复旦大学自主招生

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(此题共15分，每题3分．在每题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字

母填在括号内)

1．假设今天是星期二，那么31998天之后是()

A．星期四B．星期三C．星期二D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，假设字母的各种

排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN〞一词的概率是()

A．

48

13!

B．

216

13!

C．

1728

13!

D．

8

13!

3．方程cos2xsin2x+sinx＝m+1有实数解，那么实数m的取值范围是()

A．

1

8

mB．m>3C．m>1D．

1

3

8

m

4．假设一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，那么此数列

各项的积是()

A．pmB．p2

mC．qmD．q2

m

5．设f’(x

0

)＝2，那么00

0

()()

lim

h

fxhfxh

h



()

A．2B．2C．4D．4

二、填空题〔此题共24分，每题3分〕

1．设f(x)的原函数是1x，那么

1

0

(2)fxdx__________．

2．设(0,)

2

x



，那么函数(22

22

11

sin)(cos)

sincos

xx

xx

的最小值是__________．

3．方程316281536xxx的解x＝__________．

4．向量2aij在向量34bij上的投影()

b

a__________．

5．函数3

223yxx的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是

__________．

7．方程7x2(k+13)x+k2k2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，那么k的取值范围是

__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的

出现是等可能的，那么事件“有3个盒子各放一个球〞的概率是________．

三、证明与计算〔此题61分〕

1．(6分)正数列a

1

，a

2

，…，a

n

，且对大于1的n有

12

3

2n

aaan，

12

1

2n

n

aaa



．

试证：a

1

，a

2

，…，a

n

中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝f(x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．

3．(8分)求极限

1

12

lim(0)

ppp

p

n

n

p

n





．

4．(10分)设

2,0

()

,0

xbxcx

fx

lxmx













在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为

1

3

，原

点到f(x)中曲线局部的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)

5．(8分)证明不等式：

3

41sincos2xx，[0,]

2

x



．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是

1

2

．假设射手甲

先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

7．(11分)如下图，设曲线

1

y

x

上的点与x轴上的

点顺次构成等腰直角三角形△OB

1

A

1

，

△A

1

B

2

A

2

，…，直角顶点在曲线

1

y

x

上．试求

A

n

的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和

O

y

x

B

1

A

2

A

1

B

2

是否存在．

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题〔理科〕

一、填空题〔每题10分，共60分〕

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组

含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a

n

为第n组数之和，那么a

n

＝

________________．

2．222sinsin()sin()

33



＝______________．

3．

222

lim[(2)log(2)2(1)log(1)log]

n

nnnnnn



＝_________________．

4．平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，

和底面成60度角，那么两对角面面积之比为__________________．

5．正实数x,y满足关系式x2xy4＝0，又假设x≤1，那么y的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台

追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离

站台1000米处，假设摩托车车速不变，那么摩托车从出发到站台共行驶了______________

米．

二、解答题〔每题15分，共90分〕

1．数列{a

n

}适合递推式a

n+1

＝3a

n

+4，又a

1

＝1，求数列前n项和S

n

．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥

曲线的光学性质吗？请表达但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于

1

2arcsin(326)

2

，

求该棱锥的体积．(

1

cos(26)

124



)

4．设z

1

,z

2

,z

3

,z

4

是复平面上单位圆上的四点，假设z

1

+z

2

+z

3

+z

4

=0．

求证：这四个点组成一个矩形．

5．设(12)2n

nn

xy，其中x

n

,y

n

为整数，求n→∞时，n

n

x

y

的极限．

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住

这三个点．请证明你的结论．

2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题〔此题共40分，每题4分〕

1．数12825N的位数是________________．

2．假设log

2

[log

3

(log

4

x)]＝log

3

[log

4

(log

2

y)]＝log

4

[log

2

(log

3

z)]＝0，那么x+y+z＝_________．

3．假设log

2

3＝p，log

3

5＝q，那么用p和q表示log

10

5为________________．

4．设sin和sin分别是sin与cos的算术平均和几何平均，那么cos2:cos2＝

____________．

5．设[0,]

2

x



，那么函数f(x)＝cosx+xsinx的最小值为________________．

6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，正三角形每边

比正方形每边多2个小球，那么这盒小球的个数为____________．

7．假设在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，那么

这个数列的前100项之和是_______________．

8．在(1+2xx2)4的二项展开式中x7的系数是_______________．

9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另

一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离〞，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽然

如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，那么排错的a＝________________．

10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数

列的概率为_________________．

二、选择题〔此题共32分，每题4分〕

11．a>0，b>0，假设(a+1)(b+1)＝2，那么arctana+arctanb＝()

A．

2



B．

3



C．

4



D．

6



12．一个人向正东方向走x公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，结果他离出发点

3

公

里，那么x是()

A．

3

B．

23

C．3D．不能确定

13．

111

11

32168

42(12)(12)(12)(12)(12)

()

A．

1

1

32

1

(12)

2



B．

1

1

32(12)

C．

1

3212D．

1

32

1

(12)

2



14．设[t]表示≤t的最大整数，其中t≥0且S＝{(x,y)|(xT)2+y2≤T2,T＝t[t]}，那么()

A．对于任何t，点(0,0)不属于SB．S的面积介于0和之间

C．对于所有的t≥5，S被包含在第一象限D．对于任何t，S的圆心在直线y＝x上

15．假设一个圆盘被2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，那么这个圆盘能够被分成的

不交迭区域的最大个数是

()

A．2n+2B．3n1C．3nD．3n+1

16．假设i2＝1，那么cos45°+icos135°+…+incos(45+90n)°+…+i40cos3645°＝

()

A．

1

2

B．

212

2

C．

2

(2120)

2

iD．

2

(2120)

2

i

17．假设对于正实数x和y定义

xy

xy

xy





，那么

()

A．〞*〞是可以交换的，但不可以结合B．〞*〞是可以结合的，但不可以交换

C．〞*〞既不可以交换，也不可以结合D．〞*〞是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，假设所得的余数相同且都是非负数，那么

数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．假设69，90和125对于某个N是同余的，那

么对于同样的N，81同余于

()

A．3B．4C．5D．7

三、计算题〔此题共78分〕

19．(此题10分)函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g(t)．试写出g(t)的解析表达式．

20．(此题12分)设对于x>0，

66

6

33

3

11

()()2

()

11

()

xx

xx

fx

xx

xx







，求f(x)的最小值．

21．(此题16分)函数

1

21

()

1

x

fx

x







，对于n＝1,2,3,…定义f

n+1

(x)＝f

1

[f

n

(x)]．假设f

35

(x)＝f

5

(x)，

那么f

28

(x)的解析表达式是什么？

22．(此题20分)抛物线族2y＝x2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数t∈R．

(1)求抛物线顶点的轨迹方程；

(2)求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．

23．(此题20分)设{x

n

}为递增数列，x

1

＝1，x

2

＝4，在曲线

yx

上与之对应的点列为

P

1

(1,1),P

2

(4,2),

333

(,)Pxx,…,

(,)

nnn

Pxx…，且以O为原点，由

OP

n

、OP

n+1

与曲线P

n

P

n+1

所围成局部的

x

P

n

y

OXn+1

Xn

P

n+1

面积为S

n

，假设{S

n

}(n∈N)是公比为

4

5

的等比数列，图形X

n

X

n+1

P

n+1

P

n

的面积为

33

22

1

2

()

3nn

xx



，

试求S

1

+S

2

+…+S

n

+…和lim

n

n

x



．

复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每题5分，共45分)

1．sinxsiny0，那么cos2xsin2y___________________．

2．平面

1

,

2

成的二面角，平面

1

中的椭圆在平面

2

中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之

比为__________．

3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，那么x+y________________________．

4．号码0，1不能是首位，那么本市号码从7位升到8位，使得号码资源增加____．

5．200283a

3

+82a

2

+8a

1

+a

0

，0≤a

0

,a

1

,a

2

,a

3

≤7正整数，那么a

0

______________．

6．15

1

()x

x

的常数项为_________________．

7．lim(1)

n

nnn



＝__________________．

8．空间两平面,，是否一定存在一个平面均与平面,垂直？___________．

9．在△ABC中，cos(2AC)＝cos(2CB)，那么此三角形的形状是________________．

二、解答题(共87分)

1．求解：cos3xtan5x＝sin7x．

2．数列3，3lg2，…,3(n1)lg2．问当n为几时，前n项的和最大？

3．求证：x∈R时，|x1|≤4|x31|．

4．a为何值时，方程2

2

lglg()

log(1)

lg2lg2

xax

a



有解？只有一解？

5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里

速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问

此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x3-2y3＝1的所有整数解(x,y)，试证明：

1

3

3

4

|2|

||

x

yy

．

上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题〔此题共64分，每题4分〕

1．设方程x3=1的一个虚数根为2,1nn则(n是正整数)=__________．

2．设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别

是2，1，0，那么(a,b)=___________．

3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________．

4．假设x,y,z>0且x2+y2+z2=1，那么

222

111

xyz

的最小值为___________．

5．假设2x2

x=2，那么8x=______________．

6．假设a,b,c为正实数，且3a=4b=6c，那么

111

2abc

=_____________．

7．

222

111

(1)(1)(1)

23n

的值为_____________．

8．函数

2

2

c

c

xtgx

y

xtgx







的值域为______________．

9．假设圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，那么cosA=__________．

10．假设a,b满足关系：22111abba，那么a2+b2=____________．

11．29

1

(1)

2

x

x

的展开式中x9的系数是_____________．

12．当12a时，方程222||axx的相异实根个数共有_____________个．

13．假设不等式2054xax有唯一解，那么a=_______________．

14．设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且abc，假设b=n〔正整数〕，那么可组成

这样的三角形______个．

15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，那么这两个数为

_______．

16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，

3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交假设干台，且要使移交的电脑

的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移

交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．

二、计算与证明题〔此题共86分〕

17．〔此题12分〕〔1〕设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明以下不等式：

(1)

222

1111

12

23nn

；(2)当

2sin

01,11

6

xx

x

x

时，

试用此式与(1)的不等式求

1111

lim(sin12sin3sinsin)

23n

n

nn



18．〔此题14分〕假设存在实数x，使f(x)=x，那么称x为f(x)的不动点，函数

2

()

xa

fx

xb







有

两个关于原点对称的不动点

(1)求a,b须满足的充要条件；

(2)试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置〔画草图〕

19．〔此题14分〕欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙

〔如图〕，现有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多

少米？并求此时围栏的长度．

20．〔此题14分〕设数列{a

n

}满足关系2

1

21(1,2,)

nn

aan





，假设N满足

1(2,3,)

N

aN，

试证明：(1)

1

||1a；(2)

1

2

cos

2N

k

a





〔k为整数〕

21．〔此题16分〕设()|lg|,,fxxab为实数，且

0,,()()2()

2

ab

ababfafbf



若满足

x

y

144m2

试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3

22．〔此题16分〕A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点

时，由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是P

n

．试求：(1)P

n+1

用P

n

表示的式子；(2)极限lim

n

n

P



2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4

一、填空题〔本大题共40分，每题4分〕

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，那么第三个根为___________．

2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，那么所围成面积S的最大值是

_______________．

3．,xyR，x+2y＝1，那么

22

xy

的最小值是______________．

4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，

那么这四个数是___________________．

5．f(x)ax7+bx5+x2+2x1，f(2)8，那么f(2)_______________．

6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________．

7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个局部．

8．有n个元素的集合分为两局部，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，那么原数的最小值

是___________．

10．100!末尾连续有______________个零．

二、解答题〔本大题共60分，每题10分〕

11．数列{a

n

}的a

1

1，a

2

3，3a

n+2

2a

n+1

+a

n

，求a

n

和lim

n

n

a



．

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求x50的系数．

14．化简：(1)11!22!!nn；(2)12

12

k

nnnk

CCC





．

15．求证：

3

42

2

31

aa

aa





为最简分式．

16．证明不等式()!()

23

nn

nn

n，当自然数n≥6时成立．

复旦大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题(本大题共80分，每题8分)

1．函数

1

()

2

yftx

x

，当x=1时，

2

5

2

t

yt，那么f(x)＝________________．

2．方程x2+(a2)x+a+10的两根x

1

,x

2

在圆x2+y24上，那么a_______________．

3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法．

4．A＝{x|log

2

(x24x4)>0}，B＝{x||x+1|+|x3|≥6}，那么AB=_______________．

5．数列{a

n

}的前n项和为S

n

，假设a

k

=k·pk(1p),(p≠1)，那么S

k

＝______________．

6．假设(x1)2+(y1)21，那么

1

3

y

x





的范围是___________________．

7．边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o二面角，那么BC中点与A的距离是_________．

8．|z

1

|2，|z

2

|3，|z

1

+z

2

|4，那么1

2

z

z

______________．

9．解方程

3

log

2

a

x

x

x

a

，x＝________________．

10．(a>0)，lim

2

n

nn

n

a

a

＝______________．

二、解答题(本大题共120分)

11．|z|＝1，求|z2+z+4|的最小值．

12．a

1

,a

2

,a

3

,…,a

n

是各不相同的自然数，a≥2，求证：

123

1111

()()()()2aaaa

n

aaaa

．

13．

3

sincos

2

，cossin2，求tancot的值．

14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数

21

x

y

x





(x>0)的图象上，

求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．

15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O

1

内切于圆锥，球O

2

内切于圆锥侧面，与球O

1

外

切，…，以次类推，

(1)求所有这些球的半径r

n

的通项公式；

(2)所有这些球的体积分别为V

1

,V

2

,…,V

n

,…．求

12

lim()

n

n

VVV



．

16．数列{a

n

}的前n项和为S

n

，

1

(1)(11)(1)n

a

nnnnnn





，求S

2003

．

17．定义闭集合S，假设,abS，那么abS，abS．(1)举一例，真包含于R的无限

闭集合．(2)求证对任意两个闭集合S

1

,S

2

R，存在cR，但

12

cSS．

同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1．f(x)是周期为2的函数，在区间[1,1]上，f(x)|x|，那么

3

(2)

2

fm___(m为整数)．

2．函数ycos2x2cosx,x∈[0,2]的单调区间是__________________．

3．函数222yxx的值域是__________________．

4．

5．函数y＝f(x)，f(x+1)f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，

称为f(x)在x处的二阶差分△2y，那么y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y____________．

6．

7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________．

8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投

影，那么M点坐标是_________，CN与DM所成角是

_________．

9．双曲线x2y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积

___________．

10．椭圆

22

1

43

xy

在第一象限上一点P(x

0

,y

0

)，假设过P的切

线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________．

二、解答题

11．不等式

2

2

2

22

log0

364

xkxk

xx







对于任意x∈R都成立，求k的取值范围．

12．不动点，()

bxc

fx

xa







．(1)

1

2

,3为不动点，求a,b,c的关系；(2)假设

1

(1)

2

f，求f(x)的

解析式；(3)

13．

sincos

([0,2))

2sincos

y













，(1)求y的最小值；(2)求取得最小值时的．

A

B

C

M

D

N

O

x

y

z

14．正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

，|AA

1

|h，|BB

1

|a，点E从A

1

出发沿棱

A

1

A运动，后沿AD运动，∠A

1

D

1

E，求过EB

1

C

1

的平面截三棱

柱所得的截面面积S与的函数关系式．

15．数列{a

n

}满足1

12

nn

n

aa

a





．

(1)假设b

n

＝a

n

a

n1

(n=2,3,…)，

求b

n

；(2)求

1

n

i

i

b



；(3)求lim

n

n

a



．

16．抛物线y2＝2px，(1)过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2)是否存在正方形

ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，假设存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特

点？

上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3

一、填空题：

1．x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，那么x+5y+3z的范围是__________．

2．长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，那么它的面积的最大值是_________．

3．函数xxycossin〔

2

0



x〕的值域是_____________．

4．a,b,c为三角形三边的长，b=n，且a≤b≤c，那么满足条件的三角形的个数为________．

5．baxx2和cbxx2的最大公约数为1x，最小公倍数为

dxbxcx)3()1(23，那么

a

=______,b=_______,

c

=_______,d=__________．

6．21a,那么方程xxa222的相异实根的个数是__________．

7．8182004)367(的个位数是______________．

8．数列

n

a满足1

1

a,2

2

a，且

nnn

aaa23

12





，那么

2004

a=____________．

9．

nn

的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________．

10．

abcxyzxyzabc76

,那么

xyzabc

=_______________．

11．

12．

二、解答题

1．矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．

2．某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以

及二项式系数．

B

A

C

D

A

1

D

1

C

1

B

1

3．f(x)=ax4+x3+(58a)x2+6x9a，证明：〔1〕总有f(x)=0；〔2〕总有f(x)≠0．

4．

1

1

)(

1





x

x

xf，对于一切自然数n，都有)]([)(

11

xffxf

nn





，且)()(

636

xfxf，求

)(

28

xf．

5．对于两条垂直直线和一个椭圆，椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．

6．

n

b为公差为6的等差数列，)(

11

Nnaab

nnn





．

(1)用

1

a、

1

b、

n

表示数列

n

a的通项公式；

(2)假设aba

11

，]33,27[a，求

n

a的最小值及取最小值时的

n

的值．

复旦大学2004年保送生考试数学试题〔150分钟〕2003.12.21

一、填空题〔每题8分，共80分〕

1．)1)(12(124248axxxxx，那么

a

_________．

2．74535xx，那么

x

的范围是___________．

3．椭圆1

916

22



yx

，那么椭圆内接矩形的周长最大值是___________．

4．12只手套〔左右有区别〕形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____

种取法．

5．等比数列

n

a中3

1

a，且第一项至第八项的几何平均数为9，那么第三项为______．

6．0)1(2axax的所有整数解之和为27，那么实数

a

的取值范围是___________．

7．1

94

)4(22



yx

，那么

94

22yx

的最大值为____________．

8．设

21

,xx是方程0

5

3

cos

5

3

sin2xx的两解，那么

21

arctgxarctgx=__________．

9．zz3的非零解是___________．

10．x

x

y



1

1

2

的值域是____________．

二、解答题〔每题15分，共120分〕

1．解方程：1)3(log

5

xx．

2．

13

12

)sin(，

5

4

)sin(，且

2

,0,0



，求2tg．

3．过两抛物线C

1

：2)1(1yx，C

2

：2(1)41yxa

的交点的各自的切线互相垂直，

求

a

．

4．假设存在M，使任意Dt〔D为函数)(xf的定义域〕，都有Mxf)(，那么称函数

)(xf有界．问函数

xx

xf

1

sin

1

)(在)

2

1

,0(x上是否有界？

5．求证：

3

1

3

1

2

1

1

333



n



．

6．E为棱长为a的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的棱AB的中点，求点B到平面A

1

EC的距离．

7．比拟25log

24

与

26log

25

的大小并说明理由．

8．数列

n

a、

n

b满足

nnn

baa2

1





，且

nnn

bab66

1





，又2

1

a，4

1

b，

求(1)

nn

ba,；(2)

n

n

b

a

lim．

简单解答：

一、填空题：1.22.)8.0,6.0(3.204.

3

1

二、解答题：

5．证明1：

11

1

)

)1(

1

)1(

1

(

)1()1(

11

3















mmmmmmmmm

m

=〔

2

111

)

1

1

1

1









mm

mmm

而

m

mmmm









2

11

2

11

1

1

1

11

3







mm

m

原式<1+

1

1

1

1

4

1

2

1

3

1

1

1









nn

=3

1

11

2

2

2





nn

证明2：)1)(1()1(2nnnnnnn

1

1

)1(1

1

2

1











n

nn

nnn

n

nnnn

nn

nn

1

1

1

)1(

1

2

1













原式〈3

1

3)

1

1

1

3

1

2

1

2

1

1(21





nnn



同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷

一、填空题〔本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否那么一律得零分，本

大题总分值40分〕

1．函数

1

2

()log(sincos)fxxx的单调递增区间是_______________________．

2．如下图，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数

()vvt的图象，那么该质点运动的总路程s=_____〔厘

米〕．

3．设a与b是两条非相互垂直的异面直线，与分别是过直

线a与b的平面，有以下4个结论：(1)b//，(2)b，(3)

//，(4)，那么其中不可能出现的结论的序号为

__________．

4．设某地于某日午后2时到达最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后到达，而

最低水位为0.20米。假设水位高度h〔米〕的变化由正弦或余弦函数给出，那么该地水位高

度h〔米〕作为时间t〔单位：时，从该日零时起算〕的函数的表达式为_______________．

5．设是第二象限角，

357

sin,sin2

58











则=_____________________．

6．复平面上点A与点B分别对应复数2与2i，线段AB上的动点P对应复数Z，假设复数z2对

应点Q，点Q坐标为(x,y)，那么点Q的轨迹方程为________________________．

7．设有正数a与b，满足a

1

,y

1

,x

2

,y

2

，使x

1

+y

1

是a与b的算术平均数，x

2

·y

2

是a

与b的几何平均数，那么11

2

22

()

xy

xy

的取值范围是_________________．

8．从0,1,2，…,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，那么恰好构成可以被25整除的

五位数的概率是_______________〔用分数给出答案〕．

v(cm/s)

20

15

10

5

O51015t(s)

二、解答题〔本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤，本大题总分值60分〕

9．〔此题总分值12分〕试利用三角函数求函数22()421fxxxx的最大值与最小

值．

10．〔此题总分值12分〕求证：对于任何实数a与b，三个数：|a+b|,|a-b|,|1a|中至少有一个不

小于

1

2

．

11．〔此题总分值12分〕设抛物线y=x2(2k7)x4k12与直线y=x有两个不同的交点，且交点

总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？

12．〔此题总分值12分〕设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长

为1的正方形，且PA⊥面ABCD．

(1)求证：直线PC⊥直线BD；

(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱

锥

E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高．

P

A

B

C

D

E

13．〔此题总分值12分〕设有抛物线y2=2px(p>0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动

点A在抛物线上，试问：点C在什么范围之内时∠BAC是锐角？

上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

一、填空题〔每题5分，共50分〕

1．方程2

2

1

0

2

xpx

p

的两根

12

,xx满足44

12

22xx，那么p_________〔pR〕．

2．88

41

sincos,(0,)

1282

xxx



，那么x=________________．

3．nZ，有12004

11

(1)(1)

2004

n

n

，那么n______________．

4．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两局部〔如左图〕，将这6局部接于

一个边长为62的正六边形上〔如以下图〕，假设拼接后的图形是一个多面

体的外表展开图，该多面体的体积为_____________．

5．23333xy，x、yR，那么(x,y)=_______________．

6．2222122468(1)(2)nn=___________．

7．假设z3=1，且zC，那么z32z22z20_____________．

8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体外表爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_______________．

9．4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为______，恰好只有一封装错的概率

为_______．

10．等差数列{a

n

}中，

371119

44aaaa，

5916

aaa=______________．

二、解答题〔第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分〕

1．320xaxbxc的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得

(1)最大角是最小角的两倍；(2)最大角是最小角的三倍；

假设存在，求出该三角形；假设不存在，请说明理由．

3．

2

2

8

1

axxb

y

x







的最大值为9，最小值为1，求实数a,b．

4．月利率为，采用等额还款方式，那么假设本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于

的函数关系式〔假设贷款时间为2年〕．

5．对于数列{a

n

}：1,3,3,3,5,5,5,5,5,…，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意

正整数n都有[]

n

arnst恒成立〔[x]表示不超过x的最大整数〕．

2005年复旦大学考试试卷

一、填空题：

1．A=2

2

|10xlogxxR，B=1|221xxxR，ACB=______(CB表示B

在R上的补集)．

2．数x满足1

1



x

x，求_______

1

300

300

x

x．

3．求=53sin5cos的圆心坐标，2,0

4．抛物线2222aaxxy与直线1xy交于A和B两点，AB最大时,a=______．

5．

22lim11

n

nnnn



________．

6．求1+3+6+…＋______

2

)1(



nn

．

7．一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为

________．

8．求10003在十进制中最后4位_____________________．

9．定义在R上的函数f(x)〔x1)满足x

x

x

fxf

















4015

1

2002

2，那么

f(2004)______．

10．求

x

x

y

cos2

sin1





的最大值是__________________．

二、解答题

1．在四分之一个椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

〔x>o,y>0〕上取一点P，使过P点椭圆的切线与坐标轴所

围成的三角形的面积最小．

2．在ΔABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求

AB

AC

．

3．在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，E、F、G点分别为AD、AA

1

、A

1

B

1

中点，

求：(1)B到面EFG距离；(2)二面角G—EF—D

1

平面角．

4．在实数范围内求方程：441073xx的实数根．

5．acossin20a，求nncossin关于a的表达式．

6．直线l与双曲线xy1交于P和Q两点，直线l与x轴交于A，与y轴交于B，求证：

BQAP．

7．定义在R上的函数

24

4





x

x

xf，











































n

n

f

n

f

n

fS

n

121

n=2,3,…

(1)求

n

S；(2)是否存在常数M>0，2n，有

231

111

n

M

SSS



．

2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题

一、填空题〔每题5分，共50分〕

1．矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、

CF，那么AF=____．

2．一个正实数与它的整数局部，小数局部成等比数列，那么这个正实数

是_________．

3．2005！的末尾有连续________个零．

4．210(2)xx展开式中，3x项的系数为__________．

5．在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为

,,,90且，那么塔高为______________．

6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在

一次游戏中，甲获胜的概率为___________．

7．函数2

3

log()(,13)yxaxa在上单调递增，那么实数a的取值范围是

________．

8．51x是的非实数根，2(1)(1)=_____________．

9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值．

A

B

C

F

E

D

10．

2

!(1)!(2)!k

k

a

kkk







，那么数列{}

n

a前100项和为___________．

二、解答题〔第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分〕

11．a,b,cR，abc0，bc，a(bc)x2b(ca)xc(ab)0有两个相等根，

求证：

111

,,

abc

成等差数列．

12．椭圆

2

2

2

1(1)

x

ya

a

，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的

等腰直角三角形，假设存在，求出共有几个，假设不存在，请说明理由．

13．|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值．

14．假设函数形式为(,)()()()(),(),()fxyaxbycxdyaxcx其中为关于x的多项式，

(),()bydy为关于y的多项式，那么称(,)fxy为P类函数，判断以下函数是否是P类函

数，并说明理由．

(1)1+xy；(2)1+xy+x2y2．

15．设3229,29270kxkxkxk解方程．

2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题

1．〔此题20分〕求和：

(1)

7

7777777777

n



个

(2)

2005

2

n



个

2．〔此题15分〕试构造函数f(x),g(x)其定域为〔0,1〕，值域为[0,1]

(1)对于任意a[0,1]，f(x)a只有一解；

(2)对于任意a[0,1]，g(x)a有无穷多个解．

3．〔此题15分〕对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位

数．

4．〔此题15分〕对于任意

12

,,,

n

nNxxx均为非负实数，且

12

1

2n

xxx，

试用数学归纳法证明：

12

1

(1)(1)(1)

2n

xxx成立．

5．〔此题20分〕求证：0212222

2

()()()()nn

nnnnn

CCCCC

．

6．〔此题20分〕a,b满足何条件，可使

2

2

1

22

xaxb

xx







恒成立．

7．〔此题20分〕以下各式能否在实数范围内分解因式？假设能，请作出分解；假设不能，请

说明理由．(1)x+1(2)x2+x+1(3)x3+x2+x+1(4)x4+x3+x2+x+1

8．〔此题20分〕解三角方程：sin()sin29,

4

axxa



为一实常数．

9．〔此题20分〕曲线

2

2:1

4

x

Cy，曲线C关于直线2yx对称的曲线为曲线C



，曲线

C



与曲线C



关于直线

1

5

2

yx对称，求曲线C



、C



的方程．

10．〔此题20分〕抛物线2yax，直线

12

,ll都过点〔1，2〕且互相垂直，假设抛物线与直线

l

1

,l

2

中至少一条相交，求a的取值范围．

11．〔此题15分〕f(x)在[1,)上单调递增，且对任意x,y[1,)，都有f(xy)f(x)f(y)成立，证

明：存在常数k，使f(x)kx在x[1,)上成立．