上海上南中学南校初一数学压轴题专题
一、七年级上册数学压轴题
1
．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分
线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:2的两个
角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为
1:3
的两个角
的射线，叫做这个角的四分线
……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图
1
，若2BOCAOB，则OB是AOC的一条三分线；若2AODCOD，
则
OD
是
AOC
的另一条三分线．
（
1
）如图2，OB是
AOC
的三分线，
BOCAOB
，若
60AOC
，则
AOB；
（
2
）如图
3
，
120DOF
，
OE
是
DOF∠
的四分线，
DOEEOF
，过点O作射线
OG，当OG刚好为DOE三分线时，求GOF的度数；
（
3
）如图4，120AOD射线OB、OC是AOD的两条四分线，将
BOC
绕点O沿顺
时针方向旋转
(0180)a
，在旋转的过程中，若射线OB、OC、
OD
中恰好有一条射
线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出
的值．
答案：（
1
）；（
2
）的度数为或；（
3
）的值为或或或
【分析】
（
1
）根据三分线的定义解答即可；
（
2
）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（
3
）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】
解：
解析：（
1
）
20
；（
2
）
GOF
的度数为
60
或
90
；（
3
）
的值为
10
或
45
或
75
或110
【分析】
（
1
）根据三分线的定义解答即可；
（
2
）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；
（
3
）根据四分线的定义分类解答即可．
【详解】
解：（
1
）
∵OB
是
AOC
的三分线，
BOCAOB
，
60AOC
，
∴
1
20
3
AOBAOC
，
故答案为：20；
（
2
）120DOF，OE是DOF∠的四分线，DOEEOF，
3
90
4
DOEDOF
，
OG为
DOE
的三分线，
①
当DOGGOE时，
2
60
3
DOGDOE
，
1206060GOF，
②
当DOGGOE时，
1
30
3
DOGDOE
，
1203090GOF，
综上所述，GOF的度数为60或90，
（
3
）
∵120AOD射线OB、OC是AOD的两条四分线，
∴∠AOB=∠COD=
1
4
∠AOD=30°
，
∠BOC=60°
，
如
①
图，当
OC
是
∠BOD
的四分线时，
∠BOC=
3
4
BOD
,
∠BOD=80°
，
∠COD=20°
，
α=30°-20°=10°
；
如
②
图，当
OD
是
∠BOC
的四分线且
∠BOD>∠COD
时，
∠COD=
1
4
∠BOC=15°
，
α=30°+15°=45°
；
如
③
图，当
OD
是
∠BOC
的四分线且
∠BOD<∠COD
时，
∠COD=
3
4
∠BOC=45°
，
α=30°+45°=75°
；
如
④
图，当
OB
是
∠COD
的四分线时，
∠BOC=
3
4
COD
,
∠COD=80°
，
α=30°+80°=110°
；
的值为
10
或
45
或
75
或110
【点睛】
本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论
思想．
2
．如图一，点
C
在线段
AB
上，图中有三条线段
AB
、AC和BC，若其中一条线段的长度
是另外一条线段长度的2倍，则称点
C
是线段
AB
的
“
巧点
”
．
（
1
）填空：线段的中点这条线段的巧点（填
“
是
”
或
“
不是
”
或
“
不确定是
”
）
（问题解决）
（
2
）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是
20
和
40
，点
C
是线段
AB
的巧点，求点
C
在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（
3
）在（
2
）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿
AB
向点B匀速运动，
同时动点
Q
从点B出发，以每秒4个单位的速度沿
BA
向点A匀速运动，当其中一点到达中
点时，两个点运动同时停止，当A、P、
Q
三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线
段的巧点时，直接写出运动时间
()ts
的所有可能值．
答案：（
1
）是；（
2
）
10
或
0
或
20
；
(3)
；
t=6
；；
t=12
；；．
【分析】
（
1
）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的
2
倍
关系，进行判断即可；
（
2
）由题意设
C
点表示的数为
解析：（
1
）是；（
2
）
10
或
0
或
20
；
(3)
15
2
t
；
t=6
；
60
7
t
；
t=12
；
90
7
t
；
45
4
t
．
【分析】
（
1
）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的
2
倍关系，进行
判断即可；
（
2
）由题意设
C
点表示的数为
x
，再根据新定义列出合适的方程即可；
（
3
）根据题意先用
t
的代数式表示出线段
AP
，
AQ
，
PQ
，再根据新定义列出方程，得出合
适的解即可求出
t
的值．
【详解】
解：（
1
）因原线段是中点分成的短线段的
2
倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（
2
）设
C
点表示的数为
x
，则
AC=x+20
，
BC=40-x
，
AB=40+20=60
，
根据
“
巧点
”
的定义可知：
①
当
AB=2AC
时，有
60=2
（
x+20
），
解得，
x=10
；
②
当
BC=2AC
时，有
40-x=2
（
x+20
），
解得，
x=0
；
③
当
AC=2BC
时，有
x+20=2
（
40-x
），
解得，
x=20
．
综上，
C
点表示的数为
10
或
0
或
20
；
（
3
）由题意得
606010
2604
6601015
tt
APtAQtPQ
tt
，，
＜
，
（
i
）、若
0≤t≤10
时，点
P
为
AQ
的
“
巧点
”
，有
①
当
AQ=2AP
时，
60-4t=2×2t
，
解得，
15
2
t
，
②
当
PQ=2AP
时，
60-6t=2×2t
，
解得，
t=6
；
③
当
AP=2PQ
时，
2t=2
（
60-6t
），
解得，
60
7
t
；
综上，运动时间
()ts
的所有可能值有
15
2
t
；
t=6
；
60
7
t
；
（
ii
）、若
10
＜
t≤15
时，点
Q
为
AP
的
“
巧点
”
，有
①
当
AP=2AQ
时，
2t=2×
（
60-4t
），
解得，
t=12
；
②
当
PQ=2AQ
时，
6t-60=2×
（
60-4t
），
解得，
90
7
t
；
③
当
AQ=2PQ
时，
60-4t=2
（
6t-60
），
解得，
45
4
t
．
综上，运动时间
()ts
的所有可能值有：
t=12
；
90
7
t
；
45
4
t
．
故，运动时间
()ts
的所有可能值有：
15
2
t
；
t=6
；
60
7
t
；
t=12
；
90
7
t
；
45
4
t
．
【点睛】
本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距
离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
3
．
“
数形结合
”
是重要的数学思想．请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（
1
）一般地，数轴上表示数
m
和数
n
的两点之间的距离等于
│m
－
n│
．如果表示数
a
和－
2
的两点之间的距离是
3
，记作
│a
－
(
－
2)│
＝
3
，那么
a
＝．
（
2
）利用绝对值的几何意义，探索
│a
＋
4│
＋
│a
－
2│
的最小值为
______
，若
│a
＋
4│
＋
│a
－
2│
＝
10
，则
a
的值为
________
．
（
3
）当
a＝______
时，
│a
＋
5│
＋
│a
－
1│
＋
│a
－
4│
的值最小．
（
4
）如图，已知数轴上点
A
表示的数为
4
，点
B
表示的数为
1
，
C
是数轴上一点，且
AC
＝
8
，动点
P
从点
B
出发，以每秒
6
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t(t
0)
秒．点
M
是
AP
的中点，点
N
是
CP
的中点，点
P
在运动过程中，线段
MN
的长度是
否发生变化
?
若变化，请说明理由；若不变，求线段
MN
的长度．
答案：（
1
）
1
或
-5
；（
2
）
6
，
4
或
-6
；（
3
）
1
；（
4
）不变，线段
MN
的长度为
4
【分析】
（
1
）根据两点间的距离公式，到－
2
点距离是
3
的点有两个，即可求解；
（
2
）当点
a
在点
-4
和点
2
之间时，的值最小
解析：（
1
）
1
或
-5
；（
2
）
6
，
4
或
-6
；（
3
）
1
；（
4
）不变，线段
MN
的长度为
4
【分析】
（
1
）根据两点间的距离公式，到－
2
点距离是
3
的点有两个，即可求解；
（
2
）当点
a
在点
-4
和点
2
之间时，42aa的值最小；分两种情况，
4a
或
2a
，
化简绝对值即可求得；
（
3
）根据
514aaa
表示点
a
到﹣
5
，
1
，
4
三点的距离的和，即可求解；
（
4
）因为点
A
表示的数为
4
和
AC
＝
8
，所以点
C
表示的数为
-4
，点
P
表示的数为（
1-
6t
），则点
M
表示的数为
4+1-6
2
t
，点
N
表示的数为
-4+1-6
2
t
，两数相减取绝对值即可
求得．
【详解】
（
1
）
∵2=3a
∴a
－
(
－
2)
＝
3
或
a
－
(
－
2)
＝
-3
解得
a=1
或
-5
故答案为：
1
或
-5
（
2
）当点
a
在点
-4
和点
2
之间时，42aa的值最小
∵
数
a
的点位于
-4
与
2
之间
∴a+4
＞
0
，
a-2
＜
0
∴42aa
=a+4-a+2
=6
；
当4a时
a+4
＜
0
，
a-2
＜
0
∴42aa
=-42aa
=2-2a
=10
解得
a=-6
当
2a
时
a+4
＞
0
，
a-2
＞
0
∴42aa
=4+2aa
=2+2a
=10
解得
a=4
故答案为：
6
，
4
或
-6
（
3
）根据
514aaa
表示一点到
-5
，
1
，
4
三点的距离的和．
所以当
a=1
时，式子的值最小
此时
514aaa
的最小值是
9
故答案为：
1
（
4
）
∵AC
＝
8
∴
点
C
表示的数为
-4
又
∵
点
P
表示的数为（
1-6t
）
∴
则点
M
表示的数为
4+1-6
2
t
，点
N
表示的数为
-4+1-6
2
t
∴
4+1-6-4+1-6
4
22
tt
MN
．
∴
线段
MN
的长度不发生变化，其值为
4
．
【点睛】
此题考查绝对值的意义、数轴、结合数轴求两点之间的距离，掌握数形结合的思想是解决
此题的关键．
4
．已知实数a
，b，
c
在数轴上所对应的点分别为
A
，
B
，
C
，其中
b
是最小的正整数，且
a
，b，
c
满足
2520cab．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点
A
与点
B
之间的距离可表示为
AB
．
（
1
）
a
，b，
c
；
（
2
）点
A
，
B
，
C
开始在数轴上运动，若点
A
以每秒
1
个单位长度的速度向左运动，同
时，点
B
以每秒
2
个单位长度的速度向右运动，点
C
以每秒
5
个单位长度的速度向右运
动，假设运动时间为
t
秒，则AB，BC；（结果用含
t
的代数式表示）这种情
况下，BCAB的值是否随着时间
t
的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其
值；
（
3
）若
A
，
C
两点的运动和（
2
）中保持不变，点
B
变为以每秒
n
（
0n
）个单位长度的
速度向右运动，当
3t
时，
2ACBC
，求
n
的值．
答案：（
1
）
-2
，
1
，
5
；（
2
）不变，值为
1
；（
3
）或
【分析】
（
1
）根据
b
是最小的正整数，即可确定
b
的值，然后根据非负数的性质，几个
非负数的和是
0
，则每个数是
0
，即可求得
a
，
b
，
c
的值；
（
2
）用关于
解析：（
1
）
-2
，
1
，
5
；（
2
）不变，值为
1
；（
3
）
13
6
或
21
2
【分析】
（
1
）根据
b
是最小的正整数，即可确定
b
的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的
和是
0
，则每个数是
0
，即可求得
a
，
b
，
c
的值；
（
2
）用关于
t
的式子表示
BC
和
AB
即可求解；
（
3
）分别求出当
t=3
时，
A
、
B
、
C
表示的数，得到
AC
和
BC
，根据
AC=2BC
列出方长，解
之即可．
【详解】
解：（
1
）
∵
2520cab，
b
是最小的正整数，
∴c-5=0
，
a+2b=0
，
b=1
，
∴a=-2
，
b=1
，
c=5
，
故答案为：
-2
，
1
，
5
；
（
2
）
∵
点
A
以每秒
1
个单位长度的速度向左运动，同时，点
B
和点
C
分别以每秒
2
个单
位长度和
5
个单位长度的速度向右运动，
∴t
秒后，
A
表示的数为
-t-2
，
B
表示的数为
2t+1
，
C
表示的数为
5t+5
，
∴BC=5t+5-
（
2t+1
）
=3t+4
，
AB=2t+1-
（
-t-2
）
=3t+3
，
∴BC-AB=3t+4-
（
3t+3
）
=1
，
∴BC-AB
的值不会随着时间
t
的变化而改变，
BC-AB=1
；
（
3
）当
t=3
时，
点
A
表示
-2-3=-5
，点
B
表示
1+3n
，点
C
表示
5+5×3=20
，
∴AC=20-
（
-5
）
=25
，
BC=
2013n193n
，
∵AC=2BC
，
则
25=2
193n
，
则
25=2
（
19-3n
），或
25=2
（
3n-19
），
解得：
n=
13
6
或
21
2
．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解
AB
，
BC
的变化情况是
关键．
5
．在数轴上，点
A
向右移动
1
个单位得到点
B
，点
B
向右移动1n
（
n
为正整数）个单
位得到点
C
，点
A，B
，
C
分别表示有理数
a
，
b
，
c
；
（
1
）当
1n
时，
①
点
A，B
，
C
三点在数轴上的位置如图所示，
a
，
b
，
c
三个数的乘积为正数，数轴上原点
的位置可能（）
A
．在点
A
左侧或在
A
，
B
两点之间
B
．在点
C
右侧或在
A
，
B
两点之间
C
．在点
A
左侧或在
B
，
C
两点之间
D
．在点
C
右侧或在
B
，
C
两点之间
②
若这三个数的和与其中的一个数相等，求
a
的值；
（
2
）将点
C
向右移动2n
个单位得到点
D
，点
D
表示有理数
d
，若
a
、
b
、
c
、
d
四个数
的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且
a
为整数，请写出
n
与
a
的关系
式．
答案：（
1
）
①C
；
②-2
或或；（
2
）当为奇数时，，当为偶数时，
【分析】
（
1
）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（
2
）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表
解析：（
1
）
①C
；
②-2
或
3
2
或
1
2
；（
2
）当
n
为奇数时，
3
2
n
a
，当
n
为偶数时，
2
2
n
a
【分析】
（
1
）把
1n
代入即可得出
1AB
，
2BC
，再根据
a
、
b
、
c
三个数的乘积为正数即可选
择出答案；
（
2
）分两种情况讨论：当
n
为奇数时；当
n
为偶数时；用含
n
的代数式表示
a
即可．
【详解】
解：（
1
）
①
把
1n
代入即可得出
1AB
，
2BC
，
a
、b、
c
三个数的乘积为正数，
从而可得出在点A左侧或在B、
C
两点之间．
故选
C
；
②1ba，3ca，
当13aaaa时，2a，
当131aaaa时，
3
2
a
，
当133aaaa时，
1
2
a
；
（
2
）依据题意得，1ba，12cbnan，224dcnan．
a
、b、
c
、
d
四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
0ac或0bc．
2
2
n
a
或
3
2
n
a
；
a
为整数，
当
n
为奇数时，
3
2
n
a
，当
n
为偶数时，
2
2
n
a
．
【点睛】
本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把
“
数
”
和
“
形
”
结合起来，二者互相补
充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数
学思想．
6
．阅读下面的材料并解答问题：
A点表示数a
，B点表示数
b
，
C
点表示数
c
，且点A到点B的距离记为线段
AB
的长，线
段
AB
的长可以用右边的数减去左边的数表示，即ABba．
若b是最小的正整数，且ab、满足250cab．
（
1
）
b_________
，
c
__________
．
（
2
）若将数轴折叠，使得A与
C
点重合：
①
点B与数
_________
表示的点重合；
②
若数轴上
PQ、
两点之间的距离为
2018
（P在
Q
的左侧），且
PQ、
两点经折叠后重
合，则
PQ、
两点表示的数是
_______
、
__________
．
（
3
）点
、、ABC
开始在数轴上运动，若点A以每秒
2
个单位长度的速度向左运动，同时
点B和点
C
分别以每秒
1
个单位长度和
3
个单位长度的速度向右运动，设运动时间为
t
秒，
试探索：
35ACAB
的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请
求出其值．
答案：（
1
）
1
，
5
；（
2
）
①3
；
②-1007
，
1011
；（
3
）不变，值为
8
【分析】
（
1
）利用非负性可求解；
（
2
）
①
由中点坐标公式可求
AC
的中点表示的数是
2
，由折叠的性质可求解；
②
由折叠的性质可求解
解析：（
1
）
1
，
5
；（
2
）
①3
；
②-1007
，
1011
；（
3
）不变，值为
8
【分析】
（
1
）利用非负性可求解；
（
2
）
①
由中点坐标公式可求
AC
的中点表示的数是
2
，由折叠的性质可求解；
②
由折叠的性质可求解；
（
3
）利用两点距离公式分别求出
AC
，
AB
，表示出
3AC-5AB
，再化简即可求解．
【详解】
解：（
1
）
∵b
是最小的正整数，
∴b=1
，
∵
（
c-5
）2+|a+b|=0
．
∴c=5
，
a=-b=-1
，
故答案为：
1
，
5
；
（
2
）
①∵
将数轴折叠，使得
A
与
C
点重合：
∴AC
的中点表示的数是（
-1+5
）
÷2=2
，
∴
与点
B
重合的数
=2-1+2=3
；
②
点
P
表示的数为
2-2018÷2=-1007
，
点
Q
表示的数为
2+2018÷2=1011
，
故答案为：
-1007
，
1011
；
（
3
）
3AC-5AB
的值不变．
理由是：
点
A
表示的数为：
-1-2t
，
点
B
表示的数为：
1+t
，
点
C
表示的数为：
5+3t
，
∴AC=5+3t-
（
-1-2t
）
=6+5t
，
AB=1+t-
（
-1-2t
）
=2+3t
，
3AC-5AB=3
（
6+5t
）
-5
（
2+3t
）
=8
，
所以
3AC-5AB
的值不变，为
8
．
【点睛】
本题考查了数轴，非负性，折叠的性质，两点距离公式，灵活运用这些性质解决问题是本
题的关键．
7
．已知数轴上点
A
对应的数为
6
，点
B
在点
A
右侧，且
,AB
两点间的距离为
8
．点
P
为
数轴上一动点，点
C
在原点位置．
（
1
）点
B
的数为
____________
；
（
2
）
①
若点
P
到点
A
的距离比到点
B
的距离大
2
，点
P
对应的数为
_________
；
②
数轴上是否存在点
P
，使点
P
到点
A
的距离是点
P
到点
B
的距离的
2
倍？若存在，求出
点
P
对应的数；若不存在，请说明理由；
（
3
）已知在数轴上存在点
P
，当点
P
到点
A
的距离与点
P
到点
C
的距离之和等于点
P
到点
B
的距离时，点
P
对应的数为
___________
；
答案：（
1
）
2
；（
2
）
①-1
；
②
或
10
；（
3
）
-8
和
-4
【分析】
（
1
）根据数轴上两点之间的距离可得结果；
（
2
）
①
根据点
P
相对于
A
、
B
的不同位置分类讨论即可；
②
分点
P
在点
A
的左侧，点
P
在
A
、
B
之间，
解析：（
1
）
2
；（
2
）
①-1
；
②
2
3
或
10
；（
3
）
-8
和
-4
【分析】
（
1
）根据数轴上两点之间的距离可得结果；
（
2
）
①
根据点
P
相对于
A
、
B
的不同位置分类讨论即可；
②
分点
P
在点
A
的左侧，点
P
在
A
、
B
之间，点
P
在点
B
右侧三种情况，列方程求解；
（
3
）分点
P
在点
A
左侧，点
P
在
A
、
O
之间，点
P
在
O
、
B
之间，点
P
在点
B
右侧四种情
况，列方程求解，根据结果进行判断．
【详解】
解：（
1
）
∵
点
A
对应的数为
-6
，点
B
在点
A
右侧，
A
，
B
两点间的距离为
8
，
∴-6+8=2
，
即点
B
表示的数为
2
；
（
2
）
①
设点
P
表示的数为
x
，
当点
P
在点
A
的左侧，
PA
＜
PB
，不符合；
当点
P
在
A
、
B
之间，
x-
（
-6
）
=2-x+2
，
解得：
x=-1
；
当点
P
在点
B
右侧，
PA-PB=AB=8
，不符合；
故答案为：
-1
；
②
当点
P
在点
A
的左侧，
PA
＜
PB
，不符合；
当点
P
在
A
、
B
之间，
x-
（
-6
）
=2
（
2-x
），
解得：
x=
2
3
；
当点
P
在点
B
右侧，
x-
（
-6
）
=2
（
x-2
），
解得：
x=10
；
∴P
对应的数为
2
3
或
10
；
（
3
）当点
P
在点
A
左侧时，
-6-x+0-x=2-x
，
解得：
x=-8
；
当点
P
在
A
、
O
之间时，
x-
（
-6
）
+0-x=2-x
，
解得：
x=-4
；
当点
P
在
O
、
B
之间时，
x-
（
-6
）
+x-0=2-x
，
解得：
x=
4
3
，不符合；
当点
P
在点
B
右侧时，
x-
（
-6
）
+x-0=x-2
，
解得：
x=-8
，不符合；
综上：点
P
表示的数为
-8
和
-4
．
【点睛】
本题考查了一元一次的方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是本题的关
键．
8
．如图，已知
∠AOB=120°
，射线
OP
从
OA
位置出发，以每秒
2°
的速度顺时针向射线
OB
旋转；与此同时，射线
OQ
以每秒
6°
的速度，从
OB
位置出发逆时针向射线
OA
旋转，到达
射线
OA
后又以同样的速度顺时针返回，当射线
OQ
返回并与射线
OP
重合时，两条射线同
时停止运动
.
设旋转时间为
t
秒．
（
1
）当
t=2
时，求
∠POQ
的度数；
（
2
）当
∠POQ=40°
时，求
t
的值；
（
3
）在旋转过程中，是否存在
t
的值，使得
∠POQ=
1
2
∠AOQ
？若存在，求出
t
的值；若不
存在，请说明理由．
答案：（
1
）
∠POQ=104°
；（
2
）当
∠POQ=40°
时，
t
的值为
10
或
20
；（
3
）存
在，
t=12
或或，使得
∠POQ=∠AOQ
．
【分析】
当
OQ
，
OP
第一次相遇时，
t=15
；当
OQ
刚到达
OA
时，
t=
解析：（
1
）
∠POQ=104°
；（
2
）当
∠POQ=40°
时，
t
的值为
10
或
20
；（
3
）存在，
t=12
或
180
11
或
180
7
，使得
∠POQ=
1
2
∠AOQ
．
【分析】
当
OQ
，
OP
第一次相遇时，
t=15
；当
OQ
刚到达
OA
时，
t=20
；当
OQ
，
OP
第二次相遇时，
t=30
；
（
1
）当
t=2
时，得到
∠AOP=2t=4°
，
∠BOQ=6t=12°
，利用
∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ
求出
结果即可；
（
2
）分三种情况：当
0≤t≤15
时，当
15
＜
t≤20
时，当
20
＜
t≤30
时，分别列出等量关系式
求解即可；
（
3
）分三种情况：当
0≤t≤15
时，当
15
＜
t≤20
时，当
20
＜
t≤30
时，分别列出等量关系式
求解即可．
【详解】
解：当
OQ
，
OP
第一次相遇时，
2t+6t=120
，
t=15
；
当
OQ
刚到达
OA
时，
6t=120
，
t=20
；
当
OQ
，
OP
第二次相遇时，
2t6t=120+2t
，
t=30
；
（
1
）当
t=2
时，
∠AOP=2t=4°
，
∠BOQ=6t=12°
，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（
2
）当
0≤t≤15
时，
2t+40+6t=120
，
t=10
；
当
15
＜
t≤20
时，
2t+6t=120+40
，
t=20
；
当
20
＜
t≤30
时，
2t=6t-120+40
，
t=20
（舍去）；
答：当
∠POQ=40°
时，
t
的值为
10
或
20.
（
3
）当
0≤t≤15
时，
120-8t=
1
2
(120-6t
），
120-8t=60-3t
，
t=12
；
当
15
＜
t≤20
时，
2t–(120-6t
）
=
1
2
(120-6t
），
t=
180
11
.
当
20
＜
t≤30
时，
2t–(6t-120
）
=
1
2
(6t-120
），
t=
180
7
.
答：存在
t=12
或
180
11
或
180
7
，使得
∠POQ=
1
2
∠AOQ.
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间
的方程．
9
．如图，在数轴上
A
点表示数
a
，
B
点示数
b
，
C
点表示数
c
，
b
是最小的正整数，且
a
、
c
满足
|a+2|+
（
c
﹣
7
）2=0
．
（
1
）
a=
，
b=
，
c=
；
（
2
）若将数轴折叠，使得
A
点与
C
点重合，则点
B
与数表示的点重合；
（
3
）点
A
、
B
、
C
开始在数轴上运动，若点
A
以每秒
1
个单位长度的速度向左运动，同
时，点
B
和点
C
分别以每秒
2
个单位长度和
4
个单位长度的速度向右运动，假设
t
秒钟过
后，若点
A
与点
B
之间的距离表示为
AB
，点
A
与点
C
之间的距离表示为
AC
，点
B
与点
C
之间的距离表示为
BC
．则
AB=
，
AC=
，
BC=
．（用含
t
的代数式表示）
（
4
）请问：
3BC
﹣
2AB
的值是否随着时间
t
的变化而改变？若变化，请说明理由；若不
变，请求其值．
答案：（
1
）
-2
，
1
，
c=7
；（
2
）
4
；（
3
）
3t+3
，
5t+9
，
2t+6
；（
4
）不变，
3BC
﹣
2AB=12
．
【分析】
（
1
）利用
|a
＋
2|
＋（
c−7
）
2
＝
0
，得
a
＋
2
＝
0
，
c−7
＝
0
，解得
a
，
c
解析：（
1
）
-2
，
1
，
c=7
；（
2
）
4
；（
3
）
3t+3
，
5t+9
，
2t+6
；（
4
）不变，
3BC
﹣
2AB=12
．
【分析】
（
1
）利用
|a
＋
2|
＋（
c−7
）
2
＝
0
，得
a
＋
2
＝
0
，
c−7
＝
0
，解得
a
，
c
的值，由
b
是最小的正
整数，可得
b
＝
1
；
（
2
）先求出对称点，即可得出结果；
（
3
）
AB
原来的长为
3
，所以
AB
＝
t
＋
2t
＋
3
＝
3t
＋
3
，再由
AC
＝
9
，得
AC
＝
t
＋
4t
＋
9
＝
5t
＋
9
，由原来
BC
＝
6
，可知
BC
＝
4t−2t
＋
6
＝
2t
＋
6
；
（
4
）由
3BC−2AB
＝
3
（
2t
＋
6
）
−2
（
3t
＋
3
）求解即可．
【详解】
（
1
）
∵|a
＋
2|
＋（
c−7
）2＝
0
，
∴a
＋
2
＝
0
，
c−7
＝
0
，
解得
a
＝
−2
，
c
＝
7
，
∵b
是最小的正整数，
∴b
＝
1
；
故答案为：
−2
；
1
；
7
．
（
2
）（
7
＋
2
）
÷2
＝
4.5
，
对称点为
7−4.5
＝
2.5
，
2.5
＋（
2.5−1
）＝
4
；
故答案为：
4
．
（
3
）依题意可得
AB
＝
t
＋
2t
＋
3
＝
3t
＋
3
，
AC
＝
t
＋
4t
＋
9
＝
5t
＋
9
，
BC
＝
2t
＋
6
；
故答案为：
3t
＋
3
；
5t
＋
9
；
2t
＋
6
．
（
4
）不变．
3BC−2AB
＝
3
（
2t
＋
6
）
−2
（
3t
＋
3
）＝
12
．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特
点能求出两点间的距离．
10
．如果两个角的差的绝对值等于
60°
，就称这两个角互为
“
伙伴角
”
，其中一个角叫做另一
个角的
“
伙伴角
”
（本题所有的角都指大于
0°
小于
180°
的角），例如
180
，
220
，
|12|60∠∠
，则
1
和2互为
“
伙伴角
”
，即
1
是2的
“
伙伴角
”
，2也是
1
的
“
伙伴
角
”
．
（
1
）如图
1
．
O
为直线
AB
上一点，90AOCEOD，
60∠AOE=
，则AOE的
“
伙伴
角
”
是
_______________
．
（
2
）如图
2
，
O
为直线
AB
上一点，AOC30，将BOC绕着点
O
以每秒
1°
的速度逆时
针旋转得DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点
O
以每秒
4°
的速度逆时针旋
转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为
t
秒，求当
t
何值时，
POD与POE互为
“
伙伴角
”
．
（
3
）如图
3
，
160AOB
，射线
OI
从OA的位置出发绕点
O
顺时针以每秒
6°
的速度旋
转，旋转时间为
t
秒
170
(0)
3
t，射线OM平分AOI，射线ON平分BOI，射线OP平
分
MON
．问：是否存在
t
的值使得AOI与POI互为
“
伙伴角
”
？若存在，求出
t
值；
若不存在，请说明理由．
答案：（
1
）；（
2
）
t
为
35
或
15
；（
3
）存在，当
t=
或时，与互为
“
伙伴角
”
．
【分析】
（
1
）按照
“
伙伴角
”
的定义写出式子，解方程即可求解；
（
2
）通过时间
t
把与表示出来，根据与互为
“
伙伴角
”
，列出方程
解析：（
1
）EOB；（
2
）
t
为
35
或
15
；（
3
）存在，当
t=
100
9
或
430
9
时，AOI与POI
互为
“
伙伴角
”
．
【分析】
（
1
）按照
“
伙伴角
”
的定义写出式子，解方程即可求解；
（
2
）通过时间
t
把
AOI
与
POI
表示出来，根据
AOI
与
POI
互为
“
伙伴角
”
，列出方
程，解出时间
t
；
（
3
）根据
OI
在
∠AOB
的内部和外部以及
∠AOP
和
∠AOI
的大小分类讨论，分别画出对应
的图形，由旋转得出经过
t
秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出
∠AOI
和
∠POI
及
“
伙伴角
”
的定义求出结果即可．
【详解】
解：（
1
）
∵
两个角差的绝对值为
60°
，
则此两个角互为
“
伙伴角
”
，
而
60∠AOE=
，
∴
设其伙伴角为x，
||60AOEx，
则120x，
由图知120EOB，
∴AOE
的伙伴角是EOB．
（
2
）
∵BOC绕
O
点，
每秒
1°
逆时针旋转得
DOE
，
则
t
秒旋转了t，
而OP从OA开始逆时针绕
O
旋转且每秒
4°
，
则
t
秒旋转了4t，
∴
此时PODPOCCOD
304tt
303t，
POEPOBBOE
1804tt
1803t，
又OP与OB重合时旋转同时停止，
∴4180t，
45t（秒），
又
POD
与
POE
互为伙伴角，
∴||60PODPOE，
∴
303180360tt
，
∴
615060t
，
35t秒或
15
秒．
答：
t
为
35
或
15
时，
POD
与
POE
互为伙伴角．
（
3
）
①
若
OI
在
∠AOB
的内部且
OI
在
OP
左侧时，即
∠AOP
＞
∠AOI
，如下图所示
∵OI从OA出发绕
O
顺时针每秒
6°
旋转，则
t
秒旋转了
6t
，
∴6AOIt°
，
∵OM平分AOI，
∴∠AOM=∠IOM=
1
2
AOI
=3t°
此时
6t
＜
160
解得：
t
＜
80
3
∵
射线ON平分BOI，
∴∠ION=
1
2
BOI
∴∠MON=∠IOM
＋
∠ION=1
2
（AOI＋BOI）
=
1
2
∠AOB=80°
∵
射线OP平分MON
∴∠POM=1
2
MON=40°
∴∠POI=∠POM
－
∠IOM=40°
－
3t
根据题意可得
||60AOIPOI∠∠
即|6403|60tt
解得：
t=
100
9
或
20
9
（不符合实际，舍去）
∴
此时
∠AOI=6×
100
9
=
200
3
°
∠AOP=∠AOM
＋
∠MOP=
（
3×
100
9
）
°
＋
40°=
220
3
＞
∠AOI
，符合前提条件
∴t=
100
9
符合题意；
②
若
OI
在
∠AOB
的内部且
OI
在
OP
右侧时，即
∠AOP
＜
∠AOI
，如下图所示
∵OI从OA出发绕
O
顺时针每秒
6°
旋转，则
t
秒旋转了
6t
，
∴6AOIt°
，
∵OM平分AOI，
∴∠AOM=∠IOM=
1
2
AOI
=3t°
此时
6t
＜
160
解得：
t
＜
80
3
∵
射线ON平分BOI，
∴∠ION=
1
2
BOI
∴∠MON=∠IOM
＋
∠ION=1
2
（AOI＋BOI）
=
1
2
∠AOB=80°
∵
射线OP平分MON
∴∠POM=1
2
MON=40°
∴∠POI=∠IOM
－
∠POM=3t
－
40°
根据题意可得
||60AOIPOI∠∠
即|6340|60tt
解得：
t=
20
3
或
100
3
（不符合实际，舍去）
∴
此时
∠AOI=6×
20
3
=40°
∠AOP=∠AOM
＋
∠MOP=
（
3×
20
3
）
°
＋
40°=60°
＞
∠AOI
，不符合前提条件
∴t=
20
3
不符合题意，舍去；
③
若
OI
在
∠AOB
的外部但
OI
运动的角度不超过
180°
时，如下图所示
∵OI从OA出发绕
O
顺时针每秒
6°
旋转，则
t
秒旋转了
6t
，
∴6AOIt°
，
∵OM平分AOI，
∴∠AOM=∠IOM=
1
2
AOI
=3t°
此时
1606180t
解得：
80
3
＜
t≤30
∵
射线ON平分BOI，
∴∠ION=
1
2
BOI
∴∠MON=∠IOM
－
∠ION=1
2
（AOI－BOI）
=
1
2
∠AOB=80°
∵
射线OP平分MON
∴∠POM=1
2
MON=40°
∴∠POI=∠IOM
－
∠POM=3t
－
40°
根据题意可得
||60AOIPOI∠∠
即|6340|60tt
解得：
t=
20
3
（不符合前提条件，舍去）或
100
3
（不符合实际，舍去）
∴
此时不存在
t
值满足题意；
④
若
OI
运动的角度超过
180°
且
OI
在
OP
右侧时，即
∠AOI
＞
∠AOP
如下图所示
此时
6180t
解得：
t
＞
30
∵OI从OA出发绕
O
顺时针每秒
6°
旋转，则
t
秒旋转了
6t
，
∴3606AOIt，
∵OM平分AOI，
∴∠AOM=∠IOM=
1
2
AOI
=180°
－
3t
∵
射线ON平分BOI，
∴∠ION=
1
2
BOI
∴∠MON=∠IOM
＋
∠ION=1
2
（AOI＋BOI）
=
1
2
（
360°
－
∠AOB
）
=100°
∵
射线OP平分MON
∴∠POM=1
2
MON=50°
∴∠POI=∠IOM
－
∠POM=130°
－
3t
根据题意可得
||60AOIPOI∠∠
即|36061303|60tt
解得：
t=
170
3
（不符合
170
0
3
t，舍去）或
290
3
（不符合
170
0
3
t，舍去）
∴
此时不存在
t
值满足题意；
⑤
若
OI
运动的角度超过
180°
且
OI
在
OP
左侧时，即
∠AOI
＜
∠AOP
，如下图所示
此时
6180t
解得：
t
＞
30
∵OI从OA出发绕
O
顺时针每秒
6°
旋转，则
t
秒旋转了
6t
，
∴3606AOIt，
∵OM平分AOI，
∴∠AOM=∠IOM=
1
2
AOI
=180°
－
3t
∵
射线ON平分BOI，
∴∠ION=
1
2
BOI
∴∠MON=∠IOM
＋
∠ION=1
2
（AOI＋BOI）
=
1
2
（
360°
－
∠AOB
）
=100°
∵
射线OP平分MON
∴∠POM=1
2
MON=50°
∴∠POI=∠POM
－
∠IOM=3t
－
130°
根据题意可得
||60AOIPOI∠∠
即|36063130|60tt
解得：
t=
430
9
或
550
9
（不符合
170
0
3
t，舍去）
∴
此时
∠AOI=360°
－
6×
430
9
=
220
3
°
∠AOP=∠AOM
＋
∠MOP=180°
－（
3×
430
9
）
°
＋
50°=
260
3
°
＞
∠AOI
，符合前提条件
∴t=
430
9
符合题意；
综上：当
t=
100
9
或
430
9
时，
AOI
与
POI
互为
“
伙伴角
”
．
【点睛】
本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的
关键是利用
“
伙伴角
”
列出一元一次方程求解．
11
．如图
1
，在AOB内部作射线OC，
OD
，OC在
OD
左侧，且2AOBCOD．
（
1
）图
1
中，若
160,AOBOE
平分
,AOCOF
平分
BOD
，则EOF______
；
（
2
）如图
2
，
OE
平分AOD，探究
BOD
与COE之间的数量关系，并证明；
（
3
）设CODm，过点
O
作射线
OE
，使OC为
AOE
的平分线，再作COD的角平分
线OF，若3EOCEOF，画出相应的图形并求
AOE
的度数（用含
m
的式子表示）．
答案：（
1
）
120
；（
2
），见解析；（
3
）见解析，或
【分析】
（
1
）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（
2
）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（
3
）根据角
解析：（
1
）
120
；（
2
）2BODAOE，见解析；（
3
）见解析，
3
4
m
或
3
2
m
【分析】
（
1
）根据角平分线的性质得到
11
,
22
AOECOEAOCDOFBOFBOD
，再
结合已知条件即可得出答案；
（
2
）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（
3
）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即
可．
【详解】
解：（
1
）
∵160AOB，
2AOBCOD
，
∴80COD，
∴80AOCBOD，
∵OE平分,AOCOF
平分
BOD
，
∴
11
,
22
AOECOEAOCDOFBOFBOD
，
∴
1
()40
2
COEDOFAOCBOD
，
∴120EOFCOEFODCOD，
故答案为：
120
；
（
2
）2BODAOE．
证明：
∵OE平分AOD，
∴2AODEOD，
∵CODCOEODE，
∴EODCODCOE．
∴(22)2AODCODCOECODCOE
．
∵2AOBCOD，
∴2AODAOBCOE．
∵BODAOBAOD，
∴22()BODAOBAOBCOECOE
，
∴BOD2COE；
（
3
）如图
1
，当
OE
在OF的左侧时，
∵OF平分COD，
∴
1
2
COFCOD
，CODm，
∴
1
2
COFm
，
∵COFCOEEOF，3COEEOF，
∴
1
4
2
COFEOFm
，
∴
1
8
EOFm
，
∴
3
3
8
COEEOFm
．
∵OC为AOE的平分线，
∴2AOECOE．
∴
3
4
AOEm
；
如图
2
，当
OE
在OF的右侧时，
∵OF平分COD，
∴
1
2
COFCOD
，
∵CODm，
∴
1
2
COFm
，
∵COFCOEEOF，3COEEOF，
∴
1
2
2
COFEOFm
，
∴
1
4
EOFm
，
∴
3
3
4
COEEOFm
．
∵OC为AOE的平分线，
3
2
2
AOECOEm
．
综上所述，AOE的度数为
3
4
m
或
3
2
m
．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之
间的数量关系．
12
．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB和OCD）的两个顶点重合于点O，
90AOB
，30COD
（
1
）如图
1
，将三角尺COD绕点O逆时针方向转动，当OB恰好平分COD时，求
AOC
的度数；
（
2
）如图
2
，当三角尺OCD摆放在
AOB
内部时，作射线
OM
平分
AOC
，射线ON平分
BOD
，如果三角尺OCD在
AOB
内绕点O任意转动，
MON
的度数是否发生变化？如
果不变，求其值；如果变化，说明理由．
答案：（
1
）；（
2
）不变．
【分析】
（
1
）根据平分，求出
∠BOC
，再用角的和差求
∠AOC
即可；
（
2
）根据角平分线的性质，求出
∠DON
和
∠COM
的和是
∠BOD
和
∠AOC
和的
一半即可．
【详解】
解：（
1
解析：（
1
）
75COB
；（
2
）不变．
60MON
【分析】
（
1
）根据OB平分COD，求出
∠BOC
，再用角的和差求
∠AOC
即可；
（
2
）根据角平分线的性质，求出
∠DON
和
∠COM
的和是
∠BOD
和
∠AOC
和的一半即可．
【详解】
解：（
1
）OB平分COD
11
3015
22
COBCOD
，
901575AOCAOBCOB；
图
1
图
2
（
2
）不变．
OM平分
AOC
，ON平分
BOD
1
2
NODBOD
，
1
2
COMAOC
1
22
MONNODCODCOMBODAOCCOD
1
2
BODAOCCOD
1
2
AOBCODCOD
1
90303060
2
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关
键．
13
．如图，
∠AOB
＝
150°
，射线
OC
从
OA
开始，绕点
O
逆时针旋转，旋转的速度为每秒
6°
；射线
OD
从
OB
开始，绕点
O
顺时针旋转，旋转的速度为每秒
14°
，
OC
和
OD
同时旋
转，设旋转的时间为
t
秒（
0≤t≤25
）．
（
1
）当
t
为何值时，射线
OC
与
OD
重合；
（
2
）当
t
为何值时，
∠COD
＝
90°
；
（
3
）试探索：在射线
OC
与
OD
旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线
OC
、
OB
与
OD
中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的
t
的取值，若不存在，请说明理由．
答案：（
1
）；（
2
）或；（
3
）存在，或
【分析】
（
1
）设，，由列式求出
t
的值；
（
2
）分情况讨论，射线
OC
与
OD
重合前，或射线
OC
与
OD
重合后，列式求出
t
的值；
（
3
）分情况讨论，平分，或平分，或平分，
解析：（
1
）
7.5s
；（
2
）3ts或12ts；（
3
）存在，
75
17
ts
或
150
13
ts
【分析】
（
1
）设
6AOCt
，
14BODt
，由
AOCBODAOB
列式求出
t
的值；
（
2
）分情况讨论，射线
OC
与
OD
重合前，或射线
OC
与
OD
重合后，列式求出
t
的值；
（
3
）分情况讨论，
OD
平分
BOC
，或OC平分
BOD
，或OB平分COD，列式求出
t
的值．
【详解】
解：（
1
）设
6AOCt
，
14BODt
，
当射线
OC
与
OD
重合时，
AOCBODAOB
，
即
614150tt
，解得
7.5ts
，
∴
当7.5ts时，射线
OC
与
OD
重合；
（
2
）
①
射线
OC
与
OD
重合前，
CODAOBAOCBOD
，
即90150614tt
，解得
3ts
；
②
射线
OC
与
OD
重合后，
AOCBODCODAOB
，
即
61490150tt
，解得12ts，
∴
当3ts或12ts时，
∠COD
＝
90°
；
（
3
）
①
如图，
OD
平分
BOC
，则
BODCOD
，
∴BODAOBBODAOC，
即
14150146ttt
，解得
75
17
ts
；
②
如图，OC平分BOD，则
1
2
BOCBOD
，
∴
1
2
AOBAOCBOD
，
即
1
150614
2
tt
，解得
150
13
ts
；
③
如图，
OB
平分COD，则COBDOB，
即150636014tt，解得
105
4
ts
，
∵
105
25
4
，
∴
不成立，舍去；
综上，
75
17
ts
或
150
13
ts
．
【点睛】
本题考查角度运动问题，解题的关键是用时间
t
设出角度，根据题意列出方程求解
t
的值．
14
．如图，点A，B在数轴上所对应的数分别为－
5
，
7
（单位长度为1cm），P是A，B
间一点，
C
，
D
两点分别从点P，B出发，以
1cm/s
，
2cm/s
的速度沿直线
AB
向左运动
（点
C
在线段AP上，点
D
在线段
BP
上），运动的时间为
st
．
（
1
）AB______
cm
．
（
2
）若点
C
，
D
运动到任一时刻时，总有2PDAC，请求出AP的长．
（
3
）在（
2
）的条件下，
Q
是数轴上一点，且
AQBQPQ
，求
PQ
的长．
答案：（
1
）
12
；（
2
）
4cm
；（
3
）或
【分析】
（
1
）由两点间的距离，即可求解；
（
2
）由线段的和差关系可求解；
（
3
）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由
AQ
﹣
BQ
＝
PQ
求得
AQ
＝
PQ
解析：（
1
）
12
；（
2
）
4cm
；（
3
）4cm或
12cm
【分析】
（
1
）由两点间的距离，即可求解；
（
2
）由线段的和差关系可求解；
（
3
）由题设画出图示，分两种情况根据：当点
Q
在线段
AB
上时，由
AQ
﹣
BQ
＝
PQ
求得
AQ
＝
PQ+BQ
；然后求得
AP
＝
BQ
，从而求得
PQ
与
AB
的关系，当点
Q
在
AB
的延长线上
时，可得
12cmAQBQPQAB
．
【详解】
解：（
1
）
∵A
、
B
两点对应的数分别为
-5
，
7
，
∴
线段
AB
的长度为：
7-
（
-5
）
=12
；
故答案为：
12
（
2
）根据点
C
，
D
的运动速度知
2BDPC
．
因为
2PDAC
，所以
2()BDPDPCAC
，即
2PBAP
，
所以
4cmAP
．
（
3
）分两种情况：
如图，当点
Q
在线段
AB
上时，
因为
AQBQPQ
，所以
AQPQBQ
．
又因为
AQAPPQ
，
所以APBQ，所以
1
4cm
3
PQAB
；
如图，当点
Q
在
AB
的延长线上时，
12cmAQBQPQAB
，
综上所述，
PQ
的长为4cm或12cm．
【点睛】
本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方
法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
15
．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的
角平分线，我们称这三条射线为
“
共生三线
”
．
如图为一量角器的平面示意图，O为量角器的中心．作射线OA，OB，OC，并将其所对
应的量角器外圈刻度分别记为a，b，m．
（
1
）若射线OA，OB，OC为
“
共生三线
”
，且OC为AOB的角平分线．
①
如图
1
，0a，80b，则
m
______
；
②
当40a，150b时，请在图
2
中作出射线OA，OB，OC，并直接写出
m
的值；
③
根据
①②
的经验，得
m
______
（用含a
，b的代数式表示）．
（
2
）如图
3
，
0a
，60bm．在
0
刻度线所在直线上方区域内，将OA，OB，OC按
逆时针方向绕点O同时旋转，旋转速度分别为每秒
12
，
6
，
8
，若旋转
t
秒后得到的射线
OA，
OB，OC
为
“
共生三线
”
，求
t
的值．
答案：（
1
）
①40
；
②
画图见解析，
95
；
③
；（
2
）或
12
或
30
【分析】
（
1
）
①
根据
“
共生三线
”
的定义直接计算；
②
分别画出
OA
，
OB
，再根据
OC
为
∠AOB
的平分线画出
OC
；
③
根据
①②
的经验直接可得结
解析：（
1
）
①40
；
②
画图见解析，
95
；
③
2
ab
；（
2
）
15
2
或
12
或
30
【分析】
（
1
）
①
根据
“
共生三线
”
的定义直接计算；
②
分别画出
OA
，
OB
，再根据
OC
为
∠AOB
的平分线画出
OC
；
③
根据
①②
的经验直接可得结论；
（
2
）分
OB′
为
∠A′OC′
的平分线，
OA′
为
∠B′OC′
的平分线，
OC′
为
∠A′OB′
的平分线三种情
况，列出方程求解．
【详解】
解：（
1
）
①∵OA
，
OB
，
OC
为
“
共生三线
”
，
OC
平分
∠AOB
，
∴∠AOB=b°-a°=80°
，
∴m°=1
2
∠AOB=1
2
×80°=40°
，
故
m=40
；
②
如图，
∵40a，150b，
∴m=
（
a+b
）
÷2=95
；
③
根据
①②
的经验可得：
m=
2
ab
；
（
2
）
∵a=0
，
b=m=60
，
∴t
秒后，
a=12t
，
b=60+6t
，
m=60+8t
，
当
OB′
为
∠A′OC′
的平分线时，
b=
2
am
，
即
60+6t=
1
2
（
12t+60+8t
），
解得：
t=
15
2
；
当
OA′
为
∠B′OC′
的平分线时，
a=
2
bm
，
即
12t=
1
2
（
60+6t+60+8t
），
解得：
t=12
；
当
OC′
为
∠A′OB′
的平分线时，
m=
2
ab
，
即
60+8t=
1
2
（
12t+60+6t
），
解得：
t=30
；
综上：
t
的值为
15
2
或
12
或
30
．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义的运用，一元一次方程，解题的关键是能够根据
“
共生三
线
”
的定义分类讨论，列出方程．
16
．已知点
C
在线段
AB
上，
AC
＝
2BC
，点
D
，
E
在直线
AB
上，点
D
在点
E
的左侧．
（
1
）若
AB
＝
15
，
DE
＝
6
，线段
DE
在线段
AB
上移动．
①
如图
1
，当
E
为
BC
中点时，求
AD
的长；
②
点
F
（异于
A
，
B
，
C
点）在线段
AB
上，
AF
＝
3AD
，
CF
＝
3
，求
AD
的长；
（
2
）若
AB
＝
2DE
，线段
DE
在直线
AB
上移动，且满足关系式
ADEC
BE
＝
3
2
，求
CD
BD
的
值．
答案：（
1
）
①AD
的长为
6.5
；
②AD
的长为或；（
2
）的值为或
【分析】
（
1
）根据已知条件得到
BC
＝
5
，
AC
＝
10
，
①
由线段中点的定义得到
CE
＝
2.5
，求得
CD
＝
3.5
，由线段的和差得到
AD
＝
AC
﹣
C
解析：（
1
）
①AD
的长为
6.5
；
②AD
的长为
13
3
或
7
3
；（
2
）
CD
BD
的值为
17
31
或
11
13
【分析】
（
1
）根据已知条件得到
BC
＝
5
，
AC
＝
10
，
①
由线段中点的定义得到
CE
＝
2.5
，求得
CD
＝
3.5
，由线段的和差得到
AD
＝
AC
﹣
CD
；
②
如图
2
，当点
F
在点
C
的右侧时，如图
3
，当点
F
在点
C
的左侧时，由线段的和差即可
得到结论；
（
2
）当点
E
在线段
BC
之间时，
①
如图
4
，设
BC
＝
x
，则
AC
＝
2BC
＝
2x
，求得
AB
＝
3x
，设
CE
＝
y
，得到
AE
＝
2x+y
，
BE
＝
x
﹣
y
，求得
y
＝
2
7
x
，表示出
CD
、
BD
，即可求解；
②
当点
E
在
点
A
的左侧，如图
5
，与
①
类似的步骤可求解；
③
当点
D
、
E
都在点
C
的右侧，如图
6
，
与
①
类似的步骤可求解，于是得到结论．
【详解】
解：（
1
）
∵AC
＝
2BC
，
AB
＝
15
，
∴BC
＝
5
，
AC
＝
10
，
①∵E
为
BC
中点，
∴CE
＝
2.5
，
∵DE
＝
6
，
∴CD
＝
3.5
，
∴AD
＝
AC
﹣
CD
＝
10
﹣
3.5
＝
6.5
；
②
如图
2
，当点
F
在点
C
的右侧时，
∵CF
＝
3
，
AC
＝
10
，
∴AF
＝
AC+CF
＝
13
，
∵AF
＝
3AD
，
∴AD
＝
113
33
AF
；
如图
3
，当点
F
在点
C
的左侧时，
∵AC
＝
10
，
CF
＝
3
，
∴AF
＝
AC
﹣
CF
＝
7
，
∴AF
＝
3AD
，
∴AD
＝
1
3
AF
＝
7
3
；
综上所述，
AD
的长为
13
3
或
7
3
；
（
2
）
①
当点
E
在线段
BC
之间时，如图
4
，
设
BC
＝
x
，
则
AC
＝
2BC
＝
2x
，
∴AB
＝
3x
，
∵AB
＝
2DE
，
∴DE
＝
1.5x
，
设
CE
＝
y
，
∴AE
＝
2x+y
，
BE
＝
x
﹣
y
，
∴AD
＝
AE
﹣
DE
＝
2x+y
﹣
1.5x
＝
0.5x+y
，
∵
3
2
ADEC
BE
，
∴
0.53
2
xyy
xy
，
∴y
＝2
7
x
，
∴CD
＝
1.5x
﹣2
7
x
＝
17
14
x
，
BD
＝
3x
﹣
(0.5x+y)
＝
31
14
x
，
∴
CD
BD
＝
17
14
31
14
x
x
＝
17
31
；
②
当点
E
在点
A
的左侧，如图
5
，
设
BC
＝
x
，则
DE
＝
1.5x
，
设
CE
＝
y
，
∴DC
＝
EC+DE
＝
y+1.5x
，
∴AD
＝
DC
﹣
AC
＝
y+1.5x
﹣
2x
＝
y
﹣
0.5x
，
∵
ADEC
BE
＝
3
2
，
BE
＝
EC+BC
＝
x+y
，
∴
0.53
2
yxy
xy
，
∴y
＝
4x
，
∴CD
＝
y+1.5x
＝
4x+1.5x
＝
5.5x
，
BD
＝
DC+BC
＝
y+1.5x+x
＝
6.5x
，
∴
5.511
6.513
CDx
BDx
，
③
点
D
、
E
都在点
C
的右侧时，如图
6
，
设
BC
＝
x
，则
DE
＝
1.5x
，
设
CE
＝
y
，
∴DC
＝
EC-DE
＝
y-1.5x
，
∴AD
＝
DC+AC
＝
y-1.5x+2x
＝
y+0.5x
，
∵
ADEC
BE
＝
3
2
，
BE
＝
EC-BC
＝
y-x
，
∴
0.53
2
yxy
yx
，
∴y
＝
-4x
（舍去）
综上所述
CD
BD
的值为
17
31
或
11
13
．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，比较
难，分类讨论是解答本题的关键．
17
．如图
1
，
P
点从点
A
开始以
2cm/s
的速度沿
ABC
的方向移动，
Q
点从点
C
开始
以
1cm/s
的速度沿CAB的方向移动，在直角三角形ABC中，
90A
，若
16cmAB
，12cmAC，
20cmBC
，如果
P
，
Q
同时出发，用
t
（秒）表示移动时间．
（
1
）如图
1
，若点
P
在线段
AB
上运动，点
Q
在线段
CA
上运动，当
t
为何值时，
QAAP
；
（
2
）如图
2
，点
Q
在
CA
上运动，当
t
为何值时，三角形
QAB
的面积等于三角形
ABC
面积
的
1
4
；
（
3
）如图
3
，当
P
点到达
C
点时，
P
，
Q
两点都停止运动，当
t
为何值时，线段
AQ
的长度
等于线段
BP
的长．
答案：（
1
）
4
，（
2
）
9
，（
3
）或
4
【分析】
（
1
）当
P
在线段
AB
上运动，
Q
在线段
CA
上运动时，设
CQ
＝
t
，
AP
＝
2t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，由
AQ
＝
AP
，可得方程
12
﹣
t
＝
2t
，解方程即可．
（
2
）当
Q
在
解析：（
1
）
4
，（
2
）
9
，（
3
）
28
3
或
4
【分析】
（
1
）当
P
在线段
AB
上运动，
Q
在线段
CA
上运动时，设
CQ
＝
t
，
AP
＝
2t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，
由
AQ
＝
AP
，可得方程
12
﹣
t
＝
2t
，解方程即可．
（
2
）当
Q
在线段
CA
上时，设
CQ
＝
t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，根据三角形
QAB
的面积等于三角形
ABC
面积的
1
4
，列出方程即可解决问题．
（
3
）分三种情形讨论即可
①
当
0
＜
t≤8
时，
P
在线段
AB
上运动，
Q
在线段
CA
上运动．
②
当
8
＜
t≤12
时，
Q
在线段
CA
上运动，
P
在线段
BC
上运动．
③
当
t
＞
12
时，
Q
在线段
AB
上
运动，
P
在线段
BC
上运动时，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（
1
）当
P
在线段
AB
上运动，
Q
在线段
CA
上运动时，设
CQ
＝
t
，
AP
＝
2t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，
∵AQ
＝
AP
，
∴12
﹣
t
＝
2t
，
∴t
＝
4
．
∴t
＝
4
时，
AQ
＝
AP
．
（
2
）当
Q
在线段
CA
上时，设
CQ
＝
t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，
∵
三角形
QAB
的面积等于三角形
ABC
面积的
1
4
，
∴1
2
•AB•AQ
＝
1
4
×
1
2
•AB•AC
，
∴1
2
×16×
（
12
﹣
t
）＝
1
8
×16×12
，解得
t
＝
9
．
∴t
＝
9
时，三角形
QAB
的面积等于三角形
ABC
面积的
1
4
．
（
3
）由题意可知，
Q
在线段
CA
上运动的时间为
12
秒，
P
在线段
AB
上运动时间为
8
秒，
①
当
0
＜
t≤8
时，
P
在线段
AB
上运动，
Q
在线段
CA
上运动，设
CQ
＝
t
，
AP
＝
2t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，
BP
＝
16
﹣
2t
，
∵AQ
＝
BP
，
∴12
﹣
t
＝
16
﹣
2t
，解得
t
＝
4
．
②
当
8
＜
t≤12
时，
Q
在线段
CA
上运动，
P
在线段
BC
上运动，设
CQ
＝
t
，则
AQ
＝
12
﹣
t
，
BP
＝
2t
﹣
16
，
∵AQ
＝
BP
，
∴12
﹣
t
＝
2t
﹣
16
，解得
t
＝
28
3
．
③
当
t
＞
12
时，
Q
在线段
AB
上运动，
P
在线段
BC
上运动时，
∵AQ
＝
t
﹣
12
，
BP
＝
2t
﹣
16
，
∵AQ
＝
BP
，
∴t
﹣
12
＝
2t
﹣
16
，解得
t
＝
4
（舍去），
综上所述，
t
＝
28
3
或
4
时，
AQ
＝
BP
．
【点睛】
本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思
考问题，属于中考常考题型．
18
．如图
1
，O为直线
AB
上一点，过点O作射线OC，30AOC，将一直角三角板
（30M）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边
OM
与OC都在直线
AB
的上方．（注：本题旋转角度最多180．）
（
1
）将图
1
中的三角板绕点O以每秒
3
的速度沿顺时针方向旋转．如图
2
，经过
t
秒后，
AON______
度（用含
t
的式子表示），若OM恰好平分BOC，则
t
______
秒（直接
写结果）．
（
2
）在（
1
）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒
6
的速度沿
顺时针方向旋转，如图
3
，经过
t
秒后，
AOC______
度（用含
t
的式子表示）若OC平
分
MON
，求
t
为多少秒？
（
3
）若（
2
）问的条件不变，那么经过秒OC平分
BOM
？（直接写结果）
答案：（
1
），
5
；（
2
），；（
3
）经过秒平分
【分析】
（
1
）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出；
（
2
）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案；
（
3
）分别根据转动速度关系和平分画图即
解析：（
1
）
3t
，
5
；（
2
）
306t
，
5
；（
3
）经过
70
3
秒
OC
平分
BOM
【分析】
（
1
）根据图形和题意得出
15AON
，再除以每秒速度，即可得出
t
；
（
2
）根据图形和题意得出
45CON
，再根据转动速度从而得出答案；
（
3
）分别根据转动速度关系和
OC
平分
BOM
画图即可．
【详解】
（
1
）3AONt
∵30AOC
∴150BOC
∵OM平分BOC，90MON
∴75COM°
∴15CON
∴301515AONAOCCON°°°
解得：1535t°°秒
（
2
）306AOCt
度
∵90MON，OC平分MON
∴45CONCOM°
∴45AOCAONCON°
∴306345tt解得：5t秒
（
3
）如图：
∵90AONBOM°，BOCCOM
由题可设
AON
为3t，
AOC
为306t°
∴1
903
2
COMBOCt°
∵180BOCAOC
1
306903180
2
tt
解得：
70
3
t
秒
答：经过
70
3
秒
OC
平分
BOM
．
【点睛】
此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出
角的度数是解题的关键．
19
．已知OC是
AOB
内部的一条射线，MN、分别为,OAOC上的点，线段
,OMON
同时
分别以
30/s,10/s的速度绕点
O
逆时针旋转，设旋转时间为
t
秒．
（
1
）如图
①
，若120AOB，当OMON、逆时针旋转到OMON
、处，
①
若
,OMON
旋转时间
t
为
2
时，则BONCOM
______
；
②
若OM
平分,AOCON平分,BOCMON_____
；
（
2
）如图
②
，若4AOBBOCOMON,,分别在
,AOCBOC
内部旋转时，请猜想
COM
与
BON
的数量关系，并说明理由．
（
3
）若
80AOCOMON,,在旋转的过程中，当
20MON
时，求
t
的值．
答案：（
1
）
①40°
；
②60°
；（
2
）
∠COM=3∠BON
，理由见解析；（
3
）
3
秒或
5
秒
【分析】
（
1
）
①
先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解；
②
先由角平分线求出，，再求出，即；
（
2
）设
解析：（
1
）
①40°
；
②60°
；（
2
）
∠COM=3∠BON
，理由见解析；（
3
）
3
秒或
5
秒
【分析】
（
1
）
①
先求出AOM、CON，再表示出BON、COM，然后相加并根据120AOB
计算即可得解；
②
先由角平分线求出
1
2
AOMCOMAOC，
1
2
BONCONBOC，再求出
11
12060
22
COMCONAOB，即60MON；
（
2
）设旋转时间为
t
，表示出
CON
、
AOM∠
，然后列方程求解得到
BON
、
COM
的
关系，再整理即可得解；
（
3
）设旋转时间为
t
，表示出
CON
、
AOM∠
，然后得到
COM
，再列方程求解得到
MON
的关系，整理即可得解．
【详解】
解：（
1
）线段OM、ON分别以
30/s
、10/s的速度绕点
O
逆时针旋转
2s
，
23060AOM，21020CON，
20BONBOC，60COMAOC，
206080BONCOMBOCAOCAOB，
120AOB
，
1208040BONCOM；
故答案为：
40
；
②OM平分AOC，ON平分BOC，
1
2
AOMCOMAOC，
1
2
BONCONBOC，
1111
12060
2222
COMCONAOCBOCAOB，
即60MON
；
（
2
）3COMBON，理由如下：
设BOCx，则4AOBx，3AOCx，
旋转
t
秒后，30AOMt，10CONt，
3303(10)COMxtxt
，10NOBxt，
3COMBON；
（
3
）设旋转
t
秒后，30AOMt，10CONt，
8030COMt，10NOCt，
可得MONMOCCON，
可得：
|803010|20tt
，
解得：
3t
秒或5t秒，
故答案为：
3
秒或
5
秒．
【点睛】
此题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解
题的关键．
20
．已知：
160AOD
，OB、OM、ON是AOD内的射线．
（
1
）如图
1
，若OM平分
AOB
，ON平分
BOD
．当射线OB绕点O在AOD内旋转时，
求
MON
的度数．
（
2
）
OC
也是AOD内的射线，如图
2
，若
20BOC
，OM平分
AOC
，ON平分
BOD
，当射线OB绕点O在AOD内旋转时，求
MON
的大小．
答案：（
1
）；（
2
）
【分析】
（
1
）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解；
（
2
）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解．
【详解】
解：（
1
）
∵
平分，
∴
∵
平分，
∴
解析：（
1
）80；（
2
）70
【分析】
（
1
）根据角平分线的定义求出BOM和BON，然后根据MONBOMBON代
入数据进行计算即可得解；
（
2
）根据角平分线的定义表示出MOC和BON，然后根据
MONMOCBONBOC计算即可得解．
【详解】
解：（
1
）
∵OM平分AOB，
∴
1
2
MOBAOB
∵ON平分BOD，
∴
1
2
BONBOD
∴
111
16080
222
MONMOBBONAOBBODAOD
（
2
）
∵OM平分
AOC
，
∴
1
2
MOCAOC
，
∵ON平分BOD，
∴
1
2
BONBOD
∴MONMOCBONBOC
11
22
AOCBODBOC
1
2
AOCBODBOC
=
1
2
AODBOCBOC
1
1602020
2
70
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思
想的利用．
本文发布于:2023-01-01 08:54:10，感谢您对本站的认可！
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