②

，解得

2

0

0

0

1

,

x

xxy

y





，所以

2

0

0

0

1

(,)

x

Qx

y





．

因为点

Q

在椭圆上，由对称性，得

2

0

0

0

1x

y

y





，即22

00

1xy

或22

00

1xy

．

又P在椭圆

E

上，故

22

001

43

xy



．由

22

00

22

00

1

1

43

xy

xy















，解得

00

4737

,

77

xy

；

5

22

00

22

00

1

1

43

xy

xy















,

无解．因此点

P

的坐标为

4737

(,)

77

．

解法二：

设,Pmn，由P在第一象限，则0m，0n，

当1m时，

2

PF

k

不存在，解得：

Q

与

1

F

重合，不满足题意,

当1m时,

21PF

n

k

m





，

11PF

n

k

m





,由

11

lPF

,

22

lPF

，则

1

1

l

m

k

n





，

2

1

l

m

k

n





，

直线

1

l

的方程

1

1

m

yx

n





，①直线

2

l

的方程

1

1

m

yx

n





，②

联立解得：xm，则

21

,

m

Qm

n











，由

Q

在椭圆方程，由对称性可得：

2

2

1m

n

n





,即221mn

，

或221mn，由,Pmn（），在椭圆方程，

22

22

1

1

43

mn

mn















，解得：

2

2

16

7

9

7

m

n



















，或

22

22

1

1

43

mn

mn















,无解，

又P在第一象限，所以P的坐标为：

4737

,

77

P









．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计

算能力，属于中档题．

(18）【2017年江苏，18,16分】如如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和

正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的

长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，

11

EG

的长分别为14cm

和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有

一根玻璃棒l，其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱

1

CC

上，

求l没入水中部分的长度;

(2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG

1

上，求l没入水中部分的长度．

解：

(1)

由正棱柱的定义，

1

CC⊥

平面ABCD，所以平面

11

AACC⊥

平面ABCD，

1

CCAC⊥

．

记玻璃棒的另一端落在

1

CC

上点M处．因为

107,40ACAM

，所以2240(107)30MC

，

从而

3

sin

4

MAC∠

，记AM与水面的焦点为

1

P

，过

1

P

作

11

PQAC,

1

Q

为垂足

,

则

11

PQ

平面

ABCD

，故

11

12PQ,

从而11

1

16

sin

AP

M

PQ

AC



∠

．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

(2

）如图

,O

，

O

1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，

1

OO

平面

EFGH

，所以平面

11

EEGG

平面

EFGH

，

1

OOEG

．同理

,

平面

11

EEGG

平面

1111

EFGH

，

111

OOEG

．记玻璃棒的另一端落在

1

GG

上点

N

处．过

G

作

1

GKEG

，

K

为垂足，则

1

32GKOO

．因为

14EG,

11

62EG

，

所以

1

6214

24

2

KG





，从而2222

11

243240GGKGGK．

设

1

,EGGENG∠∠

，则

11

4

sinsin()cos

25

KGGKGG



∠∠

．

因为

2







，所以

3

cos

5



．在

ENG△

中

,

由正弦定理可得

4014

sinsin



，

解得

7

sin

25



．因为

0

2







，所以

24

cos

25



．

6

于是

42473

sinsin()sin()sinco

3

scossin()

5252555

NEG∠

．

记

EN

与水面的交点为

P

2，过

P

2作

22

PQEG

，

Q

2为垂足，则

22

PQ

平面

EFGH,

故

22

12PQ

，

从而22

2

20

sinNE

PQ

EP

G



∠

．

∴

玻璃棒

l

没入水中部分的长度为

20cm

．

【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题．

（19）【2017年江苏，19,16分】对于给定的正整数

k

，若数列

n

a满足

111nknknn

aaaa





﹣﹣﹣1nk

a





﹣

2

nkn

aka





对任意正整数nnk总成立,则称数列

n

a是“Pk数列"．

（1）证明：等差数列

n

a是“3P数列”；

(2）若数列

n

a既是“2P数列”，又是“3P数列”，证明:

n

a是等差数列．

解：（

1

）因为

n

a

是等差数列，设其公差为d,

则

1

(1)

n

aand

，

从而，当n4时，

nknk

aaa





11

(1)(1)nkdankd

1

22(1)2

n

anda

，

1,2,3,k

所以

nnnnnnn

aaaaaaa





321123

+++6

，因此等差数列

n

a

是

“P3

数列

”

．

（

2

）数列

n

a

既是

“P2

数列

”

，又是

“P3

数列

”,

因此，

当3n时，

nnnnn

aaaaa





2112

4

，

①

当4n时，

nnnnnnn

aaaaaaa





321123

6

．

②

由

①

知，

nnn

aaa





321

4

1

()

nn

aa





,③

nnn

aaa





231

4

1

()

nn

aa





，

④

将

③④

代入

②,

得

nnn

aaa





11

2

，其中4n，所以

345

,,,aaa

是等差数列，设其公差为d'．

在

①

中

,

取4n，则

23564

4aaaaa

，所以

23

aad'

，

在

①

中，取3n，则

12453

4aaaaa

，所以

12

2aad'

，所以数列

{}

n

a

是等差数列．

【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．

(20)【2017年江苏，20,16分】已知函数3210,fxxaxbxabR

有极值,且导函数fx



的极值

点是fx的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．

(1)求b关于

a

的函数关系式，并写出定义域;

（2)证明：23ba

；

(3)若fx，fx



这两个函数的所有极值之和不小于

7

2



，求a的取值范围．

解：（1）由32()1fxxaxbx

，得

2

22()323()

33

aa

fxxaxbxb



．当

3

a

x

时,

()fx



有极小值

2

3

a

b．

因为

()fx



的极值点是

()fx

的零点．所以

33

()10

32793

aaaab

f，又0a，故

223

9

a

b

a

．

因为

()fx

有极值，故=0fx



有实根,从而

2

3

1

(27a)0

39

a

b

a

，即3a．

3a时,

()>0(1)fxx





,故

()fx

在R上是增函数，

()fx

没有极值；

3a时，

()=0fx



有两个相异的实根

2

1

3

=

3

aab

x



,

2

2

3

=

3

aab

x



．

列表如下：

x

1

(,)x

1

x

12

(,)xx

2

x

2

(,)x

()fx



+0–0+

()fx

极大值极小值

故

()fx

的极值点是

12

,xx

．从而3a，因此

223

9

a

b

a

,定义域为

(3,)

．

（2）由(1）知，

23

=

9

baa

aaa

．设

23

()=

9

t

gt

t



，则

2

22

23227

()=

99

t

gt

tt





．

当

36

(,)

2

t

时，

()0gt





，从而

()gt

在

36

(,)

2



上单调递增．

7

因为3a，所以

33aa

,故

()>(33)=3gaag

，即

>3

b

a

．因此2>3ba

．

（3)由（1)知，

()fx

的极值点是

12

,xx

,且

12

2

3

xxa

，

2

22

12

46

9

ab

xx



．

从而3232

12111222

()()11fxfxxaxbxxaxbx

2222

12

11221212

12

(32)(32)()()2

3333

xx

xaxbxaxbaxxbxx

3464

20

279

aabab



记

()fx

，

()fx



所有极值之和为

()ha

，因为

()fx



的极值为

2

2

13

39

a

ba

a

，所以2

13

()=

9

haa

a



，3a．

因为

2

23

()=0

9

haa

a





，于是

()ha

在

(3,)

上单调递减．因为

7

(6)=

2

h

，于是

()(6)hah

,故6a．

因此a的取值范围为

(36]，

．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想，注意解题方法的积累,

属于难题．

数学Ⅱ

21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题

．．．．．．

，并在相应的答题区域内作答

．．．．．．．．．．．．

，若多做，则按作答

的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(21-A）【2017年江苏，21-A，10分】(选修4—1：几何证明选讲）如图，AB为半圆O的直径，

直线PC切半圆O于点C,APPC,P为垂足．

求证：(1）PACCAB；

(2）2·ACAPAB

。

解：（1）因为PC切半圆O于点C,所以PCACBA∠∠，因为AB为半圆O的直径，

所以90ACB∠，因为

AP

⊥

PC

，所以90APC∠，所以PACCAB．

（

2)

由（

1

）知

APCACB△∽△

，故

APAC

ACAB



，所以2·ACAPAB

．

【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能

力与计算能力,属于中档题．

（21—B）【2017年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵

01

10

A









,

10

02

B









．

(1)求AB；

（2）若曲线C

1;

22y

=1

82

x



在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线

2

C，求

2

C

的方程．

解

:(1

）因为

01

10

A









，

10

02

B









，所以

011002

100210

AB









．

（

2)

设

00

(,)Qxy

为曲线

1

C

上的任意一点，它在矩阵

AB

对应的变换作用下变为

(,)Pxy

，

则0

0

02

10

x

x

y

y



























，即0

0

2yx

xy











,

所以

0

02

xy

x

y















．因为

00

(,)Qxy

在曲线

1

C

上，所以

22

001

88

xy

，

从而

22

1

88

xy



，即228xy

．因此曲线

1

C

在矩阵

AB

对应的变换作用下得到曲线

2

C：228xy

．

【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．

（21-C）【2017年江苏，21—C，10分】（选修4—4:坐标系与参数方程）在平面坐标系中

xOy

中，已知直线l的

参考方程为

8

2

xt

t

y















（t为参数）,曲线C的参数方程为

22

22

xs

ys















（

s

为参数）。设p为曲线C上的动点，

求点P到直线l的距离的最小值．

解：直线l的普通方程为

280xy

．因为点P在曲线C上，设2(2,22)Pss

,

8

从而点P到直线l的的距离

22

22

|2428|2(2)4

5

(1)(2)

sss

d







，当

2s

时，

min

45

5

d

．

因此当点P的坐标为4,4时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值

45

5

．

【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题．

（21—D）【2017年江苏，21—D】（本小题满分10分）（选修4-5:不等式选讲)已知,,,abcd为实数，且224ab

，

2216cd

，证明

8acbd

．

解

:

由柯西不等式可得：22222()()()acbdabcd,

因为22224,16,abcd所以2()64acbd

，

因此8acbd．

【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【必做题】第22、23题，每小题10分,计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内

．．．．．．．．．．．

．

(22）【2017年江苏，22，10分】如图，在平行六面体

1111

ABCDABCD

中，

1

AA

平面

ABCD

，

且2ABAD，

1

3AA

，120BAD．

(1)求异面直线

1

AB

与

1

AC

所成角的余弦值；

（2)求二面角

1

BADA

的正弦值．

解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E．因为

1

AA

平面ABCD,

所以

1

AAAE，

1

AAAD

．如图,以1,,AEADAA

为正交基底，建立空间直角坐标系

Axyz

．

2ABAD，

1

3AA

，120BAD．则

11

(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)ABDEAC

．

（1）

11

(3,1,3),(3,1,3)ABAC

，

则11

11

11

(3,1,3)(3,1,3)1

cos,

77

||||

ABAC

ABAC

ABAC







．

因此异面直线A

1

B与AC

1

所成角的余弦值为

1

7

．

(2）平面

1

ADA

的一个法向量为

(3,0,0)AE

．设

(,,)xyzm

为平面

1

BAD

的一个法向量，

又

1

(3,1,3),(3,3,0)ABBD

，则1

0,

0,

AB

BD















m

m

即

330,

330.

xyz

xy















不妨取3x，则

3,2yz

,所以

(3,3,2)m

为平面

1

BAD

的一个法向量，

从而

(3,0,0)(3,3,2)3

cos,

4

||||

34

AE

AE

AE







m

m

m

，设二面角

1

BADA

的大小为，则

3

|cos|

4



．

因为

[0,]

,所以2

7

sin1cos

4



．因此二面角

1

BADA

的正弦值为

7

4

，

【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角,是中档题．

（23）【2017年江苏,23，10分】已知一个口袋有

m

个白球，

n

个黑球（2,mnN

，2n）,这些球除颜色外全部

相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为123mn，，，，的抽屉内，其中第k次

取球放入编号为k的抽屉（123kmn，，，，)．

123mn

（1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

(2）随机变量

x

表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,Ex是

x

的数学期望,证明



1

n

Ex

mnn





．

解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为:

1

1

C

C

n

mn

n

mn

n

p

mn











．

（2)随机变量X的概率分布为：

9

X

1

n

1

1n

1

2n

…

1

k

…

1

mn

P

1

1

C

C

n

n

n

mn







1C

C

n

n

n

mn





1

1

C

C

n

n

n

mn







…

1

1

C

C

n

k

n

mn







…

1

1

C

C

n

nm

n

mn







随机变量X的期望为：

1

1

C

111(1)!

()

CC(1)!()!

n

mnmn

k

nn

knkn

mnmn

k

EX

kknkn

















．

所以

1(2)!1(2)!

()

C(1)!()!(1)C(2)!()!

mnmn

nn

knkn

mnmn

kk

EX

nknnnkn















222

12

1

(1CCC)

(1)C

nnn

nnmn

n

mn

n











1222

112

1

(CCCC)

(1)C

nnnn

nnnmn

n

mn

n











122

2

1

(CCC)

(1)C

nnn

nnmn

n

mn

n











12

22

1

(CC)

(1)C

nn

mnmn

n

mn

n











1

1

C

(1)C()(1)

n

mn

n

mn

n

nmnn











()

()(1)

n

EX

mnn





．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算

求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．