gman

用心爱心专心

1

第17讲三角形的五心

三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”,在解题时有很多应用,在本节

中将分别给予介绍．

三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心．

1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．

三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．

锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点；

钝角三角形的外心在三角形外．

2、三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．

内切圆半径r的计算:

设三角形面积为S,并记p=

1

2

(a+b+c),则r=

S

p

．

特别的,在直角三角形中,有r=

1

2

(a+b－c)．

3、三角形的重心

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．

上面的证明中,我们也得到了以下结论:三角形的重心到边的中点与到相应顶

点的距离之比为1∶2．

4、三角形的垂心

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第

四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．

5、三角形的旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁

切圆圆心)．

每个三角形都有三个旁切圆．

A类例题

例1证明重心定理。

证法1如图,D、E、F为三边中点,设BE、CF交于G,连接EF,显然EF

∥

=

1

2

BC,由三角形相似可得GB＝2GE,GC=2GF．

又设AD、BE交于G',同理可证G'B=2G'E,G'A=2G'D,即G、G'都是BE

上从B到E的三分之二处的点,故G'、G重合．

即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．

证法2设BE、CF交于G,BG、CG中点为H、I．连EF、

FH、HI、IE,

A

BC

O

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C

D

E

F

I

a

I

K

H

E

F

D

A

B

C

M

A

B

C

D

E

F

G

I

H

G

E

D

F

A

B

C

用心爱心专心

2

因为EF

∥

=

1

2

BC,HI

∥

=

1

2

BC,

所以EFHI为平行四边形．

所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF．

同证法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共点．

即定理证毕．

链接证明外心、内心定理是很容易的。

外心定理的证明:如图,设AB、BC的中垂线交于点O,则有OA=OB=OC,

故O也在AC的中垂线上,因为O到三顶点的距离相等,故点

O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．

内心定理的证明:如图,设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作

ID⊥BC,IE⊥AC,IF⊥AB,则有IE=IF=ID．因此I也在∠C

的平分线上,即三角形三内角平分线交于一点．

上述定理的证法完全适用于旁心定理,请同学们自己完

成．

例2证明垂心定理

分析我们可以利用构造外心来进行证明。

证明如图,AD、BE、CF为ΔABC三条高,过点A、B、C

分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C',显然AD为

B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的

中垂线,由外心定理,它们交于一点,命题得证．

链接（1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明,同学们可以参考第十八讲

的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,则AX、BY、CZ

所在直线交于一点的充要条件是

AZ

ZB

·

BX

XC

·

CY

YA

=1．

（2）对于三角形的五心,还可以推广到n边形,例如,如果我们称n（≥3）边形某顶点同

除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线,为n边形的中线,（当n-1=2

时,n-1边形退化成一线段,此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下:n边形的

各条中线(若有重合,只算一条）相交于一点,各中线被该点分为:（n-1）∶1的两条线段,

这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。

情景再现

1．设G为△ABC的重心,M、N分别为AB、CA的中点,求证:四边

F

E

B'

A'

C'

D

C

B

A

A

BC

O

I

K

H

E

F

D

A

B

C

M

G

N

M

C

B

A

用心爱心专心

3

形GMAN和△GBC的面积相等．

2．三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍．

B类例题

例3过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.

作点P关于MN的对称点P'.试证:P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学

竞赛习题》)

分析分析点M和N的性质,即能得到解题思路。

证明由已知可得MP'=MP=MB,NP'=NP=NC,

故点M是△P'BP的外心,点N是△P'PC的外心.于是有

∠BP'P=

1

2

∠BMP=

1

2

∠BAC,

∠PP'C=

1

2

∠PNC=

1

2

∠BAC.

∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC.

从而,P'点与A、B、C共圆,即P'在△ABC外接圆上.

例4AD,BE,CF是△ABC的三条中线,P是任意一点.

证明:在△PAD,△PBE,△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.

(第26届莫斯科数学奥林匹克)

证明设G为△ABC重心,直线PG与AB,BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直

线的垂线,垂足为A',C',D',E',F'.

易证AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC',

∴EE'=DD'+FF'.

有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例5设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂

心.求证:H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.(1992,全国高中联赛)

证明连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为R.由△A2A3A4知

132

12

sinHAA

HA



=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；

由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.

但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2.

易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1

∥

=

A1H2,

故得H1H2

∥

=

A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四

链接本题可以引出更多结论,例如P'P平分∠BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等．

A

B

C

P

P

M

N

'

A

A

'

F

F

'

G

E

E'

D'

C'

P

C

B

D

.

O

A

A

A

A

1

2

34

H

H

1

2

用心爱心专心

4

边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者

的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.

链接三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如:

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形

的垂心；

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．

情景再现

3．在△ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.

证明以△APS,△BQP,△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

4．如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.

其逆亦真.

C类例题

例6H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF,FD,DE

于A1,A2,B1,B2,C1,C2.

求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题)

分析只须证明AA1=BB1=CC1即可.

证明设BC=a,CA=b,AB=c,△ABC外接圆半径为R,⊙H的半径为r.

连HA1,AH交EF于M.A2

1

A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2

=r2+(AM2-MH2),①

又AM2-HM2=(

1

2

AH1)2-(AH-

1

2

AH1)2

=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2

=cosA·bc-AH2,②

而

ABH

AH

sin

=2RAH2=4R2cos2A,

A

a

sin

=2Ra2=4R2sin2A.

∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.③

由①、②、③有

A2

1

A=r2+

bc

acb

2

222

·bc-(4R2-a2)

H

H

H

M

A

B

B

A

A

B

C

C

C

F

1

2

1

1

1

2

2

2

D

E

用心爱心专心

5

=

1

2

(a2+b2+c2)-4R2+r2.

同理,2

1

BB=

2

1

(a2+b2+c2)-4R2+r2,

2

1

CC=

1

2

(a2+b2+c2)-4R2+r2.

故有AA1=BB1=CC1.

例7已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于E,F且与⊙O内切.试证:EF中点P是△ABC之内

心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

证明如图,显然EF中点P、圆心Q,

︵

BC

中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=

sin

r

.

∵QK·AQ=MQ·QN,

∴QK=

AQ

QNMQ

=

sin/

)2(

r

rrR

=)2(sinrR.

由Rt△EPQ知PQ=

rsin

.

∴PK=PQ+QK=

rsin

+)2(sinrR=

R2sin

.

∴PK=BK.

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.

说明在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例7的一种特例,但它增加了条件AB=AC.

例8在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c

相切的旁切圆半径,p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

证明设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:

p(p-c)=(p-a)(p-b).

∵p(p-c)=

1

2

(a+b+c)·

1

2

(a+b-c)

=

1

4

[(a+b)2-c2]

=

1

2

ab；

(p-a)(p-b)=

1

2

(-a+b+c)·

1

2

(a-b+c)

=

1

4

[c2-(a-b)2]=

1

2

ab.

∴p(p-c)=(p-a)(p-b).①

观察图形,可得

ra=AF-AC=p-b,

rb=BG-BC=p-a,

rc=CK=p.

A

α

α

M

B

C

K

N

E

R

O

Q

F

r

P

K

r

r

r

r

O

O

O

2

1

3

A

O

E

C

B

a

b

c

用心爱心专心

6

而r=

1

2

(a+b-c)=p-c.

∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

例9M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△ABC内切圆的半

径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明

1

1

q

r

·

2

2

q

r

=

q

r

.(IMO-12)

证明对任意△A'B'C',由正弦定理可知

OD=OA'·

2

'

sin

A

=A'B'·

'''sin

2

'

sin

BOA

B



·

2

'

sin

A

=A'B'·

2

''

sin

2

'

sin

2

'

sin

BA

BA





,

O'E=A'B'·

2

''

sin

2

'

cos

2

'

cos

BA

BA



.

∴

2

'

2

'

'

B

tg

A

tg

EO

OD

.

亦即有

1

1

q

r

·

2

2

q

r

=

2222

B

tg

CNB

tg

CMA

tg

A

tg



=

22

B

tg

A

tg=

q

r

.

例10锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外,重心到三

边距离和为d重,垂心到三边距离和为d垂.

求证:1·d垂+2·d外=3·d重.

证明设△ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B,

C.易知d外=OO1+OO2+OO3

=cosA+cosB+cosC,

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).①

∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC,

同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB)②

A

.

.

.'

B'

C'

O

O'

E

D

B

C

O

I

A

O

G

H

O

G

H

G

OGH

1

2

3

1

1

2

2

3

3

用心爱心专心

7

∴

BCH

BH

sin

=2,

∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.

同样可得HH2,HH3.

∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)③

欲证结论,观察①、②、③,

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+(cosA+cosB+cosC)=

sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

说明本题用了三角法。

情景再现

5.设在圆内接凸六边形ABCDFE中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,BE,CF三条对角线交于

一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.

(1991,国家教委数学试验班招生试题)

6．△ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是△ACD的重心.证明OE丄CD.

(加拿大数学奥林匹克训练题)

7．△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.

求证:OI丄DE,OI=DE.(1988,中国数学奥林匹克集训题)

用心爱心专心

8

习题17

1．在△ABC中,∠A是钝角,H是垂心,且AH=BC,则cos∠BHC=()

A．－

1

2

2B．

1

2

2C．

3

3

D．

1

2

2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分,则此直线一定通过三角形的()

A．内心B．外心C．重心D．垂心(1996年全国初中联赛)

3．(1997年安徽省初中数学竞赛)若0°<<90°,那么,以sin,cos,tancot为三边的三

角形有内切圆、外接圆的半径之和是()

A．

sin+cos

2

B．

tan+cot

2

C．2sincosD．

1

sincos

4．ΔABC中,∠A=45,BC=a,高BE、CF交于点H,则AH=()

A．

1

2

aB．

1

2

2aC．aD．2a

5．下面三个命题中:

⑴设H为ΔABC的高AD上一点,∠BHC+∠BAC=180,则点H是ΔABC的垂心；

⑵设G为ΔABC的中线AD上一点,且SΔAGB=SΔBGC,则点G是ΔABC的重心；

⑶设E是ΔABC的外角∠BAK的角平分线与ΔABC的外接圆⊙O的交点,ED是⊙O的直径,I

在线段AD上,且DI=DB,则I是ΔABC的内心．

正确命题的个数是()

A．0个B．1个C．2个D．3个

r

R

I

O

C

B

A

用心爱心专心

9

本节“情景再现”解答

1．证明如图,连GA,因为M、N分别为AB、CA的中点,所以△AMG

的面积=△GBM的面积,△GAN的面积=△GNC的面积,

即四边形GMAN和△GBC的面积相等．

2．证明如图,O为ΔABC的外心,H为垂心,连CO交ΔABC外

接圆于D,连DA、DB,则DA⊥AC,BD⊥BC,又AH⊥BC,BH⊥AC．所

以DA∥BH,BD∥AH,从而四边形DAHB为平行四边形。又显然

DB=2OM,所以AH=2OM．

同理可证BH=2ON,CH=2OK．证毕．

3．提示:设O1,O2,O3是△APS,△BQP,△CSQ的外心,作出六边形

O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠

B,∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,

同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=

1

2

∠O2O1K

=

1

2

(∠O2O1S+∠SO1K)=

1

2

(∠O2O1S+∠PO1O2)=

1

2

∠PO1S=∠A；

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

4．提示:将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△'.G为重心,连DE到

H,使EH=DE,连HC,HF,则△'就是△HCF.(1)a2,b2,c2成等差数列△∽△'.若△ABC

为正三角形,易证△∽△'.不妨设a≥b≥c,有

CF=22222

2

1

cba,BE=22222

2

1

bac,AD=22222

2

1

acb.

将a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得CF=a

2

3

,BE=b

2

3

,AD=c

2

3

.

∴CF:BE:AD=a

2

3

:b

2

3

:c

2

3

=a:b:c.故有△∽△′.

(2)△∽△′a2,b2,c2成等差数列.当△中a≥b≥c时,

△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′,∴





S

S

'＝(

a

CF

)2.

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

4

3

”,有





S

S

'=

4

3

.

∴

2

2

a

CF

=

4

3

3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.

G

N

M

C

B

A

N

D

O

M

K

H

A

B

C

用心爱心专心

10

5.证明连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是△ACE的三条内角平分线,I为△ACE的内心.

从而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.

再由△BDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用不

等式有:

BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.

∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)

≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.

I就是一点两心.

6．提示:设AM为高亦为中线,取AC中点

F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设

CD交AM于G,G必为△ABC重心.

连GE,MF,MF交DC于K.易证:

DG:GK=

3

1

DC:(

3

1

2

1

)DC=2:1.

∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.

∵OD丄AB,MF∥AB,

∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.

易证OE丄CD.

7．提示:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K.

易证△AID≌△AIB≌△EIB,

∠AID=∠AIB=∠EIB.

利用内心张角公式,有

∠AIB=90°+

1

2

∠C=105°,

∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+

1

2

∠DAO=30°+

1

2

(∠BAC-∠

BAO)=30°+

1

2

(∠BAC-60°)=

1

2

∠BAC=∠BAI=∠BEI.

∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK,∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高.

同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE.由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.

习题17解答

1．B；2．A；3．A；4．C；5．选B,只有（3）是对的；

Erdos

..

I

P

A

B

C

D

E

F

Q

S

A

B

C

D

E

F

O

K

G

O

A

B

C

D

E

F

I

K

30

°