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概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt

§3.1多维随机变量及其联合分布

在实际问题中,试验结果有时需要同

时用两个或两个以上的r.v.来描述.例如用温度和风力来描述天气情况;通过对含

碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分等.要研究这些r.v.之间的联系，就需考虑

多维r.v.及其取值规律—多维r.v.的分布.

1.多维随机变量定义：设X1,,Xn是定义在同一个样本空间上的随机变

量，则称

,Xn)

为n维随机变量或随机向量。

随机向量的例子掷一颗骰子两次，设示第i次所掷点数，则2维随机向量。表为

研究4到6岁儿童的发育状况时，令表示身高，表示体重，则为2维随机向量。

考虑某商场一天的销售额和顾客数，则为2维随机向量。

2.联合分布函数定义：对任意n个实数以下n个事件同时发生的概率

定义了一个n元函数，称之为为n维随机变量的联合分布函数。主要考虑2维情

形。

分布函数的几何意义

如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.(X,Y)一组可能取值，则F(x,y)表

示(X,Y)取值落入图所示角形区域的概率.y

(x,y)

x

联合分布函数的性质

y

y

x

(x,y)

x

y

x

y

x

②对每个变量单调不减固定x,对任意的y1

F(x0,y0)=F(x0,y0+0)

④对于任意a

事实上F(b,d)–F(b,c)

dcab

–F(a,d)+F(a,c)

任一分布函数都满足上述四条性质，且满足上述四条性质的二元函数一定是某个二

维随机变量的分布函数。

注：性质（4）是二维分布函数特有的，不能由前三条得出（见P135例3.1.1）。

3.联合分布列定义：若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值为有限多个或无穷可列

多个,则称(X,Y)为二维离散型r.v.

设(X,Y)的所有可能的取值为则称

为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布，也简称概率分布或分布列。

显然，上述分布列满足非负性和规范性，即

(X,Y)的联合分布列（表格形式）

X

Y

p11

pi1

y1

yj

p1j

pij

的求法

⑴利用古典概型直接求；⑵利用乘法公式

例1某校新选出的学生

会有6名女生,文、理、工科各占1人、2人、3人，现从中随机指定2人为学生

会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.求(X,Y)的联合分布列.

3.联合密度函数定义设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可

积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有

则称(X,Y)为二维连续型r.v.f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数，简

称概率密度函数简记p.d.f.

x

y

联合密度函数的性质

（3）在F(x,y)的偏导存在的点处

2

若f在(x,y)点处连续，则

若G是平面上的区域，则

G

由重积分化累次积分时要注意积分区间的变化!!

例2设r.v.(X,Y)的联合密度函数为

其他

其中k为常数.求

(1)常数

4.常用多维分布离散情形：1.多项分布进行n次独立重复试验，如果每次试验有

r个可能结果：且记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数，则取的概率为

此时称

服从r项分布，记为

易知上述概率为多项式

展开式的通项，故其和为1.

当r=2时，回到二项分布情形。

多维Poisson分布设r.v.空间上，且定义在同一个样本

其中则称服从参数为的多维Poisson分布。

多维超几何分布

设袋中有N只球，其中有Ni只i号球，i=1,2,…,r，记

从中任取n只，设Xi为取出的i号球的个数，则

其中则称

服从多维超几何分布。

连续情形：多维均匀分布设D为中的有界区域，其度量为若多维随机变量的联

合密度函数为1

其他

则称布，记为

服从D上的多维均匀分

例3考虑一个半径为R的圆，按如下方式随机地在圆内投点：落在圆内任一区域内

的概率只与这个区域的面积有关，与该区域在圆内的位置及形状无关。如果令圆心表示

原点，且令X和Y表示所投点的坐标，设它们的联合密度函数为

(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).

二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

2

则称(X,Y)服从二维正态分布，记为

其中参数满足

二维正态分布图

二维正态分布剖面图

作业习题3.13，5，10