2012年陕西高考数学

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2012年陕西省高考压轴卷数学理

一、选择题

1、已知函数()(1)(21)(31)(1)fxxxxnx，则'(0)f()

A.2

n

C

B.2

1n

C



C.2

n

A

D.2

1n

A



2、将)0)(

4

tan(



xy的图像向右平移

6



个单位长度后，与)

6

tan(



xy的图像重合，则



的最小值为（）

A.

6

1

B.

4

1

C.

3

1

D.

2

1

3、已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜

1

()

3

f的

x

取值范围是（）

A．（

1

3

，

2

3

）B.［

1

3

，

2

3

）C.（

1

2

，

2

3

）D.［

1

2

，

2

3

）

4、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不

能分到同一个班，则不同分法的种数为（）

A.18

B.24C.30D.36

5、已知等差数列n

a中，

2

6a

，

5

15a

，若

2nn

ba

，则数列

n

b的前5项和等于（）

A．30B．45C．180D．90

6、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）

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A.3B．

8

5

C．3D．

210

5

7、分别在区间]6,1[,]4,1[内各任取一个实数依次为nm,,则

nm

的概率是（）

A．0.3B．0.667C．0.7D．0.714

8、一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为()

A．

1

2

B．

3

2

C．1D．

1

3

分数54321

人数2010303010

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9、若双曲线

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的左右焦点分别为

1

F、

2

F，线段

1

F

2

F被抛物线22ybx的焦点

分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为()

A．

9

8

B．

637

37

C．

32

4

D．

310

10

10、复数1(1)zzi,则z（）

A．iB．-iC．1+iD．1-i

二、填空题

11、一个总体分为,AB两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样

本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为

1

28

，则总体中的个体数是.

12、某算法流程图如图所示，则输出的结果是.

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13、由曲线yx和3yx围成的封闭图形的面积为.

14、选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点A是曲线2sin上任意一点，则点A到直线

sin()4

3



的距离的最小值是.

B．（选修4—5不等式选讲）不等式

22

|log||log|xxxx

的解集是.

C．（选修4—1几何证明选讲）如右图所示,

AC和

AB分别是圆O的切线，且3OC，4AB,延长

AO到D点，则ABD的面积是.

15、二项式

1

()

2

nx

x

的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含3x项的系数

是.

三、解答题

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16、已知函数32()(3)xfxxxaxbe.

（1）当3ab时，求()fx的单调区间；

（2）若()fx在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，

证明：＜6.

17、已知ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc，设向量

(,)mab

，

(sin,sin)nBA

，

(2,2)pba

.

（1）若m//n，求证：ABC为等腰三角形；

（2）若m⊥

p

，边长2c，

3

C



，求ABC的面积.

18、在数列

{}

n

a

中，

1

244

nn

aan





（*nN

），

1

23a

．

（1）求

3

a

，

5

a

的值，

（2）设

2

()

nnn

caanN



，

21

()

nn

banN



，

n

S

为数列

{}

n

b

前n项和，求

n

c的通项，并求

n

S

取

最小时的n值．

19、为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程

三类。这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.

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（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程

或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.

20、如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分

别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足111

APABR．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

21、已知抛物线24yx

，过点(0,2)M的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与

x

轴交于点C.

(1)求证:||MA，||MC，||MB成等比数列；

(2)设MAAC，

MBBC

，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

以下是答案

一、选择题

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1、D

2、D

3、A

4、C

5、D

6、D

7、C

8、A

9、C

10、A

二、填空题

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11、40

12、16

13、

1

2

14、A.

5

2

B.(1,)

C.

48

5

15、

15

4

三、解答题

16、解：（1）当3ab时，32()(333)xfxxxxe，故

322'()(333)(363)xxfxxxxexxe

3(9)xexx(3)(3)xxxxe

当3x或

03'()0;xfx时，当303'()或时，

从而()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）单调减少

(2)3223'()(3)(36)[(6)].xxxfxxxaxbexxaeexaxba

由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,fababa即故

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从而3'()[(6)42].xfxexaxa

因为'()'()0,ff

所以3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)(()).xxx

将右边展开，与左边比较系数得，2,2.a

故2()4124.a

又(2)(2)0,2()40.即

由此可得6.a于是6.

17、证明：（1）

//,sinsin,mnaAbB

即

22

ab

ab

RR

，其中R是ABC外接圆半径，ab

ABC为等腰三角形

解（2）由题意可知m⊥

p

0,(2)(2)0mpabba即

，abab

由余弦定理可知，2224()3abababab

2()340abab即4(1)abab舍去

11

sin4sin3

223

SabC





18、（1）由

1

244(1)

nn

aann



≥

，

21

2(1)44

nn

aan





2

2

nn

aa





又

212

24419aaa,同理得：

345

21,17,19aaa

．

（2）由（1）得

2

2

nn

aa



，故2

n

c，又

21

()

nn

banN



，由2

n

c得{}

n

b是首项为-23，公差为2

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的等差数列．从而

225

n

bn

令

1

0,0,

nn

bb





得n=12时

n

S取最小值．

19、解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

,,,

iii

ABC

1,2,3i.由题意知

123

,,AAA

相互独立，

123

,,BBB

相互独立，

123

,,CCC

相互独立，

,,

ijk

ABC

（,,1,2,3ijk,且,,ijk互不相同）相互独立，

且

111

(),(),().

236iii

PAPBPC

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概

（2）P

123

3!()PABC

123

6()()()PAPBPC

1111

6.

2366

（2）记第i名工人选择的项

目属于基础工程或产业建设工程分别为事件

i

D

,1,2,3i.

123

,,DDD

相互独立，且

()

i

PD

P(

ii

AC

)=P(

i

A

)+P(

i

C

)=

1

2

+

1

6

=

2

3

，所以

2

~(3,)

3

B,

即3

3

21

()()()

33

kkkPkC，0,1,2,3.k

故的分布列是

0123

P

1

27

2

9

4

9

8

27

2E

20、解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．

则P（λ，0,1），N（

1

2

，

1

2

，0），M（0,1，

1

2

），

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从而PN＝（

1

2

－λ，

1

2

，－1），AM＝（0,1，

1

2

），PNAM＝（

1

2

－λ）×0＋

1

2

×1－1×

1

2

＝0，所以

PN⊥AM．

（2）平面ABC的一个法向量为n＝

1

AA＝（0,0,1）．

设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），

由（1）得MP＝（λ，－1，

1

2

）．

由

































.0

2

1

,0

2

1

)

2

1

(

,0

,0

zyx

zyx

MPm

NPm





得

解得

))1(2,12,3(,3

.

3

)1(2

,

3

12































mx

xz

xy

得令

．

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos〈m，n〉|＝|

m·n

|m|·|n|

|＝

|2(1－λ)|

9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2

＝

2

2

，

解得λ＝－

1

2

．

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故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝

1

2

．

21、解：(理)(1)设直线l的方程为：2ykx(0)k，

联立方程可得

2

2

4

ykx

yx











得:22(44)40kxkx①

设

11

(,)Axy，

22

(,)Bxy，

2

(,0)C

k

，则

12

2

44k

xx

k



，

12

2

4

xx

k

②

2

22

12

2

4(1)

||||1|0|1|0|

k

MAMBkxkx

k



，

而

2

222

2

24(1)

||(1|0|)

k

MCk

kk



，∴2||||||0MCMAMB，

即||MA，||MC、||MB成等比数列

(2)由MAAC，

MBBC

得，

1111

2

(,2)(,)xyxy

k

，

2222

2

(,2)(,)xyxy

k



即得：1

1

2

kx

kx









，2

2

2

kx

kx









，则

2

1212

2

1212

22()

2()4

kxxkxx

kxxkxx









由(1)中②代入得1，故为定值且定值为1