圆模

1

等时圆模型

一、何谓“等时圆”

例：如图1所示，ad、bd、cd

是竖直面内三根固定的光滑细杆，

a、b、c、d位于同一圆周上，a

点为圆周的最高点，d点为最低

点。每根杆上都套有一个小滑环

（图中未画出），三个滑环分别从

a、b、c处释放（初速为0），用t1

、

t2

、t

3

依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）

A.t1t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3

解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并

建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律

得，

mamgcos①

再由几何关系，细杆长度cos2RL②

设下滑时间为t，则2

2

1

atL③

由以上三式得，

g

R

t2可见下滑时间与细

杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个

结论。

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦

由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。

推论：若将图1倒置成图2

的形式，同样可以证明物体从最高

点由静止开始沿不同的光滑细杆

到圆周上各点所用的时间相等。

像这样的竖直圆我们简称为

“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例

子：

二、“等时圆”的应用

1、可直接观察出的“等时圆”

例1：如图3，通过空间任一点A

可作无限多个斜面，若将若干个小物

体从点A分别沿这些倾角各不相同的

光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻

这些小物体所在位置所构成的面是（）

A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定

答案：A

例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨

道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖

直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C

是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一

点（DM远小于CM）。已

知在同一时刻：a、b两

球分别由A、B两点从静

止开始沿光滑倾斜直轨

道运动到M点；c球由C

点自由下落到M点；d球

从D点静止出发沿圆环

运动到M点。则：（）

A、a球最先到达M点

B、b球最先到达M点

C、c球最先到达M点

D、d球最先到达M点

a、b、c三个小球均匀加速直线运动，d球的运动可

等效成单摆运动，因DM远小于CM，其运动等效为

简谐运动．

由牛顿第二定律和运动学公式得到a、b、c三个球

运动时间与圆的半径的关系，根据单摆的周期公式

得到d球运动时间与圆的半径的关系，即可比较时

间长短．

答案：C

图2

图1

x

y

mg

θ

A

B

C

D

M

图4

图3

A

2

2、运用等效、类比自建“等时圆”

例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相

距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一

点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，

满足物体从静止开始分

别由A和B沿木板下滑到P

点的时间相等，求O、P两

点之间的距离OP。

解析:

由“等时圆”特征可知，当

A、B处于等时圆周上，且

P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

如图所示，此时等时圆的半径为：

所以

三、“形似质异”问题的区分

1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它

们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放

（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？

解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速

度为a=gcosθ-μgsinθ，

可见t与θ有关。

2、如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板

aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则

搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、

45

0、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑

（忽略阻力），则（）

A、a处小孩最先到O点

B、b处小孩最后到O点

C、c处小孩最先到O点

D、a、c处小孩同时到O

点

【解析】选D.三块滑板与圆柱形仓库构成的斜面

底边长度均为圆柱形仓库的底面半径,则

,当θ=45°时,t最小,

当θ=30°和60°时,sin2θ的值相同,故只有D正确.

答案D

练习

1．(单选)如图6所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它

们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个

相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先

后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C

滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之

比为()．

图6

A．2∶1B．1∶1C.3∶1D．1∶3

解析由“等时圆”模型结论有：tAP＝tCP＝

2

R

g

，tPB＝tPD＝2

r

g

，所以t1＝tAP＋tPB，t2＝

tCP＋tPD，知t1＝t2，B项正确．

答案B

θ

a

O

b

c

A

B

P

H

h

O

图5

3

2．(单选)如图7所示，在倾角为θ的斜面上方的A

点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木

板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端

沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最

短，则α与θ角的大小关系应为

()．

图7

A．α＝θB．α＝

θ

2

C．α＝

θ

3

D．α＝2θ

解析如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以

适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜

面相切于D点．由等时圆知识可知，由A沿斜面

滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用

时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD

＝θ，则α＝

θ

2

.

答案B

3．如图8所示，圆弧AB是半径为R的

1

4

圆弧，在AB

上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD

板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC

上滑行L后停下．不计小物体在B点的能量损失，

已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：

小物体在BD上下滑过程中，重力做功的平均功率．

图8

解析由动能定理可知小物体从D到C有WG－

μmgL＝0，所以WG＝μmgL

由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物

体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t＝

4R

g

，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重

力做功的平均功率为P＝

WG

t

＝

μmgL

2

g

R

.

答案

μmgL

2

g

R