微积分是什么

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辅导答疑

第一章微积分的基础和研究对象

1.问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区

别是什么？

答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世

纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，

用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理

论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经

定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学

都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是

从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多

过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着

眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起

严格的理论基础。在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建

基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今

日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。

微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数

学的范畴。而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。

2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？

答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念

之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不仅

是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。

《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进

行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应

用函数的性质去解决实际问题。

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第二章微积分的直接基础-极限

1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？

答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。如果芝诺的结论是正确

的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经

常见到的现象相违背。

芝诺的说法中有合理的成分：阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过

程--一个无穷的位置变化过程。芝诺的说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌

龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。

芝诺的结论"阿基里斯永远也追不上乌龟"中的"永远"一词，指的当然是"时

间"。条件中谈的是"位置"的变化，结论却谈"时间"，这是芝诺悖论偷梁换柱之所

在。

事实上，阿基里斯追赶乌龟的悖论的解决借助于高等数学的一部分重要内容

---无穷级数，在那里，我们将会看到，尽管是无穷多个数相加，却可以等于一个

有限的数。虽然芝诺将追赶时间一段一段叙述，造成无穷多个时间的迷惑，实际

上，这无穷多个时间的和是个有限的数。从而，阿基里斯在有限的时间内就可以

追赶上乌龟了，这与我们的生活常识一致。

2．问：极限的定性描述和定量描述有何不同之处？

答：极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如，“无限趋近”“越来越靠

近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；为避免直观想

象可能带来的错误判断，作为微积分工具的极限概念，必须有定量描述的精确定

义。

在R.克朗的名著《数学是什么》一书中，数学大师也提到：定量描述极限的

语言接受起来有一定的心理上的困难，但是文科学生要通过这种定量定义，理解、

领悟、欣赏数学语言区别于自然语言的简洁、一义、科学、严谨的方面。

3．问：如何理解连续的概念？连续函数有什么应用？

答：自然界中连续变化的现象是很多的，例如，我们身边的容易理解例子：

空气的流动，植物的生长，温度的变化，这种种现象反映到数学的函数关系上，

就是函数的连续性。实际遇到的情形是：当自变量的改变非常小时，相应的函数

值改变也非常小。例如，气温作为时间的函数，就有这种性质。一天之中的温差

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可能很大，但考虑时间间隔很短的瞬间，温度的改变将是很微小的。

连续函数是大学数学中着重要讨论的一类重要函数。一方面，连续函数是人

们在科学实验，生产实践中经常碰到的一类函数（例如，初等函数在其有定义的

区间内均为连续的）；另一方面，在数学上，人们经常用连续函数去逼近非连续

函数，进而研究非连续函数的性质和近似计算函数值。

第三章变量变化速度与局部改变量估值问题-导数与微分

1.问：导数是如何引进的？举例说明导数的实际运用。

答：在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量变化的快慢程

度。例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就要知道卫星的飞行速度，

要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线的斜率，等等。

求曲线的切线斜率、求速度的问题，叫做求变化率的问题，数学上称为求导

数。

例如，我们可以应用导数的概念，证明旋转抛物面的光学性质。（抛物线绕

它的对称轴旋转所形成的曲面就是旋转抛物面。放在焦点处的光源所发出的光，

经过旋转抛物面各点反射之后就形成平行光束，人们利用这一性质制造需要发射

平行光的灯具，例如，探照灯、汽车前灯等）。

2.问：如何理解微分的概念？

答：可以从多个角度和方面来理解和加深对微分的认识。

1）从几何角度考，微分dxxfdy)(

0



正好是切线函数的增量；

2）从代数角度看，微分dxxfdy)(

0



是增量)()(

00

xfxxfy的线性主

要部分，二者之差是一个高阶无穷小量

)(xo

；

3）有了微分的概念以后，可以把导数的记号

dx

dy

解释为dy与dx之商：

)(

0

xf

dx

dy





，故导数也称为微商；

4）可以利用微分做近似计算和误差估计（dyy），但精度受限。

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第四章导数的应用问题-洛必达法则、函数的性质和图像

1.问：微分学的中值定理的作用？如何运用中值定理解决问题

答：微分中值定理是由函数的局部性质来研究函数的整体性质的桥梁，其应用

十分广泛。

在具体处理问题时，注意首先确定函数以及讨论的区间，判断函数在所讨论的区

间上是否满足中值定理的条件。人们常用中值定理证明某些不等式或者涉及函数

和它的一阶导数的问题。

补充一点：中值定理有三种常用的形式：Rolle中值定理，Lagrange中值定

理，Cauchy中值定理，这三种形式一个比一个适用范围要广。但最常用的还是

Lagrange中值定理，故人们一般提到微分中值定理时均指Lagrange中值定理。

2.问：应用计算不定式极限的一般方法-洛必达法则时，有什么注意事项？

答：1）洛必达法则可以处理7种函数不定式极限，十分好用；但是在

)(

)(

xg

xf





极

限不存在的情况下，洛必达法则失效；故，不能从

)(

)(

xg

xf





极限不存在推出

)(

)(

xg

xf

极

限不存在；

2）尽管洛必达法则只针对未定式是函数的极限形式，但对于未定式是数列

的极限形式，可以通过归结原则将数列极限转化为函数极限，再利用洛必达法则。

（注意：没有数列极限的洛必达法则）

3.问：利用导数研究函数的图像和进行函数图像的绘制与初等数学中的描点作

图的区别是什么？

答：中学《代数》应用描点法绘制了一些简单函数的图像。但是应用描点法得

到的函数是比较粗糙的，这是因为，描点法所选取的点不可能很多，而一些关键

的点，如极值点、拐点等可能被漏掉；曲线的单调性、描述其弯曲性质的凸性等

一些重要性态常常得不到确切的反映。因此，用描点法所描绘的函数图象常与真

实的函数图象相差很多。现在，有了微积分这个工具，我们已经掌握了应用导数

讨论函数单调性、极值、凸性、拐点、渐近线等的方法，再结合前面所讲的周期

性、奇偶性等知识就能比较准确地描绘函数的图像。

注意，利用微积分的方法作图，也具有一定的局限性，更何况许多实际问题

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所得到的函数不一定可以用公式表示的，而只是测得一系列数据，因而数值计算

适当地多算出一些点，然后描点作图，仍不失为一种有效的作图方法。随着电子

计算机的发展和应用的普及，用描点作图就更方便、更精确了。

第五章微积分的逆运算问题-不定积分

1.问：不定积分与原函数是同一个概念吗？

答：不是同一个概念。前者是一个集合，是所有原函数构成的集合，后者是集

合中的一个元素。

2．问：不定积分运算与微分运算（求导运算）有何关系？

答：由不定积分的定义，有如下关系式：

d

dx

fxdxfx[()]()





或

dfxdxfxdx[()]()









FxdxFxC()()

或

dFxFxC()()



由此可见，微分运算(记号为

d

)与不定积分运算(记号为



)是互逆的。当

记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。

3.问：第一类换元积分法与第二类换元积分法有何不同？

答：第一类换元积分法：若连续可导,则

CxFdxxxf

))(()())((

。

第二类换元积分法：设是单调的可微函数,并且又

具有原函数.则有换元公式

不同在于：前者是作变量代换tx)(，后者是作变量代换)(tx。

在求不定积分时，先考虑用第一换元积分法，即凑微分法，如果用此法失效，

再考虑用第二换元积分法。

4.问：在分部积分法如何选取)(),(xvxu？

答：在分部积分公式vduuvudv中，一般来说，选取)(),(xvxu的原则就

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是：使得

dxxuxv)()(

比

dxxvxu)()(

简单，具体说有2个原则：（1）积分容易

者选为dv；（2）求导简单者选为u，在二者不可兼得的情况下，首先要保证的是

前者。在分部积分法中常用凑微分的形式将

dxxv)(



凑成

)(xdv

，因此应熟记常见

的凑微分形式。

5.问：是不是所有的初等函数都可以求出其不定积分？

答：不是。如

dxxdx

x

x

x

dx

2sin,

sin

,

ln

都“积不出来”，它们都不能用初等函数

表示。

第六章求总量的问题-定积分

1.问：定积分与不定积分有何区别？

答：定积分和不定积分有很大的不同，不定积分dxxf)(

表示函数

)(xf

的所有

原函数构成的集合，而b

a

dxxf)(是一个常数。并且定积分有明显的几何意义。但

在计算方法上二者是相通的，各种求不定积分的方法都适用于定积分，结合牛顿

-莱布尼兹公式便可以求得定积分。

2.问：积分中值定理与微分中值定理有何区别？

答：积分中值定理：如果函数

)(xf

在闭区间

],[ba

上连续，则在积分区间

],[ba

上至少存在一点，使下式成立:b

a

abfdxxf)()()(

。

积分中值定理中的在整个闭区间

],[ba

上取值，且结论中含有的是函数

)(xf

在处的函数值

)(f

，而不是函数

)(xf

在处的导数

)(f



。而微分中值定理中

的在开区间),(ba内取值，且结论中含有的是函数

)(xf

在处的导数)(f



。

第七章偶然中蕴含必然的问题-概率统计初步

1．问：随机现象有规律性吗？

答：有。

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例如：在相同条件下，多次重复地抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的次数

大致占总抛掷次数的一半，再如：从婴儿出生的调查来看，男、女婴孩的可能性

各占一半。这种规律性称为统计规律性。在大量试验中才显示出来，不是个别试

验或某个对象显示的特性。

2.问："频率"与"概率"之间有何关系？

答：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定

的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的可能性很小。为了说明这种规律，

我们把这个常数称为这个随机事件的概率，即频率的稳定值就是时间的概率。它

从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下

可近似地作为这个事件的概率。例如，一根棒在一定条件下具有"长度"这一特性，

而我们通常用某次测量的结果作为其长度。

3.问："互斥"与"等可能"的区别是什么？

答："互斥事件"和"等可能事件"是迥然不同的两个概念。在一次试验中，由于

某种对称性条件使得若干个随机事件中每一事件发生的可能性是完全相同的，则

称这些事件为等可能事件。在数目上它可为2个或多个。而互斥事件仅指不可能

同时发生的两个事件。

例如：掷一个均匀骰子，"出现1或2"与"出现2或3"这两个事件是等可能的，

但它们不是互斥事件。

4.问："事件互斥"和"事件对立"的关系如何？

答：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生

的事件。因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就

是说,"互斥"是"对立"的必要但不充分的条件。

例如：掷一个均匀骰子，"出现1点"和"出现2点"是互斥的，但不是对立的，因

为有可能1点和2点都不出现。

又如：掷一个硬币，"出现正面"和"出现反面"是对立的。

5.问：如何理解“两个事件相互独立”这一概念，如何判断两个事件是否相互独

立？

答：在实际生活中，我们常常注意到事件之间的联系。例如：“昨天晚上没休

息好”和“今天考试成绩差”是有联系的。虽然没休息好不一定导致成绩不好，

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但增大了成绩不好的可能性。

“两个事件互不影响”抽象为数学模型，就得到“独立事件”的数学概念，

但我们还要注意两者之间的差别。前一句话，是日常生活用语，是不准确的，如

果用它来代替“独立事件”的概念，就会产生错误。

例如：“广州下雨”和“北京在同一天下雨”这两个事件，看来是互不相关的，

但是它们并不是互相独立的事件。

又如掷一个均匀的骰子，“出现偶数点”和“出现1或2”这两个事件是互

相独立的，但如果骰子不是均匀的，那么这两个事件就不一定互相独立的。

所以，判定两个事件A,B是否相互独立，一般要按定义，即根据条件

)()()(BPAPABP

是否成立来决定。在实际问题中，判断两个事件的独立性常

常可凭经验，只要一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率，或者两个事

件之间没有关联或关联很微弱，就可以认为这两个事件相互独立。

6.问：如何求“至少...”或“至多...”等事件发生的概率？

答：求某个事件的概率时，常遇到求“至少...”或“至多...”等事件概率

的问题。若从正面考察这些事件，它们往往是诸多事件的和或积，求解时很繁琐。

但“至少...”、“至多...”这些事件的对立事件却又比较简单，且其概率也很

容易求出。此时，采用先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率。

7.问：如何正确看待"小概率事件"？

答："小概率事件"通常指发生的概率小于5%的事件。对于这类事件来说，在

大量重复试验中，平均每试验20次才发生1次，所以认为小概率事件在一次试

验中是几乎不可能发生的，这就是人们在长期的实践中总结出来的小概率原理。

不过应注意两点：一是这里的"几乎不可能发生"，是针对"一次试验"来说的，

因为如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用小概率原

理进行推断时，也有5%的犯错误的可能。

8.问：对两个事件A,B，P(A)>P(A|B)是否一定成立？

答：P(A)>P(A|B)不一定成立。可以举一例子，P(A)=0.1,P(B)=0.12,

P(AB)=0.1显然,P(A|B)=)(1.0

12.0

1.0

)(

)(

AP

BP

ABP

.

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第九章含变化率的方程问题-微分方程浅说

1.问：微分方程与我们学过的代数方程有何区别？

答：最大的区别就是微分方程的解一般是一元函数，而代数方程的解是数值。

2.问：什么是微分方程的通解和特解？它们有何区别？

答：若解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称该解为微分方

程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解。二者的区别就在于通解含有

任意常数，而特解不含有任意常数，是满足一定初始条件的解。

3.问：微分方程的通解中所含的任意常数是相互独立的，如何理解？

答：任意常数相互独立是指它们不能合并成一个任意常数而导致通解中任意常

数的个数减少，如在xCCy

21

中

21

,CC就是相互独立的，无法合并成一个任

意常数，而在xCCy)(

21

中

21

,CC就不是相互独立的，因为它们可以合并成一

个任意常数。再如xeCyC)(2

1

中的

21

,CC也不相互独立。