考研数学真题下载

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1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当

x

=_____________时,函数2xyx取得极小值.

(2)由曲线

lnyx

与两直线

e1yx

及

0y

所围成的平面图形的面积是

_____________.

1x

(3)与两直线

1yt

及

121

111

xyz



都平行且过原点的平面方程为

_____________.2zt

(4)设

L

为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)

L

xyydxxxdy=

_____________.

(5)已知三维向量空间的基底为

123

(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量

(2,0,0)β

在此

基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数

a

与

,b

使等式

2

2

0

0

1

lim1

sin

x

x

t

dt

bxx

at







成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、

g

为连续可微函数,(,),(),ufxxyvgxxy求

,.

uv

xx





(2)设矩阵

A

和

B

满足关系式

2,AB=AB

其中

301

110,

014













A

求矩阵.B

四、(本题满分8分)

求微分方程26(9)1yyay



的通解,其中常数0.a

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

2

()()

lim1,

()xa

fxfa

xa







则在

xa

处

(A)()fx的导数存在,且()0fa



(B)()fx取得极大值

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(C)

()fx

取得极小值(D)

()fx

的导数不存在

(2)设

()fx

为已知连续函数

0

,(),

s

tItftxdx其中

0,0,ts

则

I

的值

(A)依赖于

s

和t(B)依赖于

s

、t和

x

(C)依赖于t、

x

,不依赖于

s

(D)依赖于

s

,不依赖于t

(3)设常数

0,k

则级数

2

1

(1)n

n

kn

n









(A)发散(B)绝对收敛

(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关

(4)设

A

为

n

阶方阵，且

A

的行列式

||0,aA

而*A

是

A

的伴随矩阵，则*||A等于

(A)

a

(B)

1

a

(C)1na(D)na

六、（本题满分10分）

求幂级数1

1

1

2

n

n

n

x

n







的收敛域，并求其和函数.

七、（本题满分10分）

求曲面积分

2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy





其中



是由曲线

113

()

0

zyy

fx

x

















绕

y

轴旋转一周而成的曲面,其法向量与

y

轴正

向的夹角恒大于

.

2



八、（本题满分10分）

设函数

()fx

在闭区间

[0,1]

上可微,对于

[0,1]

上的每一个

,x

函数

()fx

的值都在开区间

(0,1)内,且

()fx





1,证明在(0,1)内有且仅有一个

,x

使得().fxx

九、（本题满分8分）

问,ab为何值时,现线性方程组

1234

234

234

1234

0

221

(3)2

321

xxxx

xxx

xaxxb

xxxax









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有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件

A

发生的概率为

,p

现进行

n

次独立试验,则

A

至少发生一次的概

率为____________;而事件

A

至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从

第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球

的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的

球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量

X

的概率密度函数为221

1

()e,xxfx



则

X

的数学期望为

____________,

X

的方差为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

,XY

相互独立,其概率密度函数分别为

()

X

fx

1

0

01x

其它

,()

Y

fy

e

0

y0

0

y

y





,

求

2ZXY

的概率密度函数.

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1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求幂级数

1

(3)

3

n

n

n

x

n





的收敛域.

(2)设2()e,[()]1xfxfxx且

()0x

,求

()x及其定义域.

(3)设为曲面2221xyz的外侧,计算曲面积分ydzdxzdxdy





二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(1)若2

1

()lim(1),tx

x

ftt

x



则

()ft



=_____________.

(2)设

()fx

连续且31

0

(),xftdtx则

(7)f

=_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间

(1,1]

上定义为

()fx

2

2

x

10

01

x

x





,则的傅里叶

()Fourier

级数在1x处收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵

234234

[,,,],[,,,],AαγγγBβγγγ其中

234

,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已

知行列式4,1,AB则行列式AB=_____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()fx可导且

0

1

(),

2

fx





则0x时,()fx在

0

x处的微分dy是

(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小

(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小

(2)设

()yfx

是方程

240yyy





的一个解且

00

()0,()0,fxfx



则函数

()fx

在点

0

x处

(A)取得极大值(B)取得极小值

(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域22222222

12

:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则

(A)

12

4xdvdv



(B)

12

4ydvydv





(C)

12

4zdvzdv



(D)

12

4xyzdvxyzdv





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(4)设幂级数

1

(1)n

n

n

ax





在1x处收敛,则此级数在2x处

(A)条件收敛(B)绝对收敛

(C)发散(D)收敛性不能确定

(5)

n

维向量组

12

,,,(3)

s

snααα线性无关的充要条件是

(A)存在一组不全为零的数

12

,,,,

s

kkk使

1122

0

ss

kkkααα

(B)

12

,,,

s

ααα中任意两个向量均线性无关

(C)

12

,,,

s

ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(D)

12

,,,

s

ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设()(),

xy

uyfxg

yx

其中函数f、

g

具有二阶连续导数,求

22

2

.

uu

xy

xxy







五、(本题满分8分)

设函数

()yyx

满足微分方程322e,xyyy



其图形在点

(0,1)

处的切线与曲线

21yxx在该点处的切线重合,求函数().yyx

六、（本题满分9分）

设位于点

(0,1)

的质点

A

对质点

M

的引力大小为

2

(0

k

k

r



为常数

,r

为

A

质点与

M

之间

的距离),质点

M

沿直线22yxx自

(2,0)B

运动到

(0,0),O

求在此运动过程中质点

A

对质

点

M

的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

已知,APBP其中

100100

000,210,

001211















BP

求5,.AA

八、（本题满分8分）

已知矩阵

200

001

01x













A

与

200

00

001

y















B

相似.

(1)求

x

与

.y

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(2)求一个满足1PAPB

的可逆阵.P

九、（本题满分9分）

设函数

()fx

在区间

[,]ab

上连续,且在

(,)ab

内有

()0,fx





证明:在

(,)ab

内存在唯一的

,

使曲线

()yfx

与两直线

(),yfxa

所围平面图形面积

1

S是曲线

()yfx

与两直线

(),yfxb

所围平面图形面积

2

S的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件

A

出现的概率相等,若已知

A

至少出现一次的概率等于

19

,

27

则事件

A

在一次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间

(0,1)

内任取两个数,则事件”两数之和小于

6

5

”的概率为____________.

(3)设随机变量

X

服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

2

2

1

()e,(2.5)0.9938,

2

u

xxdu









则

X

落在区间

(9.95,10.05)

内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

X

的概率密度函数为

2

1

(),

(1)X

fx

x





求随机变量31YX

的概率密度函

数().

Y

fy

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1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)已知

(3)2,f





则

0

(3)(3)

lim

2h

fhf

h



=_____________.

(2)设

()fx

是连续函数,且1

0

()2(),fxxftdt则

()fx

=_____________.

(3)设平面曲线

L

为下半圆周21,yx则曲线积分22()

L

xyds=_____________.

(4)向量场divu在点

(1,1,0)P

处的散度divu=_____________.

(5)设矩阵

300100

140,010,

003001













AI

则矩阵1(2)AI=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当0x时,曲线

1

sinyx

x



(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近

线

(2)已知曲面224zxy上点

P

处的切平面平行于平面

2210,xyz

则点的坐标是

(A)

(1,1,2)

(B)

(1,1,2)

(C)

(1,1,2)

(D)

(1,1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解

是

(A)

11223

cycyy(B)

1122123

()cycyccy

(C)

1122123

(1)cycyccy(D)

1122123

(1)cycyccy

(4)设函数2(),01,fxxx而

1

()sin,,

n

n

Sxbnxx





其中

1

0

2()sin,1,2,3,,

n

bfxnxdxn则

1

()

2

S

等于

(A)

1

2



(B)

1

4



(C)

1

4

(D)

1

2

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(5)设

A

是

n

阶矩阵,且

A

的行列式0,A则

A

中

(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组

合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)设

(2)(,),zfxygxxy

其中函数

()ft

二阶可导

,(,)guv

具有连续二阶偏导数,求

2

.

z

xy





(2)设曲线积分2()

c

xydxyxdy与路径无关,其中

()x具有连续的导数,且

(0)0,

计算

(1,1)

2

(0,0)

()xydxyxdy的值.

(3)计算三重积分(),xzdv



其中



是由曲面22zxy

与221zxy

所围成的区

域.

四、(本题满分6分)

将函数

1

()arctan

1

x

fx

x







展为

x

的幂级数.

五、(本题满分7分)

设

0

()sin()(),xfxxxtftdt其中f为连续函数,求

().fx

六、（本题满分7分）

证明方程

0

ln1cos2

e

x

xxdx



在区间

(0,)

内有且仅有两个不同实根.

七、（本题满分6分）

问为何值时,线性方程组

13

xx

123

422xxx

123

6423xxx

有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分）

假设为

n

阶可逆矩阵

A

的一个特征值,证明

(1)

1



为1A的特征值.

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(2)



A

为

A

的伴随矩阵*A

的特征值.

九、（本题满分9分）

设半径为

R

的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上,问当

R

为何值时,球面

在定球面内部的那部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件

A

的概率

()0.5,PA

随机事件

B

的概率

()0.6PB

及条件概率

(|)0.8,PBA

则和事件AB的概率

()PAB

=____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,

则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量在

(1,6)

上服从均匀分布,则方程210xx有实根的概率是

____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

X

与

Y

独立,且

X

服从均值为1、标准差(均方差)为

2

的正态分布,而

Y

服从

标准正态分布.试求随机变量23ZXY的概率密度函数.

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1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

2xt

(1)过点

(1,21)M

且与直线

34yt

垂直的平面方程是_____________.

1zt

(2)设a为非零常数,则

lim()x

x

xa

xa





=_____________.

(3)设函数

()fx

1

0

1

1

x

x





,则

[()]ffx

=_____________.

(4)积分2

22

0

ey

x

dxdy的值等于_____________.

(5)已知向量组

1234

(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),αααα

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

()fx

是连续函数,且e()(),x

x

Fxftdt则

()Fx



等于

(A)e(e)()xxffx(B)e(e)()xxffx

(C)e(e)()xxffx(D)e(e)()xxffx

(2)已知函数()fx具有任意阶导数,且2()[()],fxfx



则当n为大于2的正整数时

,()fx

的

n阶导数()()nfx是

(A)1![()]nnfx(B)1[()]nnfx

(C)2[()]nfx(D)2![()]nnfx

(3)设a为常数,则级数

2

1

sin()1

[]

n

na

n

n







(A)绝对收敛(B)条件收敛

(C)发散(D)收敛性与a的取值有关

(4)已知()fx在0x的某个邻域内连续,且

0

()

(0)0,lim2,

1cosx

fx

f

x





则在点0x处()fx

(A)不可导(B)可导,且

(0)0f





(C)取得极大值(D)取得极小值

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(5)已知

1

β、

2

β是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解

1

,α、

2

α是对应其次线性方

程组AX0的基础解析

1

,k、

2

k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是

(A)12

11212

()

2

kk





ββ

ααα

(B)12

11212

()

2

kk





ββ

ααα

(C)12

11212

()

2

kk





ββ

αββ

(D)12

11212

()

2

kk





ββ

αββ

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求1

2

0

ln(1)

.

(2)

x

dx

x







(2)设

(2,sin),zfxyyx

其中

(,)fuv

具有连续的二阶偏导数,求

2

.

z

xy





(3)求微分方程244exyyy

的通解(一般解).

四、(本题满分6分)

求幂级数

0

(21)n

n

nx





的收敛域,并求其和函数.

五、(本题满分8分)

求曲面积分

2

S

Iyzdzdxdxdy

其中S是球面2224xyz外侧在0z的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数

()fx

在闭区间

[,]ab

上连续,在开区间

(,)ab

内可导,且

()().fafb

证

明在

(,)ab

内至少存在一点,使得

()0.f



七、（本题满分6分）

设四阶矩阵

11002134

01100213

,

00110021

00010002





















BC

且矩阵

A

满足关系式

1()

AECBCE

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其中

E

为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵

,



C

表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求

矩阵.A

八、（本题满分8分）

求一个正交变换化二次型222

123121323

44448fxxxxxxxxx成标准型.

九、（本题满分8分）

质点

P

沿着以

AB

为直径的半圆周,从点

(1,2)A

运

动到点

(3,4)B

的过程中受变力

F

作用(见图).

F

的大

小等于点

P

与原点O之间的距离,其方向垂直于线段

OP且与

y

轴正向的夹角小于

.

2



求变力F对质点

P

所作的功.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机变量

X

的概率密度函数

1

()e,

2

xfxx

则

X

的概率分布函数

()Fx

=____________.

(2)设随机事件

A

、

B

及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示

B

的对立事件,

那么积事件AB的概率()PAB=____________.

(3)已知离散型随机变量

X

服从参数为2的泊松

()Poisson

分布,即

22e

{},0,1,2,,

!

k

PXkk

k



则随机变量32ZX的数学期望()EZ=____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量

(,)XY

在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于

X

的边缘概率

密度函数及随机变量

21ZX

的方差

().DZ

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1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设

21

cos

xt

yt





,则

2

2

dy

dx

=_____________.

(2)由方程2222xyzxyz

所确定的函数

(,)zzxy

在点

(1,0,1)

处的全微分

dz=_____________.

(3)已知两条直线的方程是

12

12321

:;:.

101211

xyzxyz

ll







则过

1

l且平行于

2

l的

平面方程是_____________.

(4)已知当0x时

1

2

3,(1)1ax

与cos1x是等价无穷小,则常数a=_____________.

(5)设4阶方阵

5200

2100

,

0012

0011

















A

则

A

的逆阵1A

=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)曲线

2

2

1e

1e

x

x

y











(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线

(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

(2)若连续函数()fx满足关系式2

0

()()ln2,

2

t

fxfdt



则

()fx

等于

(A)eln2x(B)2eln2x

(C)eln2x(D)2eln2x

(3)已知级数1

21

11

(1)2,5,n

nn

nn

aa









则级数

1

n

n

a





等于

(A)3(B)7

(C)8(D)9

(4)设

D

是平面

xoy

上以(1,1)、

(1,1)

和

(1,1)

为顶点的三角形区域

1

,D是

D

在第一象限

的部分,则

(cossin)

D

xyxydxdy等于

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(A)

1

2cossin

D

xydxdy(B)

1

2

D

xydxdy

(C)

1

4(cossin)

D

xyxydxdy(D)0

(5)设n阶方阵

A

、

B

、C满足关系式

,ABCE

其中

E

是n阶单位阵,则必有

(A)ACBE(B)CBAE

(C)BACE(D)BCAE

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求2

0

lim(cos).

x

x





(2)设n是曲面222236xyz在点

(1,1,1)P

处的指向外侧的法向量,求函数

2268xy

u

z



在点

P

处沿方向n的方向导数.

(3)22(),xyzdv



其中



是由曲线

22

0

yz

x





绕z轴旋转一周而成的曲面与平面

4z

所围城的立体.

四、(本题满分6分)

过点

(0,0)O

和

(,0)A的曲线族

sin(0)yaxa

中,求一条曲线

,L

使沿该曲线O从到

A

的

积分

3(1)(2)

L

ydxxydy的值最小.

五、(本题满分8分)

将函数()2(11)fxxx展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数

2

1

1

n

n





的

和.

六、（本题满分7分）

设函数

()fx

在

[0,1]

上连续

,(0,1)

内可导,且

1

2

3

3()(0),fxdxf证明在

(0,1)

内存在一点

,c

使

()





七、（本题满分8分）

已知

1234

(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aaαααα及

(1,1,3,5).bβ

(1)a、b为何值时,β不能表示成

1234

,,,αααα的线性组合?

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(2)a、b为何值时

,β

有

1234

,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.

八、（本题满分6分）

设

A

是n阶正定阵

,E

是n阶单位阵,证明

AE

的行列式大于1.

九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点

(,)Pxy

处的曲率等于此曲线在该点的法线

段

PQ

长度的倒数(

Q

是法线与x轴的交点),且曲线在点

(1,1)

处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量

X

服从均值为2、方差为2的正态分布,且

{24}0.3,PX

则

{0}PX

=____________.

(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率

与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于

4



的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量

(,)XY

的密度函数为

(,)fxy

(2)2e0,0

0

xyxy

其它

求随机变量

2ZXY

的分布函数.

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1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设函数

()yyx

由方程ecos()0xyxy确定,则

dy

dx

=_____________.

(2)函数222ln()uxyz在点

(1,2,2)M

处的梯度grad

M

u=_____________.

(3)设

()fx

2

1

1x





0

0

x

x









,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于

_____________.

(4)微分方程

tancosyyxx





的通解为

y

=_____________.

(5)设

11121

21212

12

,

n

n

nnnn

ababab

ababab

ababab















A

其中0,0,(1,2,,).

ii

abin则矩阵

A

的秩

()rA

=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当1x时,函数

1

2

1

1

e

1

x

x

x







的极限

(A)等于2(B)等于0

(C)为(D)不存在但不为

(2)级数

1

(1)(1cos)(n

n

a

n





常数

0)a

(A)发散(B)条件收敛

(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关

(3)在曲线23,,xtytzt的所有切线中,与平面24xyz平行的切线

(A)只有1条(B)只有2条

(C)至少有3条(D)不存在

(4)设32()3,fxxxx则使()(0)nf存在的最高阶数n为

(A)0(B)1

(C)2(D)3

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(5)要使

12

10

0,1

21















ξξ

都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵

A

为

(A)212(B)

201

011









(C)

102

011











(D)

011

422

011















三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

2

0

esin1

lim.

11

x

x

x

x





(2)设22(esin,),xzfyxy其中

f

具有二阶连续偏导数,求

2

.

z

xy





(3)设

()fx

21

ex

x





0

0

x

x





,求3

1

(2).fxdx

四、(本题满分6分)

求微分方程323exyyy

的通解.

五、(本题满分8分)

计算曲面积分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy



其中为上半球面

222zaxy

的上侧.

六、（本题满分7分）

设

()0,(0)0,fxf





证明对任何

12

0,0,xx有

1212

()()().fxxfxfx

七、（本题满分8分）

在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面

222

222

1

xyz

abc



上

第一卦限的点

(,,),M问当、、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大

值.

八、（本题满分7分）

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设向量组

123

,,ααα线性相关,向量组

234

,,ααα线性无关,问:

(1)

1

α能否由

23

,αα线性表出?证明你的结论.

(2)

4

α能否由

123

,,ααα线性表出?证明你的结论.

九、（本题满分7分）

设3阶矩阵

A

的特征值为

123

1,2,3,对应的特征向量依次为

123

111

1,2,3,

149













ξξξ

又向量

1

2.

3













β

(1)将

β

用

123

,,ξξξ线性表出.

(2)求(nnAβ为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知

11

()()(),()0,()(),

46

PAPBPCPABPACPBC

则事件

A

、

B

、C全不

发生的概率为____________.

(2)设随机变量

X

服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e}XEX=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

X

与

Y

独立

,X

服从正态分布2(,),NY

服从

[,]

上的均匀分布,试求

ZXY

的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中

2

2

1

()e)

2

t

xxdt







.

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1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)函数

1

1

()(2)(0)xFxdtx

t

的单调减少区间为_____________.

(2)由曲线

223212

0

xy

z





绕

y

轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的

单位法向量为_____________.

(3)设函数2()()fxxxx的傅里叶级数展开式为0

1

(cossin),

2nn

n

a

anxbnx







则其中系数

3

b的值为_____________.

(4)设数量场222ln,uxyz

则

div(grad)u

=_____________.

(5)设n阶矩阵

A

的各行元素之和均为零,且

A

的秩为

1,n

则线性方程组AX0的通解

为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设sin

234

0

()sin(),(),xfxtdtgxxx则当0x时

,()fx

是

()gx

的

(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小

(C)高阶无穷小(D)低价无穷小

(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为

(A)4

0

2cos2d



(B)4

0

4cos2d





(C)4

0

2cos2d



(D)2

4

0

1

(cos2)

2

d





(3)设有直线

1

158

:

121

xyz

l







与

2

:l

6

23

xy

yz





则

1

l与

2

l的夹角为

(A)

6



(B)

4



(C)

3



(D)

2



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(4)设曲线积分[()e]sin()cosx

L

ftydxfxydy与路径无关,其中

()fx

具有一阶连续导数,

且

(0)0,f

则

()fx

等于

(A)

ee

2

xx

(B)

ee

2

xx

(C)

ee

1

2

xx

(D)

ee

1

2

xx



(5)已知

123

24,

369

t













QP

为三阶非零矩阵,且满足

0,PQ

则

(A)6t时

P

的秩必为1(B)6t时

P

的秩必为2

(C)6t时

P

的秩必为1(D)6t时

P

的秩必为2

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

21

lim(sincos).x

xxx



(2)求

e

.

e1

x

x

x

dx





(3)求微分方程22,xyxyy



满足初始条件

1

1

x

y



的特解.

四、(本题满分6分)

计算22,xzdydzyzdzdxzdxdy



其中是由曲面22zxy

与222zxy

所围立

体的表面外侧.

五、(本题满分7分)

求级数

2

0

(1)(1)

2

n

n

n

nn



的和.

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设在

[0,)

上函数()fx有连续导数,且

()0,(0)0,fxkf





证明()fx在

(0,)

内有

且仅有一个零点.

(2)设,bae证明.baab

七、（本题满分8分）

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已知二次型222

12312323

(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa通过正交变换化成标准形

222

123

25,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.

八、（本题满分6分）

设

A

是nm矩阵

,B

是mn矩阵,其中

,nmI

是n阶单位矩阵,若

,ABI

证明

B

的列向

量组线性无关.

九、（本题满分6分）

设物体

A

从点

(0,1)

出发,以速度大小为常数v沿

y

轴正向运动.物体

B

从点

(1,0)

与

A

同

时出发,其速度大小为

2,v

方向始终指向

,A

试建立物体

B

的运动轨迹所满足的微分方程,并写

出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第

二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量

X

服从

(0,2)

上的均匀分布,则随机变量2YX在

(0,4)

内的概率分布密度

()

Y

fy=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

X

的概率分布密度为

1

()e,.

2

xfxx

(1)求

X

的数学期望

EX

和方差.DX

(2)求

X

与X的协方差,并问

X

与X是否不相关?

(3)问

X

与X是否相互独立?为什么?

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1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

0

11

limcot()

sinxxx







=_____________.

(2)曲面e23xzxy在点

(1,2,0)

处的切平面方程为_____________.

(3)设esin,x

x

u

y

则

2u

xy





在点

1

(2,)



处的值为_____________.

(4)设区域

D

为222,xyR则

22

22

()

D

xy

dxdy

ab

=_____________.

(5)已知

11

[1,2,3],[1,,],

23

αβ

设

,



Aαβ

其中



α是α的转置,则nA

=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设434234

222

2

222

sin

cos,(sincos),(sincos),

1

x

MxdxNxxdxPxxxdx

x











则有

(A)NPM(B)MPN

(C)NMP(D)PMN

(2)二元函数

(,)fxy

在点

00

(,)xy处两个偏导数

00

(,)

x

fxy



、

00

(,)

y

fxy

存在是

(,)fxy

在该

点连续的

(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件

(3)设常数

0,

且级数2

1

n

n

a





收敛,则级数

2

1

(1)n

n

n

a

n











(A)发散(B)条件收敛

(C)绝对收敛(D)收敛性与有关

(4)

2

0

tan(1cos)

lim2,

ln(12)(1)x

x

axbx

cxde









其中220,ac则必有

(A)4bd(B)4bd

(C)4ac(D)4ac

(5)已知向量组

1234

,,,αααα线性无关,则向量组

(A)

12233441

,,,αααααααα线性无关(B)

12233441

,,,αααααααα线性无

关

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(C)

12233441

,,,αααααααα线性无关(D)

12233441

,,,αααααααα线性

无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)设2

2

2

1

cos()

1

cos()cos

2

t

xt

yttudu

u





,求

dy

dx

、

2

2

dy

dx

在

2

t



的值.

(2)将函数

111

()lnarctan

412

x

fxxx

x







展开成x的幂级数.

(3)求.

sin(2)2sin

dx

xx



四、(本题满分6分)

计算曲面积分

2

222

,

S

xdydzzdxdy

xyz





其中S是由曲面222xyR及

,(0)zRzRR

两平

面所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设

()fx

具有二阶连续函数

,(0)0,(0)1,ff





且2[()()][()]0xyxyfxydxfxxydy





为一全微分方程,求

()fx

及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分)

设

()fx

在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数,且

0

()

lim0,

x

fx

x



证明级数

1

1

()

n

f

n





绝

对收敛.

七、（本题满分6分）

已知点

A

与

B

的直角坐标分别为

(1,0,0)

与

(0,1,1).

线段

AB

绕x轴旋转一周所成的旋转曲

面为.S求由S及两平面

0,1zz

所围成的立体体积.

八、（本题满分8分）

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为12

24

0

0

xx

xx





,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为

12

(0,1,1,0)(1,2,2,1).kk

(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

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(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则

说明理由.

九、（本题满分6分）

设

A

为n阶非零方阵*,A是

A

的伴随矩阵

,



A

是

A

的转置矩阵,当*

AA

时,证明0.A

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知

A

、

B

两个事件满足条件()(),PABPAB且

(),PAp

则

()PB

=____________.

(2)设相互独立的两个随机变量

,XY

具有同一分布率,且

X

的分布率为

X

01

P

1

2

1

2

则随机变量

max{,}ZXY

的分布率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

X

和

Y

分别服从正态分布2(1,3)N和2(0,4),N且

X

与

Y

的相关系数

1

,

2xy



设

,

32

XY

Z

(1)求

Z

的数学期望

EZ

和

DZ

方差.

(2)求

X

与

Z

的相关系数.

xz



(3)问

X

与

Y

是否相互独立?为什么?

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1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

2

sin

0

lim(13)x

x

x





=_____________.

(2)

2

0

2cos

x

d

xtdt

dx

=_____________.

(3)设

()2,abc

则

[()()]()abbcca

=_____________.

(4)幂级数21

1

2(3)

n

nn

n

n

x









的收敛半径

R

=_____________.

(5)设三阶方阵

,AB

满足关系式16,ABAABA且

1

00

3

1

00,

4

1

00

7





















A

则

B

=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线:L

3210

21030

xyz

xyz





,及平面

:4220,xyz

则直线

L

(A)平行于



(B)在



上

(C)垂直于



(D)与



斜交

(2)设在

[0,1]

上

()0,fx





则

(0),(1),(1)(0)ffff





或

(0)(1)ff

的大小顺序是

(A)

(1)(0)(1)(0)ffff





(B)

(1)(1)(0)(0)ffff





(C)

(1)(0)(1)(0)ffff





(D)

(1)(0)(1)(0)ffff





(3)设()fx可导,()()(1sin),Fxfxx则

(0)0f

是()Fx在0x处可导的

(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件

(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件

(4)设

1

(1)ln(1),n

n

u

n

则级数

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(A)

1

n

n

u





与2

1

n

n

u





都收敛(B)

1

n

n

u





与2

1

n

n

u





都发散

(C)

1

n

n

u





收敛,而2

1

n

n

u





发散(D)

1

n

n

u





收敛,而2

1

n

n

u





发散

(5)设

3

212

3

010100

,,100,010,

001101

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa













ABPP

则必有

(A)

12

APP=B(B)

21

APP=B

(C)

12

PPA=B(D)

21

PPA=B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设2(,,),(,e,)0,sin,yufxyzxzyx其中

,f都具有一阶连续偏导数,且

0.

z







求

.

du

dx

(2)设函数

()fx

在区间

[0,1]

上连续,并设1

0

(),fxdxA求

11

0

()().

x

dxfxfydy

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分

,zdS

其中为锥面22zxy

在柱体222xyx内的部分.

(2)将函数

()1(02)fxxx

展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线

L

位于平面

xOy

的第一象限内

,L

上任一点

M

处的切线与

y

轴总相交,交点记为

.A已知,MAOA且

L

过点

33

(,),

22

求

L

的方程.

六、(本题满分8分)

设函数

(,)Qxy

在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分

2(,)

L

xydxQxydy与路径无

关,并且对任意t恒有(,1)(1,)

(0,0)(0,0)

2(,)2(,),ttxydxQxydyxydxQxydy求

(,).Qxy

七、（本题满分8分）

假设函数()fx和()gx在[,]ab上存在二阶导数,并且

()0,()()()()0,gxfafbgagb





试证:

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(1)在开区间

(,)ab

内

()

(2)在开区间

(,)ab

内至少存在一点

,使

()()

.

()()

ff

gg











八、（本题满分7分）

设三阶实对称矩阵

A

的特征值为

123

1,1,对应于

1



的特征向量为

1

0

1,

1













ξ

求

.A

九、（本题满分6分）

设

A

为n阶矩阵,满足

(



AAII

是n阶单位矩阵

,



A

是

A

的转置矩阵),0,A求.AI

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设

X

表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,

则2X

的数学期望2()EX=____________.

(2)设

X

和

Y

为两个随机变量,且

34

{0,0},{0}{0},

77

PXYPXPY

则

{max(,)0}PXY

____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量

X

的概率密度为

()

X

fx

e

0

x0

0

x

x





,

求随机变量eXY的概率密度().

Y

fy

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1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设

2

lim()8,x

x

xa

xa







则a=_____________.

(2)设一平面经过原点及点

(6,3,2),

且与平面

428xyz

垂直,则此平面方程为

_____________.

(3)微分方程22exyyy



的通解为_____________.

(4)函数22ln()uxyz

在点

(1,0,1)A

处沿点

A

指向点

(3,2,2)B

方向的方向导数为

_____________.

(5)设

A

是43矩阵,且

A

的秩

()2,rA

而

102

020,

103















B

则

()rAB

=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知

2

()

()

xaydxydy

xy





为某函数的全微分,a则等于

(A)-1(B)0

(C)1(D)2

(2)设()fx具有二阶连续导数,且

0

()

(0)0,lim1,

x

fx

f

x





则

(A)

(0)f

是

()fx

的极大值

(B)

(0)f

是

()fx

的极小值

(C)

(0,(0))f

是曲线()yfx的拐点

(D)(0)f不是()fx的极值

,(0,(0))f

也不是曲线()yfx的拐点

(3)设0(1,2,),

n

an且

1

n

n

a





收敛,常数

(0,),

2





则级数

2

1

(1)(tan)n

n

n

na

n







(A)绝对收敛(B)条件收敛

(C)发散(D)散敛性与有关

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(4)设有

()fx

连续的导数22

0

,(0)0,(0)0,()()(),xffFxxtftdt



且当0x时

,()Fx



与kx是同阶无穷小,则k等于

(A)1(B)2

(C)3(D)4

(5)四阶行列式

11

22

33

44

00

00

00

00

ab

ab

ab

ba

的值等于

(A)

12341234

aaaabbbb(B)

12341234

aaaabbbb

(C)

12123434

()()aabbaabb(D)

23231414

()()aabbaabb

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)求心形线

(1cos)ra

的全长,其中0a是常数.

(2)设

11

10,6(1,2,),

nn

xxxn



试证数列{}

n

x极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分(2),

S

xzdydzzdxdy其中S为有向曲面22(01),zxyx其法向量

与z轴正向的夹角为锐角.

(2)设变换

2uxy

vxay





可把方程

222

22

60

zzz

xxyy







简化为

2

0,

z

uv







求常数.a

五、(本题满分7分)

求级数

2

1

1

(1)2n

n

n







的和.

六、(本题满分7分)

设对任意0,x曲线()yfx上点(,())xfx处的切线在

y

轴上的截距等于

0

1

(),xftdt

x

求

()fx的一般表达式.

七、（本题满分8分）

设()fx在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),fxafxb



其中,ab都是非负常数

,c

是(0,1)内任意一点.证明

()2.

2

b

fca





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八、（本题满分6分）

设,TAIξξ其中

I

是n阶单位矩阵

,ξ

是n维非零列向量,Tξ是

ξ

的转置.证明

(1)2AA的充分条件是1.Tξξ

(2)当1Tξξ时

,A

是不可逆矩阵.

九、（本题满分8分）

已知二次型222

3

(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2,

(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.

(2)指出方程

123

(,,)1fxxx表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂

A

和工厂

B

的产品的次品率分别为1%和2%,现从由

A

和

B

的产品分别占60%

和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属

A

生产的概率是____________.

(2)设

,是两个相互独立且均服从正态分布2

1

(0,())

2

N的随机变量,则随机变量

的数学期望()E=____________.

十一、（本题满分6分）

设,是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为

1

(),1,2,3.

3

Pii

又设

max(,),min(,).XY

(1)写出二维随机变量的分布率:

X

Y

123

1

2

3

(2)求随机变量

X

的数学期望

().EX

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1997年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

2

0

1

3sincos

lim

(1cos)ln(1)x

xx

x

xx





=_____________.

(2)设幂级数

1

n

n

n

ax





的收敛半径为3,则幂级数1

1

(1)n

n

n

nax







的收敛区间为

_____________.

(3)对数螺线e在点2(,)(e,)

2



处切线的直角坐标方程为_____________.

(4)设

122

43,

311

t

















AB

为三阶非零矩阵,且

,ABO

则t=_____________.

(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一

球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)二元函数

(,)fxy22

(,)(0,0)

0(,)(0,0)

xy

xy

xy

xy







,在点(0,0)处

(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在

(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在

(2)设在区间

[,]ab

上

()0,()0,()





令

123

1

(),()(),[()()](),

2

b

a

SfxdxSfbbaSfafbba

则

(A)

123

SSS(B)

213

SSS

(C)

312

SSS(D)

231

SSS

(3)设2

sin()esin,x

t

x

Fxtdt则()Fx

(A)为正常数(B)为负常数

(C)恒为零(D)不为常数

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(4)设

111

122232

333

,,,

abc

abc

abc













ααα

则三条直线

111

222

333

0,

0,

0

axbyc

axbyc

axbyc







(其中220,1,2,3

ii

abi)交于一点的充要条件是

(A)

123

,,ααα线性相关(B)

123

,,ααα线性无关

(C)秩

123

(,,)rααα秩

12

(,)rαα(D)

123

,,ααα线性相关

12

,,αα线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量

X

和

Y

的方差分别为4和2,则随机变量32XY的方差是

(A)8(B)16

(C)28(D)44

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)计算22(),Ixydv



其中



为平面曲线

22

0

yz

x





绕z轴旋转一周所成的曲面与平

面8z所围成的区域.

(2)计算曲线积分()()(),

c

zydxxzdyxydz其中c是曲线

221

2

xy

xyz





从z轴正向

往z轴负向看c的方向是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N

在0t时刻已掌握新技术的人数为

0

,x在任意时刻t已掌握新技术的人数为

()(xt

将()xt视为

连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数

0,k

求

().xt

四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)

(1)设直线:l

0

30

xyb

xayz





在平面



上,而平面



与曲面22zxy相切于点

(1,2,5),

求,ab之值.

(2)设函数()fu具有二阶连续导数,而(esin)xzfy满足方程

22

2

22

e,x

zz

z

xy







求

().fu

五、(本题满分6分)

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设

()fx

连续

1

0

,()(),xfxtdt且

0

()

lim(

x

fx

AA

x



为常数),求

()x

并讨论

()x

在0x处

的连续性.

六、(本题满分8分)

设

11

11

0,()(1,2,),

2nn

n

aaan

a

证明

(1)

lim

n

x

a



存在.

(2)级数

1

1

(1)n

n

n

a

a







收敛.

七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)

(1)设

B

是秩为2的54矩阵

123

,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTTααα是齐次线性

方程组xB0的解向量,求xB0的解空间的一个标准正交基.

(2)已知

1

1

1















ξ

是矩阵

212

53

12

a

b

















A

的一个特征向量.

1)试确定

,ab

参数及特征向量ξ所对应的特征值.

2)问

A

能否相似于对角阵?说明理由.

八、（本题满分5分）

设

A

是n阶可逆方阵,将

A

的第

i

行和第j行对换后得到的矩阵记为.B

(1)证明

B

可逆.

(2)求1.AB

九、（本题满分7分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互

独立的,并且概率都是

2

.

5

设

X

为途中遇到红灯的次数,求随机变量

X

的分布律、分布函数和

数学期望.

十、（本题满分5分）

设总体

X

的概率密度为

()fx

(1)

0

x

01x

其它

其中1是未知参数

12

,,,,

n

XXX是来自总体

X

的一个容量为n的简单随机样本,分别用

矩估计法和极大似然估计法求的估计量.

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1998年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

2

0

112

lim

x

xx

x



=_____________.

(2)设

1

()(),,zfxyyxyf

x



具有二阶连续导数,则

2z

xy





=_____________.

(3)设l为椭圆

22

1,

43

xy

其周长记为

,a

则22(234)

L

xyxyds=_____________.

(4)设

A

为n阶矩阵*,0,AA为

A

的伴随矩阵

,E

为n阶单位矩阵.若

A

有特征值

,则

*2()AE必有特征值_____________.

(5)设平面区域

D

由曲线

1

y

x



及直线20,1,eyxx所围成,二维随机变量

(,)XY

在区

域

D

上服从均匀分布,则

(,)XY

关于

X

的边缘概率密度在2x处的值为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()fx连续,则22

0

()xd

tfxtdt

dx

=

(A)2()xfx(B)2()xfx

(C)22()xfx(D)22()xfx

(2)函数23()(2)fxxxxx

不可导点的个数是

(A)3(B)2

(C)1(D)0

(3)已知函数()yyx在任意点x处的增量

2

,

1

yx

y

x









且当0x时

,是x的高阶

无穷小,

(0)y

,则(1)y等于

(A)2(B)



(C)4e



(D)4e





(4)设矩阵

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111

222

333

abc

abc

abc











是满秩的,则直线333

121212

xaybzc

aabbcc







与直线111

232323

xaybzc

aabbcc







(A)相交于一点(B)重合

(C)平行但不重合(D)异面

(5)设

,AB

是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),PAPBPBAPBA则必有

(A)(|)(|)PABPAB(B)(|)(|)PABPAB

(C)

()()()PABPAPB

(D)

()()()PABPAPB

三、(本题满分5分)

求直线

11

:

111

xyz

l







在平面

:210xyz

上的投影直线

0

l的方程,并求

0

l绕

y

轴

旋转一周所成曲面的方程.

四、(本题满分6分)

确定常数,使在右半平面0x上的向量42242(,)2()()xyxyxyxxyAij为某二

元函数

(,)uxy

的梯度,并求

(,).uxy

五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度

(y

从海平面算起)

与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过

程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为

,m

体积为

,B

海水密度为

,仪器所受的阻力

与下沉速度成正比,比例系数为

(0).kk

试建立

y

与v所满足的微分方程,并求出函数关系式

().yyv

六、(本题满分7分)

计算

2

22212

()

,

()

axdydzzadxdy

xyz







其中为下半平面222zaxy

的上侧

,a

为大于零的

常数.

七、(本题满分6分)

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求

2

sinsin

sin

lim.

11

1

2

x

nn

n

nn

n























八、（本题满分5分）

设正向数列{}

n

a单调减少,且

1

(1)n

n

n

a





发散,试问级数

1

1

()

1

n

n

n

a







是否收敛?并说明理由.

九、（本题满分6分）

设

()yfx

是区间

[0,1]

上的任一非负连续函数.

(1)试证存在

0

(0,1),x使得在区间

0

[0,]x上以

0

()fx为高的矩形面积,等于在区间

0

[,1]x上

以

()yfx

为曲边的曲边梯形面积.

(2)又设

()fx

在区间

(0,1)

内可导,且

2()

(),

fx

fx

x





证明(1)中的

0

x是唯一的.

十、（本题满分6分）

已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz可以经过正交变换

x

y

z



















P

化为

椭圆柱面方程2244,求,ab的值和正交矩阵.P

十一、（本题满分4分）

设

A

是n阶矩阵,若存在正整数

,k

使线性方程组kxA0有解向量

,α

且1.kAα0

证明:向量组1,,,kαAαAα是线性无关的.

十二、（本题满分5分）

已知方程组

(Ⅰ)

1111221,22

2112222,22

1122,22

0

0

0

nn

nn

nnnnn

axaxax

axaxax

axaxax







的一个基础解析为

11121,221222,212,2

(,,,),(,,,),,(,,,).TTT

nnnnnn

bbbbbbbbb试写出线性方程组

(Ⅱ)

1111221,22

2112222,22

1122,22

0

0

0

nn

nn

nnnnn

bybyby

bybyby

bybyby







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的通解,并说明理由.

十三、（本题满分6分）

设两个随机变量

,XY

相互独立,且都服从均值为0、方差为

1

2

的正态分布,求随机变量

XY的方差.

十四、（本题满分4分）

从正态总体2(3.4,6)N中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间

(1.4,5.4)

内

的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?

附:标准正态分布表

2

2

1

()e

2

t

zxdt









z

1.281.6451.962.33

()x

0.9000.9500.9750.990

十五、（本题满分4分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为

66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为

70分?并给出检验过程.

附:t分布表

{()()}

p

Ptntnp

0.950.975

351.68962.0301

361.68832.0281

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1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

2

0

11

lim()

tanxxxx



=_____________.

(2)2

0

sin()xd

xtdt

dx

=_____________.

(3)24exyy



的通解为

y

=_____________.

(4)设n阶矩阵

A

的元素全为1,则

A

的n个特征值是_____________.

(5)设两两相互独立的三事件

,AB

和C满足条件:

1

,()()(),

2

ABCPAPBPC

且已知

9

(),

16

PABC

则

()PA

=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

()fx

是连续函数

,()Fx

是

()fx

的原函数,则

(A)当

()fx

是奇函数时

,()Fx

必是偶函数(B)当

()fx

是偶函数时

,()Fx

必是奇函数

(C)当

()fx

是周期函数时

,()Fx

必是周期函数(D)当

()fx

是单调增函数时