高考数学模拟题

理科数学试题第1页（共4页）

2016年高考模拟数学试题（全国新课标卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分

钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．i为虚数单位,复数

i

i





1

3

=

A．i2B．i2C．2iD．2i

2．等边三角形ABC的边长为1，如果,,,BCaCAbABc

uuurruuurruuurr

那么abbcca

rrrrrr

等于

A．

3

2

B．

3

2

C．

1

2

D．

1

2



3．已知集合

}4|4||{2xxZxA

，

}

8

1

2

1

|{

















y

NyB

，记Acard为集合A的元素

个数，则下列说法不正确

．．．

的是

A．5cardAB．3cardBC．2)card(BAD．5)card(BA

4．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧

视图的面积为

A．63

B．8

C．83

D．12

5．过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于点

1122

,,,PxyQxy两点，若

12

6xx，

则PQ中点M到抛物线准线的距离为

A．5B．4C．3D．2

6．下列说法正确的是

A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

D．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个

发生的概率小

7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为

A．

1030020

(())axaxaax的值

B．

3020100

(())axaxaax的值

C．

0010230

(())axaxaax的值

D．

2000310

(())axaxaax的值

输入

开始

01230

,,,,aaaax

3

3,kSa

输出S

结束

0k

0k

SaSx

1kk

否

是

理科数学试题第2页（共4页）

8．若(9x－

1

3x

)n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为

A．252B．－252C．84D．－84

9．若S

1

＝





1

2

1

x

dx，S

2

＝





1

2(lnx＋1)dx，S

3

＝





1

2xdx，则S

1

，S

2

，S

3

的大小关系为

A．S

1

＜S

2

＜S

3

B．S

2

＜S

1

＜S

3

C．S

1

＜S

3

＜S

2

D．S

3

＜S

1

＜S

2

10．在平面直角坐标系中,双曲线

22

1

124

xy

的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的

直线l与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为

83

，则直线l的斜率为

A．

13

132

B．

2

1

C．

4

1

D．

7

7

11．已知三个正数a，b，c满足acba3，225)(3bcaab

，则以下四个命题正确

的是

p

1

：对任意满足条件的a、b、c，均有b≤c；p

2

：存在一组实数a、b、c，使得b>c；

p

3

：对任意满足条件的a、b、c，均有6b≤4a+c；p

4

：存在一组实数a、b、c，使得6b>4a+c.

A．p

1

，p

3

B．p

1

，p

4

C．p

2

，p

3

D．p

2

，p

4

12．四次多项式)(xf的四个实根构成公差为2的等差数列，则()fx



的所有根中最大根与

最小根之差是

A．2B．23C．4D．

52

理科数学试题第3页（共4页）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，

第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.

13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．

x24568

y304060t70

根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y

^

＝6.5x＋17.5，则表中t的值

为．

14．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，

π

2

]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的

取值集合为．

15．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则

棱锥S-ABC的体积为．

16．等比数列{a

n

}中，首项a

1

＝2，公比q＝3，a

n

＋a

n＋1

＋…＋a

m

＝720(m，n∈N*，m＞n)，

则m＋n＝．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：

（1）coscosbCcBa；

（2）

22sin

coscos

2

C

AB

abc







.

18．（本小题满分12分）

直三棱柱

111

CBAABC的所有棱长都为2，D为CC

1

中点．

（1）求证：直线BDAAB

11

平面；

（2）求二面角BDAA

1

的大小正弦值；

19．（本小题满分12分）

对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：

日车流量x50x

105x1510x2015x

2520x

25x

频率

0.050.250.350.250.100

将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量

低于5万辆的概率；

（2）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期

望．

理科数学试题第4页（共4页）

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的焦距为2且过点)

2

3

,1(．

（1）求椭圆C的标准方程；

（

2

）若椭圆

C

的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点

12

,FF

，求该平行四边形面

积的最大值．

21．（本小题满分12分）

设函数xcbxaxxfln)(2，（其中cba,,为实常数）

（1）当1,0cb时，讨论)(xf的单调区间；

（2）曲线)(xfy（其中0a）在点))1(f1(，处的切线方程为33xy，

（ⅰ）若函数)(xf无极值点且)('xf存在零点，求cba,,的值；

（ⅱ）若函数)(xf有两个极值点，证明)(xf的极小值小于

4

3

－.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD，作

BCAC，与该圆交于点D，若

23AC

，2CD.

（1）求圆O的半径；

（2）若点E为AB中点，求证,,OED三点共线.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系xOy中，曲线

1

C的参数方程为

22cos

()

sin2

x

y

















是参数

，以原点O为极

点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

2

C的极坐标方程为

1

sincos









.

（1）求曲线

1

C的普通方程和曲线

2

C的直角坐标方程；

（2）求曲线

1

C上的任意一点P到曲线

2

C的最小距离，并求出此时点P的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

设函数()|2|fxxaa.

（1）若不等式()6fx≤的解集为{|23}xx≤≤，求实数

a

的值；

（2）在（1）条件下，若存在实数

n

，使得()()fnmfn≤恒成立，求实数

m

的取值范围.

理科数学试题第5页（共4页）

2016年高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案

一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分。

1-12BDAABBCCABCD

二、填空题：

13.5014.{

1

3

，

2

3

，1}15.

43

3

16.9

三、解答题:

17.证法一：（余弦定理法）

（1）

22222222

coscos

222

abcacba

bCcBbca

abaca





（2）

222222

223223222

coscos

22

2

2()2

acbbca

AB

acbc

abab

abacaabbcbababc

abcababc

















222

2

2221

2sin

1cos2

2

2

2

acb

C

Cababc

ac

cccabc







，所以等式成立

证法二：（正弦定理法）

（1）在ABC中由正弦定理得2sin,2sinbRBcRC，所以

coscos2sincos2sincos

2sin()2sin

bCcBRBCRCB

RBCRAa





（2）由（1）知coscosbCcBa，同理有coscosaCcAb

所以coscoscoscosbCcBaCcAab

即2(coscos)()(1cos)()2sin

2

C

cBAabCab

所以

22sin

coscos

2

C

AB

abc







18.解：（1）取BC中点O，连结AO．

ABC为正三角形，BCAO

111

CBAABC直棱柱

11

BBCCABC平面平面且相交于BC

11

BBCCAO平面

取

11

CB中点

1

O，则

11

//BBOOBCOO

1

以O为原点，如图建立空间直角坐标系xyzO，

理科数学试题第6页（共4页）

则)0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,1

11

CBAADB

3,2,1,0,1,2,3,2,1

11

BABDAB

0,0

111

BAABBDAB，

111

,BAABBDAB．



1

AB平面

1

ABD．

（2）设平面ADA

1

的法向量为zyxn,,．0,2,0,3,1,1

1

AAAD．

,,

1

AAnADn













02

03

y

zyx

令1z得1,0,3n为平面ADA

1

的一个法向量．

由（1）3,2,1

1

AB为平面

1

ABD的法向量．

4

6

,cos

1

ABn．

所以二面角BDAA

1

的大小的正弦值为

4

10

．

19.解：（Ⅰ）设A

1

表示事件“日车流量不低于10万辆”，A

2

表示事件“日车流量低于5

万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流

量低于5万辆”．则

P(A

1

)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，

P(A

2

)＝0.05，

所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049

（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

027.0)7.01()0(30

3

CXP

，

189.0)7.01(7.0)1(21

3

CXP

，

441.0)7.01(7.0)2(22

3

CXP

，

343.07.0)3(33

3

CXP

.

X的分布列为

X0123

P0.0270.1890.4410.343

因为X～B(3，0.7)，所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1.

理科数学试题第7页（共4页）

20.解：（1）由已知可得















，1

4

91

,222

22

22

ba

bac

解得a2＝4，b2＝3，

所以椭圆C的标准方程是1

34

2

2



y

x

.

（

2

）由已知得：

12

2FF

，由于四边形

ABCD

是椭圆的内接四边形，

所以原点

O

是其对称中心，且

12

2

ABCD

ABFF

SS

Y四边形



1211212

22

AFFAFBAFFBFF

SSSS





12

2

ABAD

FFyyyy

，

当直线

AD

的斜率存在时，设其方程为1ykx

，

代入椭圆方程，整理得：2222344120kxkxk

，

由韦达定理得：

22

22

8412

,

3434ADAD

kk

xxxx

kk







，

∴





22

222

22

2

2

1441

4

34ADADADAD

kk

yykxxkxxxx

k











，

∴





22

2

22

22

1441

89

22616

3434ABCDAD

kk

k

Syy

kk









Y，

当直线

AD

的斜率不存在时，易得：

33

1,,1,

22

AD









，∴

26

ABCDAD

Syy

Y，

综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是

6

．

21.解：（1）当1,0cb时

x

ax

x

axxf

121

2)('

2

，)0(x………1分

当0a时，

0)('xf很成立，)(xf在),0(上是增函数；………2分

当0a时，令

0)('xf得

a

x

2

1

或

a

x

2

1



（舍）………3分

令

0)('xf得

a

x

2

1

0

；令0)('xf得

a

x

2

1



)(xf在上)

2

1

,0(

a

是增函数，在

),

2

1

(

a

上是减函数………4分

G

O

D

C

B

A

F

1

F

2

y

x

理科数学试题第8页（共4页）

(2)(i)

x

c

baxxf2)('由题得











3)1('

0)1(

f

f

，

即











32

0

cba

ba













ac

ab

3

．

则xaaxaxxfln)3()(2，

x

aaxax

x

a

aaxxf









323

2)('

2

（ⅰ）由

)(xf无极值点且)('xf存在零点，得0)3(82aaa

)0(a

解得

3

8

a，于是

3

8

b，

3

1

c．

（ⅱ）由(i)知)0(

32

)('

2





x

x

aaxax

xf，要使函数)(xf有两个极值点，只要方

程0322aaxax有两个不等正根，

设两正根为

21

,xx，且

21

xx，可知当

2

xx时有极小值)(

2

xf．其中这里,

4

1

0

1

x由

于对称轴为

4

1

x，所以

2

1

x

4

1

2

，

且

032

2

2

2

aaxax，得

12

3

2

2

2







xx

a

【也可用以下解法：由(Ⅱ)知)0(

32

)('

2





x

x

aaxax

xf，要使函数)(xf有两个极

值点，只要方程0322aaxax有两个不等正根，

那么实数a应满足

























0

)2(2

03

0)3(82

a

a

a

aaa

，解得3

3

8

a，

aa

aaaa

x

24

9

4

1

4

1

4

)3(82

2







3

3

8

a

1

24

90

a

即

2

1

x

4

1

2

】

所以有

22

2

22

ln)3()(xaaxaxxf

理科数学试题第9页（共4页）

12

)ln(3

ln3ln3)ln(

2

2

2

22

2

2

2222

2

2





xx

xxx

xxxxxa

)

2

1

x

4

1

(

2



而

2

2

2

2

22

2

22

2)12(

)ln)(14(3

)('







xx

xxxx

xf，

记xxxxgln)(2，)1

4

1

(x，

有0

)1)(12(

)('





x

xx

xg对]1,

4

1

(x恒成立，

又0)1(g，故对)

2

1

,

4

1

(x恒有)1()(gxg，即0)(xg．

0)('

2

xf对于

2

1

x

4

1

2

恒成立即)(

2

xf在











2

1

,

4

1

上单调递增，

故

4

3

)

2

1

()(f

2

fx．

22．解：(1)取BD中点为F，连结

OF

，由题意知，

//OFAC

，

OFAC

ACQ

为圆

O

的切线，

BC

为割线

2CACDCB

，由23,2ACCD，

6,4,2BCBDBF

在

RtOBF

中，由勾股定理得，224rOBOFBF.

(2)由(1)知，//,OABDOABD

所以四边形

OADB

为平行四边形，又因为E为AB的中点，

所以

OD

与AB交于点E，所以

,,OED

三点共线.

23.解：(1)由题意知，

1

C的普通方程为22(1)1xy

2

C的直角坐标方程为

1yx

.

(2)设(1cos2,sin2)P，则P到

2

C的距离

2

|22cos(2)|

24

d



，当

cos(2)1

4



，即

3

22()

4

kkZ



时，

d

取最小值21，

此时P点坐标为

22

(1,)

22

.

24.解：(1)由()6fx，得626(6)axaaa，即其解集为{|33}xax，由题意

知

()6fx

的解集为

{|23}xx

，所以

1a

.

(2)原不等式等价于，存在实数n，使得()()|12||12|2mfnfnnn恒成立，

即

min

|12||12|2mnn，而由绝对值三角不等式，|12||12|2nn，

从而实数

4m

.