负指数分布图像

收稿日期

：２００６－０９－２６；

修回日期

：２００７－０２－１３基金项目

：

中国民用航空总局机场司科研项目

作者简介

：

高金华

（１９４４－），

男

，

天津人

，

教授

，

工学硕士

，

研究方向为机场规划与管理．

爱尔朗排队模型在旅客候机楼中的应用

高金华

，

李洁

（

中国民航大学交通工程学院

，

天津３００３００）

摘要

：

利用随机过程和排队论的基础知识

，

对爱尔朗排队模型进行性能分析和参数求解

，

给出其在机场旅客航站楼中

的应用范围

。

通过实例计算

，

研究单路排队和多路排队方式的区别

，

为航站楼值机大厅的旅客组织和面积设计提

供理论依据

，

推广排队论在航站楼设计中的应用

。

关键词

：

排队论

；

旅客候机楼

；

爱尔朗排队模型

中图分类号

：Ｖ３５１．１７文献标识码

：Ｂ文章编号

：１００１

－

５０００（２００７）０２

－

００４８

－

０４

ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＥｒｌａｎｇＱｕｅｕｉｎｇＭｏｄｅｌｉｎＡｉｒｐｏｒｔＰａｓｓｅｎｇｅｒＴｅｒｍｉｎａｌｓ

ＧＡＯＪｉｎ

－

ｈｕａ，ＬＩＪｉｅ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣＡＵＣ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００３００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｒａｎｄｏｍｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙ，ａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆ

Ｅｒｌａｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ，ａｎｄｇｉｖｅｓｉｔｓｓｃｏｐｅｏｆｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎａｉｒｐｏｒｔｔｅｒｍｉｎａｌｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｅｘ－

ａｍｐｌｅｓ，ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｓｉｎｇｌｅ

－

ｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌａｎｄｍｕｌｔｉ

－

ｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ，ｐｒｏｖｉｄｅｓｔｈｅｔｈｅｏｒｙｂａｓｉｓ

ｆｏｒｐａｓｓｅｎｇｅｒｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｒｅａｄｅｓｉｇｎｉｎｔｈｅＣｈｅｃｋ

－

ｉｎｈａｌｌ，ａｎｄｐｒｏｍｏｔｅｓｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙｉｎａｉｒｐｏｒｔ

ｔｅｒｍｉｎａｌｓｄｅｓｉｇｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙ；ｐａｓｓｅｎｇｅｒｔｅｒｍｉｎａｌ；Ｅｒｌａｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ

图１排队系统框图

Ｆｉｇ．１Ｂｌｏｃｋｄｉａｇｒａｍｏｆｑｕｅｕｉｎｇｓｙｓｔｅｍ

输入过程

（

顾客流

）

排队过程Ｘ

ｔ

输出过程

（

离去的顾客流

）

图２单服务窗等待制排队模型

Ｆｉｇ．２Ｓｉｎｇｌｅｓｅｒｖｉｃｅｗｉｎｄｏｗｗａｉｔｉｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ

早在上个世纪国外学者就将排队论应用到了机场

旅客航站楼的分析中

，

但是大部分多是对理想状态或

特殊状态的研究

，

即假定每一顾客到达的时间相互独

立

，

都具有负指数分布

。

负指数分布只是爱尔朗分布的

一种退化形式

，

在负指数分布的情况下

，

航站楼内旅客

可以畅行

，

但实际的旅客流情况却要复杂的多

。

本文将

重点研究当顾客到达时间间隔服从爱尔朗分布时

，

排

队系统在旅客航站楼旅客流分析中的应用

。

１排队模型

１．１排队论基本概念

排队模型是一种包含更新过程与生灭过程机制

，

却更为复杂的概率模型

。

简单的排队过程是在两个相

互独立的流作用下形成的

，

其中一个是要求服务的

“

顾

客流

”，

这时假定顾客是一个一个到达

，

其时间间隔组

成一个更新流

；

另一个是当顾客进入服务线后

，

接受

“

服务的时间流

”［１－２］。

排队系统的一般框图如图１所示

。

记输入过程为Ｎ（ｉｎ）

ｔ

（

在

（０，ｔ］中到达系统的旅客数

），

输出过程为Ｎ（ｏｕｔ）

ｔ

（

在

（０，ｔ］中离开系统的旅客数

）。

可得

Ｘ

ｔ

－Ｘ

０

＝Ｎ（ｉｎ）

ｔ

－Ｎ（ｏｕｔ）

ｔ

（１）

１．２排队系统服务及适用情况

根据机场航站楼旅客流特性

，

这里仅介绍两种等

待制的排队模型

。

１．２．１单服务窗排队模型

系统设有一个服务窗口

，

顾客只能在这个规定的

窗口排队和办理手续

，

如图２所示

。

等待队列服务窗１

到

达

离

开

第２５卷第２期中国民航大学学报

Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．２

２００７年４月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＩＶＩＬＡＶＩＡＴＩＯＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＣＨＩＮＡＡｐｒｉｌ，２００７

第２５卷第２期高金华

，

李洁

：

爱尔朗排队模型在旅客候机楼中的应用

此类模型可应用于小型机场航站楼中的值机

、

安检

服务

，

为航站楼的面积设计

、

服务水平评估提供依据

。

１．２．２多服务窗排队模型

系统设有多个服务窗口

，

顾客可以到任何一个窗

口排队和办理手续

，

根据不同的排队规则

，

又可分为两

种排队模型

。

１）

单路排队模型

旅客排成一个等待队列

，

当服务窗出现空闲时

，

旅

客按排队顺序前往空闲服务窗接受服务

，

如图３所示

。

当航站楼采用开放式柜台值机时

，

不管哪个航空

公司的旅客都可在任何一个柜台办理值机手续

，

在这

种情况下适用单路排队模型

。

例如

，

当航站楼采用开放

式柜台值机时

，

旅客就不一定要在搭乘航班所在航空

公司的柜台办理手续

，

而是视情况选择

，

当有窗口空闲

时

，

旅客就前去接受服务

。

此类排队模型要求旅客在一

个固定区域进行排队等候

，

当有柜台出现空闲时

，

依次

前往接受服务

。

采用该类排队模式需要机场内各航空

公司有一个共享的值机系统

，

以便旅客可以在不同航

空公司柜台办理手续［３］。

２）

多路排队模型

旅客按服务窗口排成多个等待队列

，

每一服务窗

口只为对应的等待队列提供服务

，

如图４所示

。

当规定旅客只能在搭乘航班所在的航空公司柜台

办理值机手续时

，

就是此类排队模式

。

航空公司所设柜

台只能为该航空公司的旅客提供值机服务

。

当各航空

公司旅客不平衡时

，

就可能出现有的柜台前十分拥挤

，

而有的柜台前却十分空闲的现象

，

造成资源的浪费

。

２单服务窗爱尔朗排队模型Ｅ

ｒ

／Ｍ／１

这里考察一种简单的爱尔朗

（Ｅｒｌａｎｇ）

排队系统

，

即

单服务窗等待制模型

，

假定顾客独立到达机场

，

且相邻

顾客到达机场的时间间隔服从ｒ阶的Ｅｒｌａｎｇ分布

（

记

作Ｅ

ｒ

），

其分布密度函数为［４－５］

ｆ（ｔ）＝

ｒλ（ｒλｔ）ｒ－１

（ｒ－１）！

ｅ－ｒλｔｔ＞０ｒ＞０（２）

且旅客在特定的航空公司办票柜台办理值机手续

（

假定

柜台数为１），

服务时间服从参数为μ的负指数分布

，

其

分布密度函数为

ｇ（ｔ）＝μｅ－μｔｔ＞０（３）

则服务窗的平均服务时间为１／μ。

式

（３）

可看成是ｒ个

参数为ｒμ的相互独立且有共同负指数分布的随机变

量之和的分布密度

。

将顾客到达系统的间隔时间分为ｒ

个相互独立且有相同的负指数分布的相位ｔ

ｉ

，

使Ｅ（ｔ

ｉ

）＝

１／ｒλ，１≤ｉ≤ｒ。

这样

，

每位旅客必须经过ｒ个相位才可

进入系统

。

假如航站楼里已有ｎ个旅客

，

即这个旅客已

经通过了ｎｒ个相位数

。

那么

，

如果这时第ｎ＋１个旅客

已通过的总相位数为ｊ＝ｎｒ＋ｉ－１。

当它用来表示系统的

状态时

，

理论上可证

，

这样的系统构成一个齐次马尔可

夫链｛Ｘ

ｎ

，ｎ≥０｝。

将其绝对概率记作ｐ

ｊ

＝Ｐ（Ｘ

ｎ

＝ｊ）＝Ｐ（

系

统中已通过的相位

），

显见

，

若系统内已有ｎ个旅客

，

而

第ｎ＋１个旅客在未进入系统前的可能相位是ｔ

１

，ｔ

２

，…，

ｔ

ｒ

。

所以

，

系统中旅客数的平稳分布应为［６－７］

ｐ

ｎ

＝

（ｎ＋１）ｒ－１

ｊ＝ｎｒ

#ｐ

ｊ

ｎ≥０（４）

对这样的马氏链可对应画出如图５所示的相位流图

。

令ρ＝

λ

μ

，

由上图可在平衡条件下写出Ｋ氏方程

ｒλｐ

０

＝μｐ

ｒ

ｋλｐ

ｊ

＝ｋλｐ

ｊ－１

＋μｐ

ｊ＋ｒ

１≤ｊ≤ｒ－１

（ｒλ＋μ）ｐ

ｊ

＝ｒλｐ

ｊ－１

＋μｐ

ｊ＋ｋ

ｊ≤ｒ

$

&

%

&

’

（５）

则可求出相应的目标参量

：

系统的平均队长

Ｌ

ｓ

＝

∞

ｎ＝０

#ｎｐ

ｎ

＝

ρｓ

ｒ

０

ｓｒ

０

－１

（６）

排队等候平均队长

Ｌ

ｑ

＝

∞

ｎ＝０

#（ｎ－１）ｐ

ｎ

＝Ｌ

ｓ

－（１－

ｐ

０

）＝

ρｓ

ｒ

０

ｓｒ

０

－１

－

ρ＝

ρ

ｓｒ

０

－１

（７）

服务窗Ｎ

到

达

等待队列Ｎ

服务窗２

离

开

等待队列２

服务窗１等待队列１

图４多服务窗等待制多路排队模型

Ｆｉｇ．４Ｍｕｌｔｉ

－

ｓｅｒｖｉｃｅｗｉｎｄｏｗｓｍｕｌｔｉ

－

ｑｕｅｕｅｗａｉｔｉｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ

……

图３多服务窗等待制单路排队模型

Ｆｉｇ．３Ｍｕｌｔｉ

－

ｓｅｒｖｉｃｅｗｉｎｄｏｗｓｓｉｎｇｌｅｑｕｅｕｅｗａｉｔｉｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ

服务窗Ｎ

服务窗１

等待队列

到

达

离

开

服务窗２

…

０

１２

ｒλｒλｒλ

图５Ｅ

ｒ

／Ｍ／１模型状态流图

Ｆｉｇ．５ＭｏｄｅｌｓｔａｔｅｆｌｏｗｆｏｒＥ

ｒ

／Ｍ／１

ｒ

ｒ＋１

ｒ

λｒλｒλ

μμμ

…

…

４９

中国民航大学学报２００７年４月

由Ｌｉｔｔｌｅ公式可得旅客在系统中的平均逗留时间

Ｔ

ｓ

＝

Ｌ

ｓ

λ

＝

ｓｒ

０

μ（ｓ

ｒ

０

－１）

（８）

同理

，

旅客的平均排队时间

Ｔ

ｑ

＝

Ｌ

ｑ

λ

＝

１

μ（ｓ

ｒ

０

－１）

（９）

其中

：ｓ

０

满足方程

ｒρｓｒ＋１

０

－（１＋ｒρ）ｓｒ

０

＋１＝０ｓ

０

＞１（１０）

３多服务窗爱尔朗排队模型Ｅ

ｒ

／Ｍ／ｎ

３．１单路排队模型

基于Ｅ

ｒ

／Ｍ／ｎ模型求解的复杂性

，

这里仅给出一

种比较接近的解法

，

当阶数较低时

，

可以证明该近似解

法与真解较为接近

。

记系统利用系数ρ＝

ｒλ

ｎμ

，ρ

１

＝

ｒλ

μ

，

则ρ

１

＝ｎρ。

单路排队Ｅ

ｒ

／Ｍ／ｎ模型中旅客的平均到达强

度为ｒλ，

整个系统的平均服务率为ｎμ，

由于该系统

没有限制旅客来源和系统容量

，

故系统的可能状态集

应为Ｅ＝｛１，２，３，…｝。

由此可以画出系统的状态流图

，

如图６所示

。

由图６可知

，

当系统处于平衡时

，

可列出Ｋ氏代数

方程并求出相应的平稳分布

ｐ

ｉ

＝

ｎｉ

ρ

ｉ

ｉ！

ｐ

０

０≤ｉ≤ｎ

ｎｎ

ρ

ｉ

ｎ！

ｐ

０

ｉ≥

#%

$

%

&

ｎ

（１１）

由正则性条件Σｐ

ｉ

＝１，

当ρ＜１时

，

整理可得

ｐ

０

＝

ｎ－１

ｉ＝０

’ρ

ｉ

１

ｉ！

＋

ρ

ｎ

１

ｎ！（１－ρ）

()－１

（１２）

由此可以算得单路排队模型的各目标参数

：

排队等候平均队长

Ｌ

ｑ

＝

ρ

ｎ＋１

１

（ｎ－１）！（ｎ－ρ

１

）２

ｐ

０

（１３）

系统的平均队长

Ｌ

ｓ

＝Ｌ

ｑ

＋ρ

１

＝

ρ

ｎ＋１

１

（ｎ－１）！（ｎ－ρ

１

）２

ｐ

０

＋ρ

１

（１４）

由Ｌｉｔｔｌｅ公式可得旅客在系统中的平均逗留时间

Ｔ

ｓ

＝

Ｌ

ｓ

ｒλ

（１５）

同理

，

旅客的平均排队时间

Ｔｑ＝

Ｌ

ｑ

ｒλ

（１６）

３．２多路排队模型

多路排队模型

，

相当于ｎ个单服务窗的排队模型

，

此时可将到达旅客平均到达率按服务窗口的个数平均

分配给各个服务窗口

。

根据前面对Ｅ

ｒ

／Ｍ／１模型参数

的分析由式

（６）￣（１０）

可以确定多路排队模型中的各个

目标参数

，

此处不再赘述

。

４实例计算

下面将通过实例对单路排队和多路排队模型进行

性能分析

。

假设某机场高峰小时客流量为１２００人

，

且达到

时间间隔满足ｒ＝４的Ｅｒｌａｎｇ分布

，

航站楼设有１２个

开放式值机柜台

，

且值机柜台的服务效率为每小时处

理１２０名旅客

，

服务时间服从负指数分布

，

试分别按单

路排队和多路排队计算各相应的目标参数

。

由题设可知这是一个Ｅ

４

／Ｍ／１２的排队模型

。

排队

系统中

，ｒ＝４，ｎ＝１２，

系统地平均服务服务率μ＝

１２０

３６００

＝

１

３０

人／ｓ。

４．１按单路排队模型计算

此时

，

系统的平均到达率为ｒλ＝

１２００

３６００

＝

１

３

人／ｓ，

系统的利用系数ρ＝

ｒ

λ

ｎμ

＝

５

６

＜１，

则系统存在平稳分布

，

且

，ρ

１

＝ｎρ＝１２×

５

６

＝１０，

代入式

（１２）

可得

ｐ

０

＝

ｎ－１

ｉ＝０

’ρ

ｉ

１

ｉ！

＋

ρ

ｎ

１

ｎ！（１－ρ）

(*－１

＝

１１

ｉ＝０

’１０ｉ

ｉ！

＋

１０１２

１２！（１－

５

６

）

+

,

,

-

.

/

/

0

－１

＝３．５８７×１０－５

将ｐ

０

代入式

（１３）￣（１６）

可得

：

排队等候平均队长

图６Ｅ

ｒ

／Ｍ／ｎ状态流图

Ｆｉｇ．６ＭｏｄｅｌｓｔａｔｅｆｌｏｗｆｏｒＥ

ｒ

／Ｍ／ｎ

ｒλｒλｒλｒλｒλｒλｒλｒλｒλ

μ２μｎμｎμｎμ（ｎ－１）μ（ｉ－１）μｉμ

…

…

…ｎ－１

０

１

２

ｉ－１

ｉ

ｎ

ｎ＋１

５０

第２５卷第２期高金华

，

李洁

：

爱尔朗排队模型在旅客候机楼中的应用

Ｌ

ｑ

＝

１０１３

１１！×２２

ｐ

０

＝２．２４６９

系统的平均队长

Ｌ

ｓ

＝Ｌ

ｑ

＋ρ

１

＝１２．２４６９

旅客在系统中的平均逗留时间

Ｔ

ｓ

＝

Ｌ

ｓ

ｒλ

＝１２．２４６９×３＝３６．７

旅客的平均排队时间

Ｔ

ｑ

＝

Ｌ

ｑ

ｒλ

＝２．２４６９×３＝６．７

４．２按多路排队模型计算

此时

，

对于单个值机柜台

，

系统的平均到达率为

λ＝

１２００

３６００×１２

＝

１

３６

人／ｓ，

系统的利用系数ρ＝

λ

μ

＝

５

６

＜１，

则系统存在平稳分布

，

将ρ、ｎ、ｒ代入式

（１０）

得

４×

５

６

ｓ５

０

－

１＋４×

５

６

!"ｓ４

０

＋１＝０

解得

ｓ

０

＝１．０７７

代入式

（６）￣（９）

可得

系统的平均队长

Ｌ

ｓ

＝

ρｓ

ｒ

０

ｓｒ

０

－１

＝

５

６

×１．０７７

４

１．０７７４－１

＝３．２４５７

排队等候平均队长

Ｌ

ｑ

＝Ｌ

ｓ

－ρ＝３．２４５７－

５

６

＝２．４１２４

旅客在系统中的平均逗留时间

Ｔ

ｓ

＝

Ｌ

ｓ

λ

＝３．２４５７×３６＝１１６．８

旅客的平均排队时间

Ｔ

ｑ

＝

Ｌ

ｑ

λ

＝２．４１２４×３６＝８６．８

则Ｅ

ｒ

／Ｍ／ｎ排队模型系统的队长参数为

Ｌ＇

ｓ

＝Ｌ

ｓ

・ｎ＝３．２４５７×１２＝３８．９

Ｌ＇

ｑ

＝Ｌ

ｑ

・ｎ＝２．４１２４×１２＝２８．９

４．３计算结果分析

通过对单路排队和多路排队模型的计算可知

，

在

衡量一个排队模型优劣的几个重要参数

（

系统平均队

长

、

排队等候平均队长

、

旅客在系统中的平均逗留时

间

、

旅客的平均排队时间

）

中

，

单路排队相对于多路排

队具有明显的优势

。

究其原因

，

在相同的条件下

，

在单

路排队模型中

，

顾客不受柜台的限制

，

当柜台出现空闲

时旅客就可马上接受服务

，

使系统的利用率达到最高

，

故要求的排队等候面积会最小

，

出现拥挤的概率也会

大大减少

；

虽然多路排队分散了旅客流

，

优化了排队次

序

，

便于航站楼内的旅客流管理

，

但是由于旅客到达时

间与柜台服务时间的随机特性

，

如果某一柜台出现某

种随机原因引起的延误将影响整个排队进程

。

通常由于大型机场航站楼里

，

值机柜台分布比较分

散

，

如果要采用前面所述的绝对意义上的单路排队模型

，

就要划定一块固定区域做为所有出港旅客排队等候面

积

，

这在实际操作中不太现实

，

也不便于航站楼的流程

组织管理

。

为了使模型能应用于实际

，

可以采用一种变

异的单路排队模型

，

即旅客到达值机大厅

，

不受航空公

司值机限制

，

视各柜台空闲程度自主选择排队

，

在排队

中如发现有别的窗口比自己所在的窗口服务要快

，

可

自行离去重新选择排队

。

考虑到实际应用性

，

采取这种

变异的单路排队模型是目前可取的一种选择

，

这种模

型不仅在参数方面优于多路排队模型

，

而且也在一定

程度上考虑了模型的实际应用

。

如何完善该模型理论

与实际的结合将会是今后研究的重要课题

。

５结语

Ｅｒｌａｎｇ分布随阶数的变化能够模拟多种分布情

况

，

当ｒ＝１时

，

退化为负指数分布

；

当ｒ趋于无穷大时

，

其变为定长分布

，

该分布的灵活性使得排队模型的应

用范围更加广泛

。

模型中的排队队长是航站楼内功能

区面积设计的重要参数

，

而排队时间则是反映航站楼内

服务水平

、

旅客舒适度的重要指标

。

通过对Ｅｒｌａｎｇ排队

模型参数的求解以及性能的分析

，

并研究在机场航站

楼中的适用条件

，

可以为航站楼功能区面积的研究提

供理论依据

。

参考文献

：

［１］陆传赉．排队论［Ｍ］．北京

：

北京邮电学院出版社

，１９９４．

［２］龚光鲁

，

钱敏平．应用随即机过程［Ｍ］．北京

：

清华大学出版社

，２００４．

［３］ＨａｒｔＷ．机场旅客航站［Ｚ］．北京

：

中国民用航空总局基建机场司／机

场设计院

，１９８９．

［４］华兴．排队论与随机服务系统［Ｍ］．上海

：

上海翻译出版公司

，１９８７．

［５］孙荣恒

，

李建平．排队论基础［Ｍ］．北京

：

科学出版社

，２００２．

［６］于志青．排队论在交通工程中的应用研究［Ｊ］．中州大学学报

，２００５

（１）：１１８—１１９．

［７］刘敏

，

杨远祥

，

李映红．信号交叉口红绿灯配时优化的休假排队模

型［Ｊ］．道路交通与安全

，２０００（８）：７—９．

（

责任编辑

：

王纪宽

）

５１