华师大分数线

1

八年级华师大版数学（下）

第16章分式

§16.1分式及基本性质

一、分式的概念

1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

B

A

叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：

（1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线

起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式

的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件

（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：

当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使

B

A

=0的条

件是：A=0，B≠0。

5、有理式

整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。

分类：有理式

单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；

多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质

1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零

的整式，分式的值不变。



















分式

多项项

单项式

整式

2

用式子表示为：

A

B

=

A·M

B·M

=

A÷M

B÷M

，其中M（M≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变

分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通

分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：

（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同

字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先

把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同

因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变

分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、

分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）

如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再

约分；（3）约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则：

（1）

－a

b

=

a

-b

=－

a

b

；（2）

-a

-b

=

a

b

；（3）－

-a

-b

=

a

b

§16.2分式的运算

一、分式的乘除法

1、法则：

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积

的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

用式子表示：bd

ac

d

c

b

a

•

（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被

3

除式相乘。

用式子表示：

2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法

则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当

分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要

化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分

母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：（其中n为正整数，a≠0）

2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同

时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，

再约分；（3）最后结果要化到最简。

三、分式的加减法

（一）同分母分式的加减法

1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：

2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分

子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能

省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用

式子表示：bd

bcad

bd

bc

bd

ad

d

c

b

a



。

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

•

n

n

n

b

a

b

a















b

ca

b

c

b

a



4

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分

母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应

视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应

将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，

最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运

算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；

（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式

或整式。

§16.3可化为一元一次方程的分式方程

一、分式方程基本概念

1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、理解分式方程要明确两点：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有

未知数。

分式方程与整式方程最大区别就在于分母中是否含有未知数。

二、分式方程的解法

1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。途径：“去分母”。

整式方程分式方程去分母转分

方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求

解。

2、解分式方程的一般步骤：

（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原

分式方程化为整式方程；

（2）解这个整式方程；

5

（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不

等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必

须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一

种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解

方程过程中有无计算错误。

3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方

程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，

因此，解分式方程必须验根。

三、分式方程的应用

1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程

解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所

列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，

解出方程的解后还要进行检验。

2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：

（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；

（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设

法两种；

（3）找出题目中的等量关系，写出等式；

（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；

（5）解方程。求出未知数的值；

（6）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知

数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。

§16.4零指数幂与负整数指数幂

一、零指数幂

1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。

2、特别注意：零的零次幂无意义。即00无意义。若问当x=_____时，(x-2)0

6

有意义。答案是：x≠2。

（2）按照定义分为：

二、负整数指数幂

1、定义：任何不等于的数的-n（n为正整数）次幂，都等于这个数的n次幂

的倒数，

即a-n=

na

1

（a≠0，n为正整数）

2、注意事项：

（1）负整数指数幂成立的条件是底数不为0；

（2）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运

算可以扩大到整数指数幂范围；

（3）要避免像5-2=-2×5=-10的错误，正确算法是：。

三、用科学计数法表示绝对值小于1的数

1、规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幂，把它表示成a×10-n

（n为正整数），其中1≤|a|＜10。

2、注意事项：

（1）n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的那个

零）。如-0.00021=-2.1×10-4

（2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。

（3）写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。

第17章函数及其图象

§17.1变量与函数

一、变量与常量

1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，

叫做变量。

常量：在某一变化过程中，取值（数值）始终保持不变的量，叫做常量。

2、注意事项：

25

1

5

1

5

2

2

7

（1）常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的；

（2）离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的；

（3）在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三

角形的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。

二、函数概念

1、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定

的值，y都有唯一的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，

其中x叫做自变量，y叫做因变量。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：

（1）有两个变量；

（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；

（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

三、函数的表示法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。

四、求函数自变量的取值范围

1．实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例1．求下列函数中自变量x的取值范围

(1)解析式为整式的，x取全体实数；

(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；

(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；

(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实

际上就是以前学的求代数式的值。

§17.2函数的图象

8

一、平面直角坐标系

1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角

坐标系。其中水平的数轴叫做横轴（或x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫

做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴的交点O叫做原点。在平面内，原点的

右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第

一象限、第二象限、第三象限、第四象限

注意：x轴、y轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，

在x轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在y轴上垂足

所显示的数称为该点的纵坐标。点的坐标反映的是一个点在

平面内的位置。

写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括

号括起来。

如P（3，2）横坐标为3，纵坐标为2。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。

所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。

4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

5、坐标的特征

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；在第二象限内的点,

横坐标是负数,纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；在第四象限内的点,

横坐标是正数,纵坐标是负数；

(2)x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．

6、对称点的坐标特征

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

9

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对

值相等，符号相反。

(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。

7、点到两坐标轴的距离

点A（a，b）到x轴的距离为|b|，点A（a，b）到y轴的距离为|a|。

二、函数的图象

1、意义：对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每对对应值分别作

为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就

是这个函数的图象。

2、作函数图象的方法：描点法。步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。

3、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一致，按照对应

的解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线；画实际问题的图

象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标

系时，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致。

§17.3一次函数

一、一次函数的概念

之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的。学习此概

念要从两个方面来理解。

（1）从其表达式上：

一次函数通常是指形如：y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，凡是成这种形

式的函数都是一次函数。而当b=0时，即y=kx(k≠0的常数)，则称为正比例函数，

其中k为比例系数。

（2）从其意义上：

它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如

果说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正

10

比例关系的也同样，如，若s与t成正比例关系，我们便可设s=kt（k≠0，t为自

变量）

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映

了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k

（b-2）（k≠0）

二、一次函数的图象

正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直

线y=kx+b，直线y=kx”。因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的

图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。

1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象时，只需要这两个特殊点：（0，0）

和（1，k）两点；

2、画一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象时，只需要找出它与坐标

轴的两个交点即可。一次函数与x轴的交点坐标是：（0，b），与y轴的交点坐标

是：（－

b

k

，0）

3、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。

4、将y=kx的图象沿着沿着轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各单位长度

即可得到y=kx+b。

5、求两一次函数的交点坐标：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程

组，求的自变量x的值为交点的横坐标，求出的y的值为交点的纵坐标。

三、一次函数的性质

一次函数的性质是由k来决定的。

1、正比例函数y=kx(k≠0的常数)的性质

（1）当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象

从左到右上升。

（2）当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，这时函数图象

11

从左到右下降。

2、一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的性质

（1）当k>0时，①当b>0时，图象经过一、三、二象限，y随x的增大而

增大，这时函数图象从左到右上升。②当b<0时，图象经过一、三、四象限，y

随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。

（2）当k<0时，①当b>0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而

减小，这时函数图象从左到右下降。②当b<0时，图象经过二、四、一象限，y

随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。

四、确定正比例函数好一次函数的解析式

1、意义：

（1）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx(k≠0的常数)中的

常数k；

（2）确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中

常数k和b。

2、待定系数法

（1）先设待求函数关系式（其中含有未知的系数），再根据条件列出方程或

方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。

（2）用待定系数法求函数关系式的一般方法：①设出含有待定系数的函数

关系式；②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系

数方程（组）；③解方程（组），求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所

设的关系式中，从而确定出函数关系式。

五、一次函数（正比例函数）的应用。与方程的应用差不多，注意审题步骤。

§17.4反比例函数

一、反比例函数

1、定义：形如y=

k

x

(k≠0的常数)的函数叫做反比例函数。

12

2、对于反比例函数：

（1）掌握其形式y=

k

x

，且k为常数，同时不能为0；等号左边是函数y，

右边是一个分式，分子是一个不为0的常数，分母是自变量x，若把反比例函数

写成y=kx-1，则x的系数为-1；自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数y

的取值范围也是不为0的一切实数；

（2）将y=

k

x

转化为xy=k，由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值，

即某两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。

（3）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，

而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s=

k

t2

(k≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。

二、用待定系数法求反比例函数表达式。由于反比例函数y=

k

x

中只有一个

待定系数，因此只需要一组对应值，即可求k的值，从而确定其表达式。

三、反比例函数的图象

1、意义：

（1）名称：双曲线，它有两个分支，分别位于一、三或二、四象限；

（2）这两个分支关于原点成中心对称；

（3）由于反比例函数自变量x≠0，函数y≠0，所以反比例函数的图象与x

轴和y轴都没有交点，无限接近坐标轴，永远不能到达坐标轴。

2、画法（描点法）：（1）列表。自变量的值应在0的两边取值，各取三各以

上，共六对互为相反数的数对，填y值时，只需计算出自变量对应的函数值即可。

（2）描点：先画出反比例函数一侧（即一个象限内的分支），在对称地画出另一

侧（另一分值）；（3）连线：按照从左到右的顺序用平滑曲线连接各点并延伸，

注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不

能与坐标轴相交。

13

四、反比例函数y=

k

x

的性质

1、性质：（1）当k>0时，图象的两个分支位于一、三

象限,在每个象限内，y随x的增大而减小；

（2）当k<0时，图象的两个分支位于二、四

象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；

注意：不能笼统地说反比例函数的“y随x的增大而增大或减小”，必须注意

是在“各自的象限内”

2、反比例函数的表达式中的几何意义

如图所示，若点A是反比例函数y=

k

x

上的点，且AB垂直于x轴，垂足为

B，AC垂直于y轴，

垂足为C，则S矩形ABOC=|k|，S△AOB=S△AOC=

1

2

S矩形ABOC=

1

2

|k|

五、反比例函数的应用。注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路。

第18章平行四边形

§18.1平行四边形的性质

一、平行四边形的性质

（一）平行四边形的有关概念

1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、表示方法：专用符号：“”。

如图的平行四边形看表示为：ABCD；读作：“平行四边形ABCD”

3、平行四边形的“对边”是指：互相平行的两边；“对角”是指：“开口”

相对的两角。

4、平行四边形的对角线：指两对角定点的连线。

（二）平行四边形的性质

1、平行四边形的对边相等，对角相等。

A

BC

D

A

B

C

O

14

2、平行四边形的对角线互相平分。

3、两平行线之间的距离处处相等。

4、平行四边形是中心对称图形。

5、S



=底×高。

（三）平行四边形的作用

1、由定义可以把平行四边形用于证明两直线（线段）平行；

2、可以用作判定平行四边形。

二、平行四边形判定

（一）判定方法

1、从边看：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（二）平行线之间的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行

线之间的距离。两平行线之间的距离处处相等。

第19章矩形、菱形、与正方形

§19.1矩形

一、矩形的性质

1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等且互相平分；

（3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；

15

（4）S

矩形

=长×宽。

3、直角三角形的一个重要特性：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、矩形的判定方法

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2、对角线相等的平行四边形是矩形；

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

§19.2菱形

一、菱形性质

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；

（4）S

菱形

=底×高=

1

2

对角线①×对角线②。

二、菱形的判定方法

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、四条边都相等的四边形是菱形；

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

§19.3正方形

一、正方形的性质

1、定义：

（1）有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。

2、性质：

16

（1）正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质；

（2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；

（3）S正方形=边长2=

1

2

×对角线2。

二、正方形的判定方法。用定义也可判定。

1、有一个角是直角的菱形是正方形；

2、有一组邻边相等的矩形是正方形；

3、对角线相等的菱形是正方形；

4、对角线互相垂直的矩形值正方形

等腰梯形的判定

一、一般梯形

（一）梯形的有关概念

1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、底边和腰：平行的两条对边叫做梯形的底边；不平行的两条对边叫做梯

形的腰。

3、底角：梯形的一腰和底边的夹角叫做梯形的底角。

（二）直角梯形

1、定义：有一个内角是直角的梯形叫做直角梯形。

2、直角腰是直角梯形的高。

二、等腰梯形

（一）定义与性质

1、定义：两腰学相等的梯形叫做等腰梯形。

2、性质：

（1）等腰梯形同一底上的两个底角相等；

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

（3）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线是

它的对称轴。

17

（二）等腰梯形的判定方法

1、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

3、两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

三、解决梯形问题常用的辅助线

（基本思想：化梯形问题为“平行四边形”和“三角形”问题来解决）

（作一腰的平行线）（作两条高）

四、注意事项：

（1）梯形中，若遇到有一个角的为60o或120o，则跟等边三角形加以联系；

（2）梯形中，若遇到有一个角的为30o或150o，则跟“30o的Rt△”加以联系；

（3）梯形中，若遇到有一个角的为45o或135o，则跟“45o的Rt△”加以联

系；

（4）解决梯形问题，一定要注意借助平行四边形、矩形、菱形、正方形和特

殊的三角形知识来解决。

第20章数据的整理与初步处理

§20.1平均数

一、算术平均数的意义

1、定义：一般地，我们把n个数

,x,x

21…n

x

的和与n的比叫做这n个数的算

称平均数，记作：

x

，读作x拔。术平均数，简

具体算法：

x=

2、平均数的简化运算

当一组数据非常大或非常小，并且有集中在某个数字之间左右晃动时，看采

)(

n

1

21n

xxx

（延长两腰）

（作对角线的平行线）

18

用此方法简化运算：

对于一组数据

,x,x

21…n

x

，取定一个常数a，把原来数组中的每一个数都减去

a后得到一组新数据

,x,x

21



…n

x



，则原数组的平均数就是：

x=a+

1

n

(x

'

1

+x

'

2

+x

'

n

)

3、作用：平均数反映了一组数据的集中趋势，是表示一组数据的“平均水

平”，它的单位与这组数据的单位一致。

4、用样本（部分）估计总体

当一组数据的个图非常多或很难获得全部数据时，可以从这些数据中抽出部

分个体作为样本进行分析、统计，由此估计总体的特征或信息。

二、加权平均数

定义和算法：一般说来，如果n个数据中，x

1

出现f

1

次，x

2

出现f

2

次，…x

k

出现f

k

次，且f

1

+f

2

+…+f

k

=n，则这n个数的平均数可表示为

x=这个x

叫做加权平均数，数据出现的次数f叫做权，数

组中的每个数对应一个权。

§20.2数据的集中优势

一、中位数

1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列后，处在最

中间位置的的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

2、求法：（1）对这组数据的n个数进行从小到大的排序；

（2）若给出的数据个数为奇数，则第（

n+1

2

）个数据就是这组数

据的中位数；若给出的数据个数为偶数个，则第

1

n

个和第

（

n+1

2

）个的平均数就是这组数据的中位数。

二、众数

k

kk

fff

fxfxfx









21

2211

19

1、定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

2、众数是对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中部分数据有

关，当一组数据中有数据多次重复出现时，以至于其他数据的作用显得相对较小，

众数就可以在某种意义上代表这组数据的集中程度或整体情况。

3、一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。如果一组数据中有几

个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是

这组数据的众数。

三、平均数、中位数和众数的选用

平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角

度和使用范围有所不同

（1）平均数大小与一组数据里每个数据均有关系，其中任何数据的变动都

会相应地引起平均数的变动，所以它极易受个别极端数的影响；（2）中位数仅与

数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。中位数可能出现在所

给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据变动较大时，可以用

它来描述其集中趋势；（3）众数考察各数据出现的频率，其大小只与这组数据中

部分数据有关，众数往往是人们尤为关心的一个量，当一组数据中有不少数据多

次重复出现时，其众数往往更能反映问题。（4）在实际问题中求得的平均数、众

数和中位数都应带上单位。

§20.3数据的离散程度

一、极差

1、定义：用一组数据中最大值减去最小值所得到的差来反映这组数据的变

化范围的差称为极差，即：极差=最大值-最小值。

2、极差的特征：极差能反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波

动情况的量，但它受极端数据的影响较大。

二、方差

1、定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的结果表示一组

20

数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差。

2、算法：通常用S2表示一组数据的方差，用

x

表示一组数据的平均数，x

1

、

x

2

、…x

n

表示各个数据，方差的计算式就是：S2=

3、方差的特征：

方差反映的了数据的波动大小，用于判定一组数据的稳定性。在实际问题中，

例如长得是否整齐、是否稳定等都是波动的体现。方差越大，数据的波动就越大，

就越不稳定；方差越小，数据的波动则越小，越稳定。

三、标准差

1、意义：就是方差的算数平方根，叫做标准差。

2、算法与方差同，只是要把方差开方求算数平方根。

3、标准差的特征：它与方差一样，也是反映一组数据的整体波动的指标。

样本的方差或样本的标准差越大，样本的数据波动就越大，反之亦然。

22

2

2

1

)()()(

1

xxxxxx

nn

