2013年高考数学

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绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合1,2,3,4,5,|,,,ABMxxabaAbB则M中元素的个数为

（A）3（B）4（C）5（D）6

（2）3

1+3i

（A）8（B）8（C）8i（D）8i

（3）已知向量1,1,2,2,,=mnmnmn若则

（A）4（B）-3（C）2（D）-1

（4）已知函数-1,021fxfx的定义域为，则函数的定义域为

（A）1,1（B）

1

1,

2









（C）-1,0（D）

1

,1

2







（5）函数

1

=log10fxx

x









的反函数1=fx

（A）

1

0

21x

x



（B）

1

0

21x

x



（C）21xxR（D）210xx

（6）已知数列

n

a满足

12

4

30,,10

3nnn

aaaa



则的前项和等于

（A）-10-61-3（B）-10

1

1-3

9

（C）-1031-3（D）-1031+3

（7）34

2211+xyxy的展开式中的系数是

（A）56（B）84（C）112（D）168

（8）椭圆

22

122

:1,,

46

xy

CAAPCPA的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是



1

2,1,PA那么直线斜率的取值范围是

（A）

13

24







，（B）

33

84







，（C）

1

1

2







，（D）

3

1

4







，

4

（9）若函数2

11

=,

2

fxxaxa

x









在是增函数，则的取值范围是

（A）-1，0（B）-1，（C）0，3（D）3，+

（10）已知正四棱锥

111111

2,ABCDABCDAAABCDBDC中，则与平面所成角的正弦值等于

（A）

2

3

（B）

3

3

（C）

2

3

（D）

1

3

（11）已知抛物线2:82,2,CCyxMkC与点过的焦点，且斜率为的直线与交于

,0,ABMAMBk两点,若则

（A）

1

2

（B）

2

2

（C）2（D）2

（12）已知函数=cossin2,fxxx下列结论中正确的是

（A）,0yfx的图像关于中心对称（B）

2

yfxx



的图像关于对称（C）



3

2

fx的最大值为（D）fx既是奇函数，又是周期函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知

1

sin,cot

3

aaa是第三象限角，则

.

（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）

（15）记不等式组

0,

34,

34,

x

xy

xy

















所表示的平面区域为.D若直线

1yaxDa与有公共点，则的取值范围是.

（16）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，

3

60

2

OKOK，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O的表面积等于.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

等差数列

n

a的前

n

项和为2

32124

.=,,,

n

SSaSSS已知且成等比数列，求

n

a的通项式.

18．（本小题满分12分）

设

,,,,,.ABCABCabcabcabcac的内角的对边分别为

4

（I）求

;B

（II）若

31

sinsin,C.

4

AC



求

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥902,PABCDABCBADBCADPABPAD中，，与都是等边三角形.

（I）证明：

;PBCD

（II）求二面角.APDC的大小

20．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负

的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为

1

,

2

各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当

裁判.

（I）求第4局甲当裁判的概率；

（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

21．（本小题满分12分）

已知双曲线22

12

22

:10,0

xy

CabFF

ab

的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线

与的两个交点间的距离为

（I）求

,;ab

；

（II）

2

FlCAB设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且

11

,AFBF证明：

22

.AFABBF、、成等比数列

22．（本小题满分12分）

已知函数

1

=ln1.

1

xx

fxx

x







（I）若0,0,xfx时求的最小值;；

4

（II）设数列

2

1111

1,ln2.

234nnnn

aaaa

nn

的通项证明：