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常见递归数列通项公式的求解策略

数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛

的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高

中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。

一、周期数列

如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，

则数列为周期数列。

例1、已知数列满足a1=2，an+1=1－，求an。

解:an+1=1－an+2=1－=－,从而an+3=1－=1＋an－1=an,

即数列是以3为周期的周期数列。又a1=2，a2=1－=,a3=－1

2,n=3k＋1

所以an=,n=3k＋2(kN)

－1,n=3k＋3

二、线性递归数列

1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an=f(an-1)（n,n）及一个初

始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，

即数列满足an＋1=f(n)an＋g(n)，其中f(n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n的

函数。

（一）当f(n)=p时，g(n)=q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归

数列。

（1）当p=1时，是以q为公差的等差数列。

（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。

（3）当p1且q0时，an＋1=pan＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝

是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。

例2、已知：=且，求数列的通项公式。

解：=

－=

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即数列是以为公比，

为首项的等比数列。

（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常

系数的一阶线性递归数列。

（1）当f(n)=1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。

例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an－1

(n2),(1)求a2,a3;(2)证明：an=.

(1)解：a1=1,a2=3＋1=4,a3=32＋4=13.

(2)证明：an=3n--1＋an－1(n2),

an－an－1=3n—1,

an－1－an－2=3n—2,

an－2－an－3=3n—3

……,

a4－a3=33,

a3－a2=32,

a2－a1=31

将以上等式两边分别相加，并整理得:

an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31,

即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1=.

（2）当g(n)=0时,化为an＋1=f(n)an，可用求积相消法求an。

例4、已知数列｛an｝满足a1=－2,an=3nan－1，求通项an。

解：a1=－2,

an=3nan－1

an－1=3n－1an－2，

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an－2=3n－2an－3，

……，

a4=34a3，

a3=33a2，

a2=32a1

将以上等式两边相乘并整理得：

an=3n·3n－13n－2·…·34·33·32·a1=－2·32+3+…+n

=－2·3

（3）当f(n)是非1的常数p时，an＋1=pan＋g(n)可用两边同除以pn+1得，

令bn+1=，则bn+1=bn＋，仿照（1）求出bn之后，再求出an.

例5、设有数列｛an｝:a1=1,an＋1=an＋，求an.

解：an＋1=an＋2n+1an＋1=2nan＋2

令bn+1=2n+1an＋1，则bn+1=bn＋2，即｛bn｝是以2为公差，b1=2a1=2为

首项的等差数列，

故有bn=2＋(n－1)·2=2n，从而an=，即an=

一般情况，当f(n)不是常数时，仿（3）可求

例6、已知｛an｝中，a1=2,nan＋1=(n＋1)an＋2，求｛an｝的通项公式。

解：nan＋1=(n＋1)an＋2

令bn+1=，则bn+1=bn＋，仿（1）可求得

bn=b1＋2[＋＋…＋]=a1＋2(1－)=2＋2(1－)=4－

an=nbn=4n－2

2、二阶线性递归数列：由三个连续项的关系式an＋1=f(an,an-1)(n,nN)及两

个初始值a1,a2所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫二阶线性递归

数列。

设数列｛an｝满足an＋1=pan＋qan-1，则其通项an的求法如下：（1）写

出递推式所对应的特征方程x2=px＋q；（2）解特征方程得到两个根x1,x2；(3)

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如果x1x2，则可设an=ax1n＋bx2n；如果x1=x2，则可设an=(c＋dn)x1n；（4）

由初始值a1,a2求出a,b或c,d.

例7、已知数列｛an｝满足an＋1=－2an＋3an-1，且a1=1,a2=5，求通项公

式an.

解：关于an＋1=－2an＋3an-1所对应的特征方程是x2=－2x＋3，其两个根

为1和－3。

设an=a＋b(－3)n,因为a1=1,a2=5,所以

a＋b(－3)=1

a＋b=5

解得a=2,b=，所以an=2＋(－3)n.

例8、已知数列｛an｝中，an＋2=6an+1－9an，且a1=1,a2=2,求an

解：递归关系an＋2=6an+1－9an所对应的特征方程是

x2=6x－9，其根是二重根3.

设an=(c＋dn)3n,a1=1,a2=2,

3(c＋d)=1

9(c＋2d)=2

解得c=,d=－，所以an=(4－n)3n--2

三、其它递归数列

1、形如an+1=panq(p>0,an>0)型的递归数列，可用对数代换法求an

例9、设数列｛an｝满足a1=4,an+1=5an2，求an.

解：由an+1=5an2可知an>0，所以两边取对数，得lgan+1=2lgan＋lg5，令

bn=lgan，则bn+1=2bn＋lg5，化为

bn+1＋lg5=2(bn＋lg5)，即｛bn＋lg5｝是以2为公比，b1＋lg5=lga1＋lg5=lg20

为首项的等比数列，从而有：

bn＋lg5=(lg20)2即bn=(lg20)2－lg5，所以lgan=lg,

即an=

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2、形如n+1=型的递归数列，可用倒数代换法求(0)

例10、已知数列｛n｝满足n+1=，且a1=－2,求通项公式n

解：n+1=两边取倒数得，令bn=，则bn+1=bn＋，可化为bn+1－2=(bn－

2)，即｛bn－2｝是以为公比，以b1－2=－为首项的等比数列，bn－2=－即－

2=－,n=

3、分式递归数列n+1=(c0,)型的通项公式的求法：(1)写出递推式所对应的特

征方程=；（2）解特征方程得到两个根x1,x2；（3）如果x1x2，则数列｛｝是

等比数列；如果x1=x2，则数列｛｝是等差数列；（4）由等比数列或等差数列

的通项公式求n

例11、设｛n｝满足=2,n=(n1)，求n

解：由递推式n=所对应的特征方程=得其根为x1=－2,x2=3,

÷=×=－4

数列｛｝是以－4为公比，=－4为首项的等比数列，则有=－4·(－4)n

n=

线性二项递归数列的通项及应用

一个数列{an}，如果它的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)

表示时，这个公式叫做这个数列的通项公式。一般地说，给出一个数列，就是给

出它的构成规律。常见的用解析式给出它构成规律的方法有通项公式法以及递推

公式法。“给出数列的递推公式，求通项公式”是数列教学的一个难点。下面先就一

道习题的解法对“线性二项递归数列的通项”求解方法做一简单小结。

例：已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+7,求{an}的通项公式。

解法一：（配凑法）

∵a1=3,an+1=2an+7

令an+1–p=2(an-p)

则an+1=2an-p,

比较系数得p=-7

则=2(常数)

由定义知，数列{an+7}是公比q=2的等比数列，

则an+7=(a1+7)·2n-1

又∵a1=3,则得出数列{an}的通项公式为：

an=10·2n-1-7

解法二：（叠加法）

∵an+1=2an+7

∴an=2an-1+7

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2an-1=22an-2+2×7

22an-2=23an-3+22×7

…

2n-2a2=2n-1a1+2n-2×7

将以上n-1个式子叠加，两边相消得：

an=2n-1·a1+7(1+2+22+…+2n-2)

=2n-1·a1+7(2n-1-1)

由于a1=3

∴得an=10·2n-1-7

解法三：（解方程组法）

∵an+1=2an+7①

∴an=2an-1+7②

①－②得：

an+1-an=2(an-an-1)

设bn=an+1－an,则=2

b1=a2－a1=2a1+7－a1=10

bn=10·2n-1

an+1－an=10·2n-1

联立方程组

解得an=10·2n-1－7

解法四：（递归法）

∵an+1=2an+7

∴an=2an-1+7

=2(2an-2+7)+7=22an-2+2×7+7

=22(2an-3+7)+2×7+7

=23an-3+22×7+2×7+7

=……

=2n-1a1+(2n-2×7+2n-1×7+…+2×7+7)

=2n-1·a1+7(2n-1－1)

∵a1=3

∴an=10·2n-1－7

解法五：（不动点法）

设f(x)=ax+b(a1,b0),则f(x)的不动点是

f(x)的n次迭代函数的解析式可表示如下：

f[n](x)=an(x-)+

∵an+1=2an+7,a1=3

∴an=2an-1+7

=2n-1(a1-)+

=10·2n-1-7

解法六：（特征根法）

若数列{an}中,a1已知,an+1=a·an+b(a≠1,b≠0)

则称x=ax+b为{an}的特征方程，其根x=称为特征根。

这时有如下结论：

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an=(a1-x)·an-1+x

对于本题，由于a1=3,a=2,b=7.∴x==-7

∴an=10·2n-1-7

[应用举例]

例1：小王贷款a元用于购房，采用月均等额本息还款方式，若m个月将款全部

还清，月利率为r，求每月还款额x。

解：设第n(n≤m)次还款后，小王还欠an元钱，这an元钱到下月增值到an(1+r)元，

还x元后，还有an+1=(1+r)an-x。

可知小王每次还款后仍欠银行的钱依次形成一个数列{an}，其中

a1=a(1+r)-x,an+1=(1+r)an-x

所以有，

an=(1+r)an-1-x

=(1+r)[(1+r)an-2-x]-x

=(1+r)2an-2-(1+r)x-x

=(1+r)3an-3-(1+r)2x-(1+r)x-x

=(1+r)4an-4-(1+r)3x-(1+r)2x-(1+r)x-x

=LL

=(1+r)n-1a1-x[(1+r)n-2+(1+r)n-3+L+(1+r)+1]

=(1+r)n-1[a(1+r)-x]-x[(1+r)n-22+(1+r)n-3L+(1+r)+1]

=(1+r)na-x[(1+r)n-1+(1+r)n-2+L+(1+r)+1]

=(1+r)na-x

=(1+r)na+x

题意可知am=0,即am=(1+r)ma+x=0

所以，x=

例2：某林场原有森林木材存量为a万立方米，木材每年以25%的增长率增长，而

每年冬天要砍伐的木材量为x万立方米。为了实现经过20年达到木材存量翻两番

的目标，则x的最大值是多少？

解：设第n年底木材存量为an万立方米，则

a1=a(1+25%)-x=a-x

an+1=(1+25%)x=an-x

Qan+1=an-x(an+1-4x)=(an-4x)

数列{an-4x}是公比为，首项为a1-4x的等比数列，则

an-4x=(a1-4x)·()n-1=()a-5x·()n-1

an=4x+(a-4x)·()n

令a20≥4a,即4x+(a-4x)·()20≥4a

解得x≤a

一、基本知识回顾

1.数列求通项与和

（1）数列前n项和S

n

与通项a

n

的关系式：a

n

＝．

（2）求通项常用方法

①作新数列法．作等差数列与等比数列．

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②累差叠加法．最基本的形式是：a

n

＝（a

n

－a

n－1

）＋（a

n－1

＋a

n－2

）＋…＋（a

2

－a

1

）＋

a

1

．

③归纳、猜想法．

（3）数列前n项和

①重要公式：等差和等比数列的求和公式

1＋2＋…＋n＝n（n＋1）；

12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）；

13＋23＋…＋n3＝（1＋2＋…＋n）2＝n2（n＋1）2；

②裂项相消法

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a

n

＝f（n＋1）－f（n），然后累加抵消掉中间

的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，

如：、＝－等．

③错位相减法（可用于推导等比数列前n项和公式）

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减

法．，其中是等差数列，是等比数列，记

，则，…

④分组转化求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S

n

．

⑤倒序相加法（可用于推导等差数列前n项和公式）

2.递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a

n＋k

＝f（a

n＋k－1

，a

n＋k－2

，…，a

n

）称为数列的递归关

系．由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由a

n＋1

＝2a

n

＋1，及a

1

＝1，确定的数列即为递归数列．

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想．

（2）迭代法．

（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三角代数．

（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题．