新知杯

2011上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）

1．方程组

27121

1

xxy

xy















的解集是。

2．在平面直角坐标系中，长度为1的线段

AB

在x轴上移动（点

A

在点

B

的左边），点(0,1)P与点

A

连

成直线，点(1,2)Q与点

B

连成直线，则直线

PA

与直线QB的交点

R

轨迹的普通方程是。

3．已知

M

是椭圆

22

1

169

xy

在第一象限的弧上一动点，MNy轴，垂足为N，当OMN面积最大

时，它的内切圆半径r。

4．已知

ABC

的外接圆半径为1，角

ABC、、

的平分线分别交

ABC

的外接圆于点

111

ABC、、，则

111

coscoscos

222

sinsinsin

ABC

AABBCC

ABC





的值为。

5．设3()sin[(1)]12fxaxbx，其中,ab为实常数，若(lg5)5f，则(lg20)f的值为。

6．在平面直角坐标系中，

O

为坐标原点，点(3,),(3,)AaBb使45AOB，其中,ab为整数，且

ab

，

则满足条件的数对(,)ab共有组。

7．已知圆

C

的方程为224210xyxy（圆心为点

O

），直线(tan10)2yx与圆

C

交于

AB、

两点，则直线

ACBC，

的倾斜角之和为。

8．甲、乙两运动员乒乓比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜，若甲、

乙两人每局取胜的概率都是

1

2

，则甲最后获胜的概率是。（用最简分数作答）

二、解答题（共60分）

9．（本题满分14分）对于两个实数,ab，min{,}ab表示,ab中的较小数，求所有的非零实数x，使

41

min{,4}8min{,}xx

xx

。

10．（题满分14分）如图，在

ABC

中，

O

为

BC

的中点，点

MN，

分别在

边

ABAC，

上，且

6443AMMBANNC，，，

，90MON；

求

A

的大小。

11．（本题满分16分）对整数

k

，定义集合{|5050(1),}

k

SnknknZ，问

012599

SSSS，，，，

这600个集合中，有多少个集合不含有完全平方数？

12．（本题满分16分）求所有大于1的正整数n，使得对任意正实数

12

,,,

n

xxx，都有不等式

2

1212231

()()

nn

xxxnxxxxxx。