1
2013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版
一、选择题
1、在复平面内,复数
2
1
i
z
i
(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析与答案】
2
1
1
i
zi
i
,1zi。
故选D
【相关知识点】复数的运算
2、已知全集为R,集合
1
1
2
x
Ax
,2|680Bxxx,则
R
ACB()
A.|0xxB.
C.|024xxx或D.|024xxx或
【解析与答案】0,A,2,4B,0,24,
R
ACB。
故选C
【相关知识点】不等式的求解,集合的运算
3、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定
范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A.pqB.pqC.pq
【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”
即:“甲或乙没有降落在指定范围内”。
故选A。
【相关知识点】命题及逻辑连接词
4、将函数3cossinyxxxR的图像向左平移0mm个长度单位后,所得到的图像关于y轴对
称,则m的最小值是()
A.
12
B.
6
C.
3
D.
5
6
【解析与答案】2cos
6
yx
的图像向左平移0mm个长度单位后变成2cos
6
yxm
,
所以m的最小值是
6
。故选B。
【相关知识点】三角函数图象及其变换
5、已知0
4
,则双曲线
22
1
22
:1
cossin
xy
C
与
22
2
222
:1
sinsintan
yx
C
的()
A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等
2
【解析与答案】双曲线
1
C的离心率是
1
1
cos
e
,双曲线
2
C的离心率是
22
2
sin1tan
1
sincos
e
,
故选D
【相关知识点】双曲线的离心率,三角恒等变形
6、已知点1,1A、1,2B、2,1C、3,4D,则向量AB
在CD
方向上的投影为()
A.
32
2
B.
315
2
C.
32
2
D.
315
2
【解析与答案】2,1AB
,5,5CD
,
1532
2
52
ABCD
CD
,故选A。
【相关知识点】向量的坐标运算,向量的投影
7、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
25
73
1
vtt
t
(t的单位:s,v
的单位:/ms)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m)是()
A.125ln5B.
11
825ln
3
C.425ln5D.450ln2
【解析与答案】令
25
730
1
vtt
t
,则4t。汽车刹车的距离是
4
0
25
73425ln5
1
tdt
t
,
故选C。
【相关知识点】定积分在实际问题中的应用
8、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为
1
V,
2
V,
3
V,
4
V,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()
A.
1243
VVVVB.
1324
VVVV
C.
2134
VVVVD.
2314
VVVV
3
【解析与答案】C由柱体和台体的体积公式可知选C
【相关知识点】三视图,简单几何体体积
9、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后,从中随机取
出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为EX
A.
126
125
B.
6
5
C.
168
125
D.
7
5
第9题图
【解析与答案】三面涂有油漆的有8块,两面涂有油漆的有36块,一面涂有油漆的有54块,没有涂有油
漆的有27块,所以
836546
321
1251251255
EX。故选B。
【相关知识点】古典概型,数学期望
10
、已知
a
为常数,函数()lnfxxxax
有两个极值点
1212
,()xxxx
,则()
A.12
1
()0,()
2
fxfx
B.
12
1
()0,()
2
fxfx
C.12
1
()0,()
2
fxfx
D.12
1
()0,()
2
fxfx
4
【解析与答案】令()12ln0fxaxx
得021a,ln21(1,2)
ii
xaxi。
又
1
0
2
f
a
,
12
1
01
2
xx
a
。222
111111111
()ln210fxxxaxxaxaxaxx,
2
222222
11
()111
22
fxaxxxaxaxa
a
故选D。
【相关知识点】函数导数与极值,函数的性质
二、填空题
(一)必考题
11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所
示。
(I)直方图中x的值为;
(II)在这些用户中,用电量落在区间100,250内的户数为
。
第11题图
【解析与答案】0.0060.00360.002420.0012501x,0.0044x
0.00360.0060.
【相关知识点】频率分布直方图
12、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i。
5
【解析与答案】5程序框图运行过程如表所示:
i12345
a1051684
【相关知识点】程序框图
13、设,,xyzR,且满足:2221xyz,2314xyz,则xyz。
【解析与答案】由柯西不等式知2
22222212323xyzxyz,结合已知条件得
123
xyz
,从而解得
14
12314
xyz
,
314
7
xyz。
【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件)
14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为
2
1
11
222
nn
nn
。记第n个k边形数为,Nnk3k,以下列出了部分k边形数中第n个数的表
达式:
三角形数2
11
,3
22
Nnnn
正方形数2,4Nnn
五边形数2
31
,5
22
Nnnn
六边形数2,62Nnnn
……
可以推测,Nnk的表达式,由此计算10,24N。
否
1ii
?4a
10,1ai
开始
是
结束
a是奇数?
31aa
2
a
a
是
否
输出i
6
【解析与答案】观察2n和n前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故
2,241110Nnnn,10,241000N
【相关知识点】归纳推理,等差数列
(二)选考题
15、如图,圆O上一点C在直线AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E。若3ABAD,则
CE
EO
的值为。
【解析与答案】由射影定理知
2
22
2
8
1
2
ADABAD
CECDADBD
EOOD
OAAD
ABAD
【相关知识点】射影定理,圆幂定理
16、在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为
cos
sin
xa
yb
0ab为参数,。在极坐标系(与直
角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标
方程分别为
2
sin
42
m
m为非零常数与b。若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,
则椭圆C的离心率为。
【解析与答案】直线l的方程是xym,作出图形借助直线的斜率可得2cb,所以2222cac,
6
3
e
【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化,椭圆的几何性质,直线与圆
三、解答题
17、在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c。已知cos23cos1ABC。
(I)求角A的大小;
(II)若ABC的面积53S,5b,求sinsinBC的值。
【解析与答案】(I)由已知条件得:cos23cos1AA
O
D
E
BA
第15题图
C
7
22cos3cos20AA,解得
1
cos
2
A,角60A
(II)
1
sin53
2
SbcA4c,由余弦定理得:221a,2
2
2
228
sin
a
R
A
2
5
sinsin
47
bc
BC
R
【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理
18、已知等比数列
n
a满足:
23
10aa,
123
125aaa。
(I)求数列
n
a的通项公式;
(II)是否存在正整数m,使得
12
111
1
m
aaa
?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由。
【解析与答案】(I)由已知条件得:
2
5a,又
2
110aq,13q或,
所以数列
n
a的通项或253n
n
a
(II)若1q,
12
1111
0
5
m
aaa
或,不存在这样的正整数m;
若3q,
12
111919
1
10310
m
m
aaa
,不存在这样的正整数m。
【相关知识点】等比数列性质及其求和
19、如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于,AB的点,直线PC平面
ABC,E,F分别是PA,PC的中点。
(I)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关
系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足
1
2
DQCP
。
记直线PQ与平面ABC所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,二
面角ElC的大小为,求证:sinsinsin。
第19题图
8
【解析与答案】(I)EFAC,ACABC平面,EFABC平面
EFABC平面
又EFBEF平面
EFl
lPAC平面
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证。(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用
向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。)
9
【相关知识点】
10
20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布2800,50N的随机变量。记一天中从甲地去乙
地的旅客人数不超过900的概率为
0
p。
(I)求
0
p的值;(参考数据:若2,XN,有0.6826PX,
220.9544PX,330.9974PX。)
(II)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A、B
两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟
组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆。若每天要以不小于
0
p的概率运完
从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
【解析与答案】(I)
0
1
0.50.95440.9772
2
p
(II)设配备A型车x辆,B型车y辆,运营成本为z元,由已知条件得
21
3660900
7
,
xy
xy
yx
xyN
,而16002400zxy
作出可行域,得到最优解5,12xy。
所以配备A型车5辆,B型车12辆可使运营成本最小。
【相关知识点】正态分布,线性规划
11
21、如图,已知椭圆
1
C与
2
C的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,
2nmn,过原点且不与x轴重合的直线l与
1
C,
2
C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,
D。记
m
n
,BDM和ABN的面积分别为
1
S和
2
S。
(I)当直线l与y轴重合时,若
12
SS,求的值;
(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得
12
SS?并说明理由。
【解析与答案】(
I
)
12
SSmnmn
,
1
1
1
1
m
n
m
n
解得:21(舍去小于1的根)
(II)设椭圆22
1
22
:1
xy
Cam
am
,
22
2
22
:1
xy
C
an
,直线l:kyx
22
22
1
kyx
xy
am
222
2
22
1
amk
y
am
222
A
am
y
amk
同理可得,
222
B
an
y
ank
又
BDM和ABN的的高相等
1
2
BDBA
ABAB
SBDyyyy
SAByyyy
如果存在非零实数k使得
12
SS,则有11
AB
yy,
即:
22
2
2222222
11
ankank
,解得
222
2
23
211
4
a
k
n
Ox
y
B
A
第21题图
C
D
M
N
12
当12时,20k,存在这样的直线l;当112时,20k,不存在这样的直线l。
【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂)
22、设n是正整数,r为正有理数。
(I)求函数1()111(1)rfxxrxx的最小值;
(II)证明:
11
1111
11
rr
rr
r
nnnn
n
rr
;
(
III
)设
xR
,记
x
为不小于
x
的最小整数,例如
22
,
4
,
3
1
2
。令
3333818283125S,求
S
的值。
(参考数据:
4
380344.7,
4
381350.5,
4
3124618.3,
4
3126631.7)
证明:(I)
()111111rrfxrxrrx
()fx在1,0上单减,在0,上单增。
min
()(0)0fxf
(II)由(I)知:当1x时,1111rxrx(就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:
1
1
1
1
11
11
r
rr
r
rr
nrnn
nrnn
若2n,则1
1
1
11111
r
r
rrnrnnnrn
n
1
11
1
rr
nn
…………①
1
11
rr
nn
,
1
rr
nn
1
111
1
rrr
nnn
,故①式成立。
若1n,1
111r
rrnrnn
显然成立。
1
1
1
11111
r
r
rrnrnnnrn
n
13
1
11
1
rr
nn
…………②
1
11
rr
nn
,
1
rr
nn
1
111
1
rrr
nnn
,故②式成立。
综上可得原不等式成立。
(III)由(II)可知:当*kN时,414
44
333
33
33
11
44
kkkkk
444
125
4
333
3
81
33
112580210.225
44
k
Skk
444
125
4
333
3
81
33
112681210.9
44
k
Skk
211S
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