basically

实分析中“几乎处处”与“基本上”之间关系的研究

摘要

本文首先给出了几乎处处的几中定理以及定义，其中包括几乎处处可导、几

乎处处收敛、几乎处处连续、以及它们的推论。然后给出了与几乎处处有关的几

种定理及证明，包括Lusin定理及证明、Lebesgue定理及证明，平探讨了可测函

数与几乎处处可微的辩证关系，再次给出了基本上连续、基本上可导概念，再次

证明了基本上可导真包含几乎处处可导、基本上连续真包含几乎处处连续。并讨

论了它们之间的区别与联系。

本论文对初学实变函数者有较好的帮助，浅显易懂的介绍了几乎处处与基本

上之间的辩证关系，对学生们理解它们之间的关系有较大帮助，且能提高他们学

习的积极性，对于我们研究实变函数也能起到理论和实际的作用。

关键词几乎处处可导,基本上可导,几乎处处收敛,实变函数

Analysisofrelationshipbetween“almosteverywhere”and

“basically”studies

Abstract

Firstly,thisthesisgivesveraltheoremsanddefinitionsofAlmostEverywhere,

includingDifferentiableAlmostEverywhere,AlmostEverywhereConverge,the

veraltheoremsandits

proofrelevanttoAlmostEverywherewhichincludeLusin’stheoremanditsproof,

Lebesgue’stheoremanditsproofareprovidedandthethesixploresthedialectic

relationshipbetweenMeasurableFunctionandDifferentiableAlmostEverywhere.

Thirdly,thethesisgivestheconceptionofBasicallyContinuousandBasicallyCan

GuideandprovesthatdifferentiableAlmostEverywhereiscontainedinBasicallyCan

Gr,

thethesisdiscussthedifferencesandcontactsbetweenthem.

ThethesissimplyintroducesthedialecticalrelationshipbetweenAlmost

EverywhereandBasicallywhichishelpfultostudentswhowanttounderstandtheir

lsoimprove

theirlearningmotivationandplaytheroleoftheoreticalfunctionandpractical

functionforourrearchofRealVariableFunction.

KeywordsAlmostEverywhereConverg,BasicallyCanGuide,DifferentiableAlmostEverywhere,

RealVariableFunction

目次

一、实分析中关于几乎处处的几种定理及定义.............................1

（一）几乎处处收敛的定义.........................................1

（二）几乎处处连续的定义.........................................1

(三)几乎处处可导的定义及推论...................................2

二、实分析中与几乎处处有关的定理及证明...............................3

（一）Lusin定理及证明............................................3

(二)可测函数与几乎处处可微......................................4

(三)Lebesgue定理及证明.........................................5

（四）定理EFOPOB...............................................6

三、实分析中关于基本上的几种定义.....................................9

（一）基本上可导的定义...........................................9

（二）基本上连续的定义...........................................9

四、对实分析中几乎处处与基本上关系的研究

（一）几乎处处可导与基本上可导...................................9

（二）几乎处处连续与基本上连续的关系............................10

结论................................................................12

参考文献：..........................................................12

致谢..............................................................13

1

一、实分析中关于几乎处处的几种定理及定义

（一）几乎处处收敛的定义1

以下定理中所涉及的测度都是指nR

中Lebesgue测度，

E

是nR

中的可测子

集，

f

是可测函数，

n

nN

f



是可测函数列，

()LE

表示

E

上的Lebesgue可积函数

族。

定义若

lim0

n

n

ff





在

E

上几乎处处成立，则称

n

f在

E

上几乎处处收敛于

f

记为..ae

n

ff

.

（二）几乎处处连续的定义2

以下定义均在一维欧氏空间

R

中讨论，所有结果都可以推广到n维欧氏空间

中去。

ER

，mE表示

E

的Lebesgue测度.

定义1设

()fx

于

ER

有定义，

0

xE,如果

0

()fx有限，且对任意



00

，存在，当x(x,x+)E时，

有

0

()()fxfx

，则称

()fx

在

0

x点

相对于

E

连续，如果

()fx

中每一点都相对于

E

连续，则称

()fx

在

E

上连续，

或称

()fx

是

E

上的连续函数.

定义2设

E

为

R

中可测集，

()fx

于

E

有定义，如果存在NE,满足：（1）

0mN,(2)

()fx在EN上连续，则称

()fx

在

E

上几乎连续.

定义3设

E

为

R

中可测集，

()fx

于

E

有定义，如果存在NE,满足：（1）0mN

(2)对任意

0

xEN

,

()fx

在

0

x点都相对于

E

连续，则称

()fx

在

E

上几乎处处

连续.

2

(三)几乎处处可导的定义及推论3

以下定义均在一维欧氏空间

R

中讨论，所有结果都可以推广到n维欧氏空

间中去。

ER

，mE表示

E

的Lebesgue测度.

定义1设

ER

，

()fx

是

E

上的实函数，

0

xE，如果

0

()fx有限，且存在

有限实函数b，对任意0，存在0，当

000

(,)()xxxEx时，有

0

0

()()fxfx

b

xx









，则称

()fx

在

0

x点相对于E可导，则称b是

()fx

在

0

x点相

对于

E

的导数，记为

()fxb

（相对于

E

）.如果

()fx

在

E

中每一点都相对于

E

可导，则称

()fx

在

E

上可导.

定义2设

E

是

R

中可测集,

()fx

是

E

上的实函数，如果存在NE,满足：

（1）0mN,(2)对任意，

0

/xEN,

()fx

在

0

x点都相对于

E

可导，则称

()fx

在

E

上几乎处处可导.

定义3设

E

为

R

中可测集，

()fx

是

E

上的实函数，如果存在NE,满足：

（1）0mN,(2)

()fx

在EN上可导，则称

()fx

在

E

上几乎可导.

引理1若

()fx

在

0

x点相对于

E

可导，则

()fx

在

0

x点相对于

E

连续.

定理1若

()fx

在

E

上几乎处处可导，则

()fx

在

E

上几乎处处连续.

定理2若

()fx

在

E

上几乎可导，则

()fx

在

E

上几乎连续.

定理3若

()fx

在,ab

上几乎处处可导，则

()fx

在,ab

上几乎可导，反之

不真，其中ab.

证明：由定义知若

()fx

在,ab

上几乎处处可导，则

()fx

在,ab

上几乎可

导,例子如下：

3

设





1,x

()

0xab

gx













当为a,b中有理数时

，当，中无理数时，

则

()gx

在,ab

上几乎可导（令N为,ab

中有理数所成之集.则0mN，

()gx

在,ab

-N上可导）.但是由于

()gx

在,ab

上非Riemann可积，故

()gx

在

,ab

上非几乎处处连续，再由定理1知

()gx

在,ab

上非几乎处处可导.

引理2存在可测集,Eab

,使得对任意开区间,ab

，皆有

()0,()0

c

mEmE

.其中ab.（

c

E表示

E

的余集）

二、实分析中与几乎处处有关的定理及证明

（一）Lusin定理及证明4

定理1（Lusin）

f

是可测集

D

上几乎处处有限的可测函数，则对0，

存在

D

中的闭集

F

，

()mDF

,使得

f

是

F

的连续函数.

证明：()mD，

由于

f

在

D

上可测，可测函数可被简单函数列逼近，

()()

n

fxfx

.

由于简单函数可被连续函数逼近，

,

0,()

n

fx





连续，使得

,

1

()()

2nn

n

mEfxfx















.

令

0

EEf

，在

0,nn

DEEff









上，

nn

fff





令

,nn

EEff











有

,,

1

1

.

22nnnn

n

n

mEmEffmEff



















且

,nn

fff





由Egoroff定理，

0

FDEE





,使

0

()mDEEF

.

4

,n

f



在

F

上一致收敛于

f

，故

f

在

F

上连续.

又

0000

()()()mDFmEEFEEmDEEFmEmE

(二)可测函数与几乎处处可微5

定理2设()fx是a,b绝对连续函数，则()fx是a,b上几乎处处可微

()fx是a,b上Lebesgue可积，且

,

()()()

ab

fxdxfbfa

证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式

,

()()()

ab

fxdxfbfa成立.对

于xb，令

()()fxfb

，记

1

()()

1

()[())()],

1n

fxfx

n

xnfxfx

n

n







则

,

n

ab是

上的可积函数，且lim()'()..[,].

n

n

xfxaeab



证{}[,]

n

ab是上积分等度

绝对连续的函数序列.任取0,0存在使得定义8中的不等式成立.设

(,),1,2,,[,]

ii

abiab是内一列互不相交的区间,使得

1

()

ii

i

ba





则对任意正

整数m有

1

()

m

ii

i

ba



.

从而对任意[,]xab有

11

|[()()]||()()|

mm

iiii

ii

fxbfxafxbfxa



得：

1

11

(,)(,)(,)

11

1

|()||[()()]||[()()]|m

iiiiii

i

mm

n

abbbaa

ii

nn

xdxnfxfxdxnfxdxfxdx

n















11

(0,)(0,)

11

||[()()]||[()()]|

mm

iiii

ii

nn

nfbxfaxdxnfbxfaxdx







1,2,3,n

由积分的绝对连续性易知：

1

(,)

|()|

ii

i

n

ab

xdx







1,2,3,n

进而对任意开集[,]Gab，只要mG便有|()|

n

G

xdx1,2,3,n

5

若

[,]Aab

是

g

G型集，

1

,

kk

k

AGG





是开集mA,则可设

1kk

GG





，当k充分

大时，也有

k

mG

，因此由lim()()

k

nn

G

k

A

xdxxdx



立得：

|()|

n

G

xdx1,2,3,n

现设

[,]Aab

，是任意可测集，mA,则可找到

g

G型集GA.使

,mGmA

于是|()||()|,

nn

AG

xdxxdx1,2,3,n

这说明{()}

n

x具有积分

等度绝对连续性，由Vitali定理立知：

[,][,]

()lim()

n

abab

n

fxdxxdx







[,]

1

lim[()()]

ab

n

nfxfxdx

n



11

[,][,]

lim[()()]

bbaa

n

nn

nfxdxfxdx







()()fbfa

得正.

例若

1

{()}

mm

fx



是E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到

()fx

，即

()lim()..[E]

m

m

fxfxae



，则

()fx

在

E

上可测.

证明：由于

()

m

fx

几乎处处收敛到

()fx

，故存在零测集

0

E,使得

()

m

fx

在

0

EE

上处处收敛到

()fx

，由上述引理知

()fx

是

0

EE

上的可测函数，从而也

是

E

上的可测函数.

(三)Lebesgue定理及证明6

设

E

是测度有限的可测集，函数序列

12

(),(),(),fxfxfx

„

是

E

上几乎处处有限可测函数列，若()(),.,

n

fxfxaeE

则

n

ff.

证明：0,要证：lim()()0.

n

n

Exfxfx





事实上，0,由叶果洛夫定理，

,(),EEmEE





使得

()

n

fx

在E



上

一致收敛到

()fx

，即

,,NnNxE





恒有：

()()

n

fxfx

6

故，,()(),

n

nNExfxfxEE





即，

()()().

n

mExfxfxmEE





因此，lim()()0.

n

n

mExfxfx



即

.

n

ff

例试求

1

22

0

lim()sin

1n

nx

Rnxdx

nx



证明：令

22

()sin

1n

nx

fxnx

nx





则

()

n

fx

为可测函数且1

2

|()|()

n

fxFx

，从而Lebesgue控制收敛定理知：

1

2222

0[0,1]

22

[0,1][0,1]

lim()sinlim()sin

11

()limsin()00

1

nn

n

nxnx

RnxdxLnxdx

nxnx

nx

LnxdxLdx

nx

















（四）定理EΓОРОВ7

设

E

是可测集，mE，

()()

n

fxnN

与()fx是

E

上几乎处处有限的可测

函数，且

{()}

n

fx在

E

上几乎处处收敛于()fx.那么，对任意的0，存在子集

EE





，使函数列

{()}

n

fx

在E



上一致收敛于()fx，且

()mEE





.

证明：令*[||]EEf

1

[||]

n

n

Ef





，则*E

是零测度集.当有必要时可

用*EE代替

E

，所以在证明中不妨假定每个()()

n

fxnN与()fx都在

E

上处处

有限.

对任意的0，我们先构造

E

的子集E



，使

()mEE





，然后证明

{()}

n

fx

在E



上一致收敛于()fx.

设0，令

()[||]

nnn

EEEff

，则

当

0

lim

n

n

xE





时，

00

()()()

n

fxfxn

.

事实上，由

lim

n

n

E



的定义，若

0

lim

n

n

xE





，则有无穷多个

n

E包含

0

x，即有正

整数子列

{}

k

n

，使

0

(1,2,)

k

n

xEk

.因此

7

00

|()()|

k

n

fxfx

，

所以

00

()()()

n

fxfxn

由假设

()()..

n

fxfxae

于

E

，所以(lim)0

n

n

mE



.记

()

k

F

()(1,2,)

n

nk

Ek





，

则{}

k

F是单调减少集列，且

1

mF

1

n

n

mEmE













，所以有：

11

lim(lim)(lim)0

kkknk

kkk

kknk

mFmFmFmEmE















，

所以对任意的

0

，有kN，使

()

k

mF

.

特别，对任意的0以及正整数r，取

1

2r



，

2r





，那么，必有

r

k，使

1

()

22r

k

rr

mF





，rN，从而

11

1

11

()()

222rr

kk

rrr

rr

r

mFmF





















.

设

1

1

()

2r

k

r

r

SF





，EES



，则

()mEEmS





.往证

{()}

n

fx在E



上

一致收敛于()fx.事实上，当xE



时，xS，即对任意的rN，

1

()

2r

k

r

xF

，

即当

r

nk时，

1

||

2nn

r

xEEff









，此即当

r

nk，xE



时，有

1

|()()|0()

2n

r

fxfxr，

并且

r

k只与r，有关，与xE





无关，因而

{()}

n

fx

在E



上一致收敛于()fx.

定理得证.

注1：定理中条件

mE

是不能去掉的.

例设(0,)E，在

E

上构造函数列

1,

()

0,n

fx









(0,);

[,),

xn

xn





1,2,n

那么，对任意的(0,)xE，有充分大的

x

NN，使得

(0,)

x

xN

，于是

当

x

nN

时，

()1

n

fx

，因此

8

lim()()1

n

n

fxfx



(0)x

.

取1，则对任何可测集

EE





，若

()mEE





，则在E



上

{()}

n

fx

不可

能一致收敛于

()1fx

.事实上，由于

()1mEE





，所以

mE





，于是集

E



无界.取

0

1

2



，对任意的正整数N，存在1nN和

0

1xN

且

0

xE





.

则

000

|()()||01|1

n

fxfx

.

所以在E



上

{()}

n

fx

不一致收敛于

()fx

.

注2：定理中的E



与有关.定理结论中的“对任意的0”不能改成“对

于0”即在mE时，从

..

n

ffae

于

E

不一定能推出存在子集

0

EE，使

得

{()}

n

fx

在

0

E上一致收敛于()fx，而

0

()0mEE

.

例设

(0,1)E

，

()n

n

fxx

，

,1,2,xEn

，则对任意的xE，

lim()()0

n

n

fxfx



.对任一满足

0

()0mEE的

0

EE，存在

0

1

(1,1)(1,2,)

n

xEn

n

，

于是

0n

xE且

1

11

n

x

n



，所以

11

()(1)()nn

nnn

fxxn

ne

，

即lim()0

nn

n

fx



，这说明在

0

E上

{()}

n

fx

不一致收敛于()0fx.

例

8设在

E

上

()()

n

fxfx

，且

1

()()

nn

fxfx





几乎处处成立，

,3,2,1n,则有{()}

n

fxa.e.收敛于

)(xf

.

证明:因为

()()

n

fxfx

，则存在

{}{}

i

nn

ff

，使

()

i

n

fx

在

E

上a.e.收敛到()fx.

设

0

E

是

()

i

n

fx

不收敛到()fx的点集.

1

[]

nnn

EEff





，则

0

0,0

n

mEmE

.因此

0

0

()0

nn

n

n

mEmE









.在

1

n

n

EE





上，

()

i

n

fx

收敛到()fx，且

()

n

fx

是单调的.

因此

()

n

fx

收敛到()fx（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）.

9

即除去一个零集

1

n

n

E





外，

()

n

fx

收敛于

()fx

，就是

()

n

fx

a.e.收敛到

()fx

.

三、实分析中关于基本上的几种定义

（一）基本上可导的定义

设

E

为

R

中可测集，

()fx

是

E

上的实函数，如果对任意0，都存在可测

子集EE



,满足：（1）

mE





，（2）

()fx

在EE



上可导，则称

()fx

在

E

上基

本上可导.

（二）基本上连续的定义

设

E

为

R

中可测集，

()fx

于

E

有定义，如果对任意0，都存在可测子集

EE



,满足：（1）mE



，（2）

()fx

在EE



上连续，则称

()fx

在

E

上基本

上连续.

四、对实分析中几乎处处与基本上关系的研究

（一）几乎处处可导与基本上可导3

若

()fx

在,ab

上几乎可导，则

()fx

在,ab

上基本上可导，反之不真.其中

ab.

证明：由定义知几乎可导基本上可导，反之不真.例子如下：

令



1,x

()

0xab-

E

x

E













当时

，当，时

其中E是引理2中的可测集.

首先证

()x

在,ab

上基本上可导的.

事实上对任意0，由

E

可测知存在闭集

1

FE

使得

1

()/2mEF

，

10

又,ab

-

E

可测，故存在闭集

2

(,)FabE,使得

2

(,)/

令

12

,NabFF

注意到

121221

,(,)()(,)()

c

abFFabFFEEabEFEF，

知

21

(,)()/2/2mNmabEFmEF

下边证

()x

在

12

,abNFF上可导.由于

1

F与

2

F是不相交的有界闭集，

故

12

(,)0dFF

,(

12

(,)dFF

表示点集

1

F与

2

F的距离).再注意到

()x

在

1

F上恒等

于1,在

2

F上恒等于0,由此易证对任意

012

xFF

,

()x

在

0

x点皆相对于

12

FF

可导,按定义知

()x

在

12

FF上可导.综上知

()x

在,ab

上基本上可导.

其次证

()x

在,ab

上非几乎可导.事实上对任意,Nab

,0mN,

()x

在,abN

上皆不可导，取

0

,xabN

,不妨设

0

x为,ab

的内点,对

0

x的任意

领域

00

(,),xxab，由引理2知

()0mE

，又0mN,故

((,))(,)()()mEabNmEabNmENmEmN

()0,(,))mEEabN故

,取

1

(,)xEabN

，则

1

()1x

由定理2又有

()0

c

mE

，同理可证(,)

c

EabN

,取

2

x

(,)

c

EabN

中皆含有两点

1

x和

2

x，使得

1

()1x

.

2

()0x

.故

()x

在

0

x

点相对于,abN

不可导，再由定义3知

()x

在,ab

上非几乎可导.

综上所述知函数类{几乎处处可导函数}{几乎可导函数}{基本上可导函

数}是真包含关系.

（二）几乎处处连续与基本上连续的关系2

若

()fx

在,ab

上几乎连续，则

()fx

在,ab

上基本上连续，反之不真.其中

ab.

证明：由定义知：几乎连续



基本上连续，反之不真.例子如下：

令

11



1,x

()

0xab-

E

x

E













当时

，当，时

其中

E

是引理2中的可测集.则

()x

是,ab

上处处有限的可测函数.事实上对任

意0，存在闭集,Fab,满足：（1）(,)mabF，（2）

()x

在

F

上连

续，令

1

,EabF,

则

1

mE

,

()x

在

1

,abEF上连续，按定义知

()x

在,ab

上基本上连

续.下面证

()x

在,ab

非就几乎连续，事实上，对任意,Nab

,0mN,

()x

在,abN

上不连续.取

0

,xabN

，不妨设

0

x为,ab

的内点，对

0

x的任意邻

域

00

(,),Uxxab，由引理知

()0mUE

,又0mN,故

,,mUEabNmUEabN









=

()()()0mUENmUEmNmUE

故,UEabN

，取

1

(,)xUEabN

,则

1

()1x，

由定理又有()0

c

mUE，同理可证(,)

c

UEabN

，取



2

(,)

c

xUEabN

,则

2

()0x，这证明了

0

x的任意邻域(,)UabN

，

中皆含有两点

1

x和

2

x，使得

1

()1x

，

2

()0x

，故()x

在

0

x相对于,abN

不连续.

综上所述,函数类{几乎处处连续函数}{几乎连续函数}{基本上连续函

数}是真包含关系.

12

结论

通过上述定理定义以及证明我们发现几乎处处比基本上更严谨它们是真包

含关系，在学习实变函数时给我的感觉是抽象难以理解如其中的可测集、可数集、

可测函数，以至于在学习时马马虎虎，但通过对实变函数的理解加深才发现没我

想象的难以理解，把其中相似的归纳在一起研究讨论找出其中的联系及区别就能

很容易明白其中的道理。

参考文献：

[1]续小磊,续晓欣.几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛之间的等价条件研究[J].长江

大学学报,2011，10

[2]樊红云,康宇光.几乎连续几乎处处连续基本上连续的关系[J].齐齐哈尔师范学院学报

（自然科学版）,1997，（4）：8-9.

[3]樊红云,林营文.几乎处处可导几乎可导基本上可导的关系[J].高师理科学刊,1998，12

[4]周民强.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2001.

[5]李工宝.实变函数[M].湖北:华中师范大学出版社,2009.

[6]程其囊.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,1984.

[7]金瑾.几乎处处收敛的可测函数的两个性质[J].广西教育学院学报,2003第一期.

[8]徐新亚.实变函数论[M].上海:同济大学,2010.

13

致谢

本文承蒙指导老师的悉心指导，本文从开题、写作直至最终定稿，老师给予

了诸多建设性建议，并在百忙之中三阅其稿。恩师严谨的治学态度、科学的治学

方法、渊博的学识、诲人不倦的精神和平易近人的工作作风令我景仰和敬慕，并

将使我终生受益。同时数学系机房的硬件设施和图书馆及其电子资源，为本课题

的研究工作提供了良好的条件.另外，本课题的部分工作还得益于许多同学的帮

助.在此，对他们一并表示感谢！