清华大学 自主招生

2020清华大学自主招生试题(含答案)

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一、选择题

1.设复数z=cos

2

3

+isin

2

3

，则

2

11

1-1zz





=（）

(A)0(B)1(C)

1

2

(D)

3

2

2.设数列{}

n

a为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“

pqkl

aaaa”()条件

(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要

3.设A、B是抛物线y=2x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则()

(A)|OA|·|OB|≥2(B)|OA|+|OB|≥22

(C)直线AB过抛物线y=2x焦点(D)O到直线AB的距离小于等于1

4.设函数()fx的定义域为(-1,1)，且满足：①()fx>0,x∈(-1,0)；②()fx+()fy=()

1

xy

f

xy





，x、y∈

(-1,1)，则()fx为

(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数

5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（）

(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点

6.△ABC的三边分别为

a

、b、c．若c=2，∠C=

3



，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有（）

(A)b=2

a

(B)△ABC的周长为2+2

3

(C)△ABC的面积为

23

3

(D)△ABC的外接圆半径为

23

3

7.设函数2()(3)xfxxe，则（）

(A)()fx有极小值，但无最小值(B)()fx有极大值，但无最大值

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(C)若方程()fx=b恰有一个实根，则b>

3

6

e

(D)若方程()fx=b恰有三个不同实根，则0

3

6

e

8.已知A={(x,y)∣222xyr}，B={(x,y)∣222()()xaybr，已知A∩B={(

11

,xy),(

22

,xy)}，

则（）

(A)0<22ab<22r(B)

1212

()(y)0axxby

(C)

12

xx=a，

12

yy=b(D)22ab=

11

22axby

9.已知非负实数x,y,z满足22244xyz+2z=3，则5x+4y+3z最小值为（）

(A)1(B)2(C)3(D)4

10.设数列{

n

a}前n项和为

n

S，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得

n

S=

m

a，则（）

（A）{

n

a}可能为等差数列（B）{

n

a}可能为等比数列

（C）{

n

a}的任意一项均可写成{

n

a}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得

n

a=

m

S

11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道

的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手

都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是

（）

(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁

12.长方体ABCD−

1111

ABCD中，AB=2，AD=A

1

A=1，则A到平面

1

ABD的距离为（）

(A)

1

3

(B)

2

3

(C)

2

2

(D)

6

3

13.设不等式组

||||2

2(1)

xy

ykx











所表示的区域为D，其面积为S，则（）

(A)若S=4，则k的值唯一(B)若S=

1

2

，则k的值有2个

(C)若D为三角形，则0

2

3

(D)若D为五边形，则k>4

14.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OAABOBBCOCCA=（）

(A)0(B)−15(C)−

21

2

(D)−

29

2

15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（）

(A)P(A)=0.4(B)P(B−A)=0.3(C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.9

16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（）

(A)最小值为

3

4

(B)最小值为

4

5

(C)最大值为

4

3

(D最大值为

5

4

17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）

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(A)105种(B)225种(C)315种(D)420种

18.已知存在实数r，使得圆周222xyr上恰好有n个整点，则n可以等于（）

(A)4(B)6(C)8(D)12

19.设复数z满足2|z|≤|z−1|，则（）

(A)|z|的最大值为1(B)|z|的最小值为

1

3

(C)z的虚部的最大值为

2

3

(D)z的实部的最大值为

1

3

20.设m,n是大于零的实数，a=(mcosα,msinα)，b=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈

[0,2π)．定义向量

1

2a=(cos

2

m



,sin

2

m



),

1

2b=(cos

2

n



,sin

2

n



)，记θ=α−β，则

（）

(A)

1

2a·

1

2a=a(B)

11

22ab=cos

2

mn



(C)

11

22

22||4sin

4

abmn



(D)

11

22

22||4cos

4

abmn





21.设数列{

n

a}满足：

1

a=6，

1

3

nn

n

aa

n



，则（）

(A)∀n∈N∗,

n

a<3(1)n(B)∀n∈N∗,

n

a≠2015

(C)∃n∈N∗,

n

a为完全平方数(D)∃n∈N∗,

n

a为完全立方数

22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（）

（A）ρ=

1

cossin

（B）ρ=

1

2sin

（C）ρ=

1

2cos

（D）ρ=

1

12sin

23.设函数

2

sin

()

1

x

fx

xx







，则（）

（A）()fx≤

4

3

(B)|()fx|≤5|x|(C)曲线y=()fx存在对称轴(D)曲线y=()fx存在对称中心

24.△ABC的三边分别为

a

,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（）

(A)sinA>cosB(B)tanA>cotB(C)222abc(D)333abc

25.设函数()fx的定义域是(−1,1)，若(0)f=(0)f



=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（）

(A)()fx>0，x∈(−δ,δ)(B)()fx在(−δ,δ)上单调递增

(C)()fx>1，x∈(0,δ)(D)()fx>1，x∈(−δ,0)

26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同的点

k

P(k=1,2,…,n)，总存

在两个不同的点

i

P,

j

P

，使得|sin∠A

i

PB−sin∠A

j

P

B|≤

1

3

，则n的最小值为（）

(A)3(B)4(C)5(D)6

27.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+22xy的（）

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(A)最小值为

4

5

(B)最小值为

2

5

(C)最大值为1(D)最大值为

12

3



28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（）

(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不

同的五位数有（）

(A)300个(B)450个(C)900个(D)1800个

30.设曲线L的方程为42242(22)(2)yxyxx=0，则（）

(A)L是轴对称图形(B)L是中心对称图形

(C)L⊂{(x,y)∣22xy≤1}(D)L⊂{(x,y)∣−

1

2

≤y≤

1

2

}

##Answer

##1.【解析】

2

11

1-1zz





=

2

1

1-

zz

z

zzz





=

1

1-

z

z

zz





=

22

cossin

1

33

222

1-cossin2sin

333

i

ii











=

2

1

2sin2sincos

333

i





-

22

cos()sin()

33

3(cossin)

22

i

i









=

cos0sin0

2sin[cos()sin()]

366

i

i







-

177

[cos()sin()]

66

3

i

=

131

(cossin)

6622

3

ii



=1，选B

2.【简解】

()

pqkl

aaaa

=[(p+q)-(k+l)]d，与公差d的符号有关，选D

3.【解析】设A(2

11

,xx),B(2

22

,xx),OAOB=

1212

(1)xxxx=0

2

1

1

x

x



答案(A),||||OAOB=22

11

22

11

11

(1)(1)xx

xx

=2

1

2

1

1

11x

x

≥

1

1

1

22||

||

x

x

=2，正确；答案

(B),|OA|+|OB|≥2||||OAOB≥22,正确；答案(C),直线AB的斜率为

22

21

21

xx

xx





=

21

xx=

1

1

1

x

x

方

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程为y-2

1

x=(

1

1

1

x

x

)(x-

1

x),焦点(0,

1

4

)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：(

1

1

1

x

x

)x-y+1=0

的距离d=

2

1

1

1

1

()1x

x



≤1，正确。选ABD

4.【解析】x=y=0(0)f=0,y=-x()()fxfx,()fx为奇函数，(A)正确；()fx0，(B)错误；

12

xx，

1

()fx-

2

()fx=

1

()fx+

2

()fx=12

12

1

xx

f

xx











>0

1

()fx>

2

()fx()fx↓,(C)正确；

()fx=-tan

2

x



满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C

5.【简解】将直线平移知：斜率为k直线，与曲线y=()fx至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上

方两个区间，先上方后下方三个区间，故()Fx有三个极大值点，两个极小值点。选BC

6.【解析】2R=

sin

c

C

=

4

3

R=

2

3

3

,D正确；

又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=

2



或

b=2

a

;A=

2



时，b=

2

3

3

,

a

=

4

3

3

,周长为2+

3

，面积为

2

3

3

；b=2

a

时，

2c=222cosababCa

=

2

3

3

,B=

2



,同样有周长为2+

3

，面积为

2

3

3

。选BCD

7.【简解】()fx



=(x+3)(x-1)xe,

3

6

)(3)fxf

e



极大

（,

)(1)-2fxfe

极小

（

，作出其大致图象，如图

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选BD

8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:222xyr与⊙C:222()()xaybr交于相异的两点

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy。0<|OC|<2|r|0<22ab<42r,(A)错；四边形O

1

PC

2

P是菱形对角线OC与

12

PP

垂直且平分，(B)(C)正确；22ab=

11

22axby2222

1111

()()axbyxy

11

||||CPOP，(D)

正确。

总之，选BCD

9.【解析】关于z的方程22224430zzxy有非负实数解，z=-1+2221xy≥022

3

4

xy,

d=5x+4y+3z=5x+4y+6221xy-3,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,

2



],r∈[0,

3

2

]

d=r(5cosθ+4sinθ)+621r

-3=r29sin(θ+arctan

5

4

)+621r

-3

≥4r+621r

-3=2(2r+321r

)-3,设a=（2,3），b=(r,21r

)

d≥2ab-3=2

||||ab

cos(

,ab

)-3=2

13

cos(

,ab

)-3,作图知

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X

Y

O

X2+Y2=1

3

2

(2,3)

a

1

(

,ab

)最大值是b与OY夹角，此时d≥2

13

3

13

-3=3。选C

10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n

1

a≠

1

a,结论假，q≠1时，

1

1

1

(1)

1

n

m

aq

aq

q











1

1

1

n

m

q

q

q



常数，也不可能；答案(C),

1nnn

aSS



=

mt

aa,满足要求；答案

(D),

n

a=

m

S=

t

a，并非对所有数列成立。选AC

11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D

12.等体积法，选B

13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形

P

4

P

3

P

1

(-

2

5

,-

8

5

)

l

3

P

2

(-

4

5

,-

6

5

)

l

2

:k

2

=4

l

1

:k

1

=

2

3

D(-2,0)

C(0,2)

B(2,0)

A(0-,-2)

P(-1,-2)

k>0时，S单调增，梯形

2

PABC面积为

28

5

>4，故S=4只有一解，(A)正确；△

1

PAB、△

34

PPD的面积分别

为

4

5

、1,都比

1

2

大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为

1

2

直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然是

三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC斜率4，(D)正确。选ABD

14.【简解】取AB的中点D,则OAAB=OA×AB×cos(π-∠OAB)=-AB×(OA×cos∠OAB)=-2

1

2

AB,同理

OBBC=2

1

2

BC，2

1

2

OCCACA，原式=222

129

()

22

ABBCCA.选D

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15.【简解】设P(AB)=x，则P(A)=0.2+x，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5x=0.2;P(A)=0.4，

(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。

选ABC

16.【解析】设△ABC的重心为G,面积为1，过点G的直线与三角形边AB、AC分别相交于D、E，AD=xAB,AE=yAC,

则有

1

2

AB×ACsinA=1,如图

E

D

G

C

B

A

特别的x,y∈{0,1}时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1

当x,y∈(0,1)时，△ADE面积S=

1

2

AD×AEsinA=

1

2

xAB×yACsinA=xy,D、G、E三点共线存在实数λ，使

得DGDEAGAD=λ(AEAD)AG=(1-λ)AD+λAE=(1-λ)xAB+λyAC,又

AG=

1

3

AB+

1

3

AC

1

(1)

3

1

3

x

y























，消去λ得到

11

xy

=3，因

11

xy

≥2

11

xy



2

S

S≥

2

3

S

≥

4

9

,等号成立当且仅当x=y=

2

3

DE∥BC,故S最小值为

4

9

，1-S的最大值为

5

9

；故两面积比值有最小值

4

5

，最大值

5

4

。选BD

17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A，从A逆时针方向点依次记为

k

A(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为

k

A



(k=1,2,3,…,7)，△

nm

AAA



要构成以A为钝角钝角

三角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C

18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD

19.【简解】设x=x+yi(x,y∈R),代入化简得到22

14

()

39

xy，表示以(-

1

3

,0)为圆心，以

2

3

为半径的

圆及其内部，根据图形，选ACD

20.【解析】

1

2a·

1

2a是一个数值，不是向量，(A)错；

11

22ab=coscos

22

mn



+sinsin

22

mn



=cos

2

mn



=cos

2

mn



,(B)正确；

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11

2

22||ab=2(coscos)

22

mn



+2(sinsin)

22

mn



=m+n-2mncos

2



=

m+n-2mncos

2



≥2mn(1-cos

2



)=24sin

4

mn



,(C)正确；

同理(D)正确

选BCD

21.【简解】1

3

n

n

a

n

an





,迭乘得到

n

a=(n+2)(n+1)n；3(1)

n

ann(n+2)<2(1)n,(A)正确；2015=5

×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)

错误。选AB

22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ=

1

2

1

1cos()

22





表示椭圆；(C)

为ρ=

1

2

1

1cos

2



表示椭圆；(D)为ρ=

1

12cos()

2





表示双曲线。选BC

23.【解析】()fx≤

4

3

g(x)=24443sinxxx≥0,

1

()=g()

2

gx

极小值

=0,(A)正确；|()|fx≤

5|x||sinπx|≤|32xxx|.作图象知成立,(B)正确；x=

1

2

是其一条对称轴，(C)正确；

()()faxfax不可能为常数，故(D)错误。选ABC

24.【简解】A+B>

2



A>

2



-BsinA>sin(

2



-B)=cosB,tanA>tan(

2



-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，

一定有222abc，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但

330.50.90.854<1，(D)错误。总之，选ABC

25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，|

()(0)fxf

x



-1|<εx(1-

ε)+1<()fx



=1>0，知在0附近存在区间，()fx



>0,(B)正

确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC

26.【解析】将所有的|sin∠A

i

PB−sin∠A

j

P

B|，按从小到大排序，共有2

n

C

个，其中最小者不大于

1

3

，最

大为2，于是2

1

3n

C≥2,n的最小值为4.选B

27.【解析】设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,

2



].2x+y=1r=

1

2cossin

,x+22xy=rcosθ

+r=

cos1

2cossin









,记作T；去分母得到Tsinθ+(2T-1)cosθ=1,22(21)TTsin(θ

2020清华大学自主招生试题(含答案)

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+arctan

21T

T



)=1≤22(21)TT，解得T≥

4

5

,等号成立当且仅当θ+arctan

21T

T



=θ

+arctan

3

4

=

2



，(A)正确；当θ=0时T=2，θ=

2



时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC

28.【简解】黑球先放好，放白球，选A

29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有3

5

C种方法，如选了123；在确定不重复用数字，

有1

3

C种方法，如选3；对数字3安排有1

5

A种方法，余下对数字1安排有2

4

C种方法，剩下两位安排2；有

3

5

C1

3

C1

5

A2

4

C=900.选C

30.【简解】解方程得到222141yxx，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)正确；

22xy=2411x≤1有-

3

2

≤x≤

3

2

条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tanθ,θ∈(-

2



,

2



),2y=-2

1

c

4

+cθ-

3

4

,当cθ=2时，2

max

y=

1

4

，-

1

2

≤y≤

1

2

,(D)正确。选ABD