2011安徽高考数学

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第

3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟:

考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条

形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座

位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上

．．．．

书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡

．．．

规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必

须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效

．．．．．．．．．

，在试题卷

．．．．

、草稿纸上答题无效

．．．．．．．．

。

考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

椎体体积

1

3

VSh，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高.

若

1

1

1n

i

yy

n



（x

1

，y

1

），（x

2

，y

2

）…，（x

n

，y

n

）为样本点，

ˆ

ybxa为回归直线，则

1

1

1n

i

xx

n



，

1

1

1n

i

yy

n









1111

11

2

22

1

11

nn

ii

nn

i

ii

xyyyxynxy

b

xxxnx

aybx















，aybx

说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

（1）设

i

是虚数单位，复数

ai

i





为纯虚数，则实数a为

（A）2（B）2（C）







（D）





（2）集合,,,,,U，,,S,,,T,则)(TCS

U

等于

（A）,,,（B）,（C）（D）,,,,

（3）双曲线xy的实轴长是

（A）2（B）（C）4（D）4

（4）若直线xya过圆xyxy的圆心,则a的值为

（A）1（B）1（C）3（D）3

（5）若点（a,b）在lgyx图像上，

a

,则下列点也在此图像上的是

（A）（

a



，b）（B）（10a,1



b）（C）（

a



,b+1）（D）（a2,2b）

（6）设变量x,y满足

,xy1

xy1

x

















,则xy的最大值和最小值分别为

（A）1，1（B）2，2（C）1，2（D）2，1

（7）若数列

n

a的通项公式是

1021

),23()1(aaanan

n

则

（A）15（B）12

（C）（D）



（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（A）48

（B）32+8

（C）48+8

（D）80

（9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等

于

（A）





（B）





（C）





（D）





（10）函数2)1()(xaxxfn在区间〔0,1〕

上的图像如图所示，则n可能是

（A）1（B）2

（C）3（D）4

第II卷（非选择题共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效

．．．．．．．．．．．．．．．．．

.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）设()fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，()fx=22xx，则(1)f.

（12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是.

（13）函数

2

1

6

y

xx





的定义域是.

（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=-6，且a=1，b=2，

则a与b的夹角为.

（15）设()fx=

sin2cos2axbx

，其中a，bR，ab0，若

()()

6

fxf



对一切则xR恒成立，则

①

11

()0

12

f





②

7

()

10

f



＜()

5

f



③()fx既不是奇函数也不是偶函数

④()fx的单调递增区间是

2

,()

63

kkkZ













⑤存在经过点（a，b）的直线与函数()fx的图像不相交

以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在

答题卡的制定区域内.

（16）（本小题满分13分）

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，

求边BC上的高.

（17）（本小题满分13分）

设直线.02,,1:,1:

21212211

kkkkxkylxkyl满足其中实数

（I）证明

1

l与

2

l相交；

（II）证明

1

l与

2

l的交点在椭圆222x+y=1上.

（18）（本小题满分13分）

设

21

)(

ax

e

xf

x



，其中a为正实数.

（Ⅰ）当

3

4

a时，求()fx的极值点；

（Ⅱ）若()fx为

R

上的单调函数，求a的取值范围.

（19）（本小题满分13分）

如图，

ABEDFC

为多面体，平面

ABED

与平面

ACFD

垂直，点

O

在线段

AD

上，

1OA

，

2OD

，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线

BCEF∥

；

（Ⅱ）求棱锥

FOBED

的体积.

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

20082010

需求量（万吨）

236246257276286

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ybxa;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

（21）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入n个实数，使得这

2n

个数构成递增的等比数列，将这

2n

个数

的乘积记作

n

T，再令

,

lg

nn

aT1n≥

.

（Ⅰ）求数列{}

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设

1

tantan,

nnn

baa



求数列{}

n

b的前n项和

n

S.

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

（1）A（2）B（3）C（4）B（5）D（6）B（7）A（8）C（9）D（10）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.

（1）－3（12）15（13）（－3，2）（14）

3



（15）①，③

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）（本小题满分13分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定

理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求和能力.

解：由ACBCB和0)cos(21，得

.

2

3

sin,

2

1

cos,0cos21AAA

再由正弦定理，得.

2

2sin

sin

a

Ab

B

.

2

2

sin1cos,

2

,,BBBBABab从而不是最大角所以知由



由上述结果知).

2

1

2

3

(

2

2

)sin(sinBAC

设边BC上的高为h，则有.

2

13

sin



Cbh

（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线

上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.

证明：（I）反证法，假设是l

1

与l

2

不相交，则l

1

与l

2

平行，有k

1

=k

2

，代入k

1

k

2

+2=0，得

.022

1

k

此与k

1

为实数的事实相矛盾.从而

2121

,llkk与即相交.

（II）（方法一）由方程组











1

1

2

1

xky

xky

解得交点P的坐标),(yx为

























.

,

2

12

12

12

kk

kk

y

kk

x

而

.1

4

4

2

28

)()

2

(22

2

2

2

1

2

2

2

1

21

2

1

2

2

21

2

1

2

2

2

12

12

2

12

22























kk

kk

kkkk

kkkk

kk

kk

kk

yx

此即表明交点.12),(22上在椭圆yxyxP

（方法二）交点P的坐标),(yx满足

.02

11

,02

.

1

,

1

.0

1

1

21

2

1

2

1













































x

y

x

y

kk

x

y

k

x

y

k

x

xky

xky

得代入

从而故知

整理后，得,1222yx

所以交点P在椭圆.1222上yx

（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间

的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

解：对)(xf求导得.

)1(

1

)(

22

2

ax

axax

exfx









①

（I）当

3

4

a，若.

2

1

,

2

3

,0384,0)(

21

2



xxxxxf解得则

综合①,可知

所以,

2

3

1

x是极小值点,

2

1

2

x是极大值点.

x

)

2

1

,(

2

1

)

2

3

,

2

1

(

2

3

),

2

3

(

)(xf



+0

－

0+

)(xf

↗

极大值

↘

极小值

↗

（II）若)(xf为R上的单调函数，则)(xf



在R上不变号，结合①与条件a>0，知

0122axax

在R上恒成立，因此,0)1(4442aaaa由此并结合

0a

，知

.10a

（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空

间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

OB∥DE

2

1

，OG=OD=2，

同理，设

G



是线段DA与FC延长线的交点，有

.2



ODGO

又由于G和

G



都在线段DA的延长线上，所以G与

G



重合.

在△GED和△GFD中，由

OB

∥DE

2

1

和OC∥

DF

2

1

，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以

BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

（II）解：由OB=1，OE=2，

2

3

,60

EOB

SEOB知，而△OED是边长为2的正三角形，

故.3

OED

S

所以.

2

33



OEDEOBOEFD

SSS

过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，

且FQ=3，所以

.

2

3

3

1



OBEDOBEDF

SFQV

（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，

数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.

解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，

为此对数据预处理如下：

年份—2006－4－2

024

需求量—257－21－11

01929

=

===

对预处理后的数据，容易算得

.2.3

,5.6

40

260

4224

294192)11()2()21()4(

,2.3,0

2222













xbya

b

yx

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

,2.3)2006(5.6)2006(257



xaxby

即.2.260)2006(5.6



xy①

（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

2.2992.26065.62.260)20062012(5.6（万吨）≈300（万吨）.

21．（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基

本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I）设

221

,,,

n

lll构成等比数列，其中,100,1

21



n

tt则

,

2121



nnn

ttttT①

,

1221

ttttT

nnn





②

①×②并利用得),21(102

2131





nitttt

nin

.1,2lg,10)()()()()2(2

12211221

2



nnTattttttttT

nn

n

nnnnn



（II）由题意和（I）中计算结果，知.1),3tan()2tan(nnnb

n

另一方面，利用,

tan)1tan(1

tan)1tan(

))1tan((1tan

kk

kk

kk







得.1

1tan

tan)1tan(

tan)1tan(





kk

kk

所以





2

31

tan)1tan(

n

k

n

k

kn

kkbS

.

1tan

3tan)3tan(

)1

1tan

tan)1tan(

(

2

3

n

n

kkn

k













