光纤光学

第三章阶跃折射率光纤

本章知识导图

§3-1几何光学分析法

教学目标

1、了解几何光学分析的基本思路；2、理解数值孔径、时

延差的概念；3、了解斜光线与子午光线在传播上差异；

教学重点

1、理解数值孔径和时延差的概念；2、理解时延差与带宽

的关系

教学难点

1、斜光线时延差的推导

教学方法

讲授

教学形式

多媒体

学时分配

2课时

作业

无

§3.1-1阶跃折射率光纤中子午光线的传播

一、子午光线

在任何一根光纤中，通过光纤中心轴的任何平面都称为子午面，它有无

穷多个；

位于子午面内的光线称为子午光线，它在光纤端面上的投影即为光纤端

面上的直径或是一个点。

二、全反射条件

•见图，n1,n2分别为纤芯和包层材料的折射率，n0为周围介质的折射率，

在界面上，若满足

•（斯涅尔定律）

则ψ就是全反射的临界角，记作ψc。

三、数值孔径

四、子午光线的时延差

1、渡越时间

2、模间色散

,

221



SinnSinn

3、传输带宽

4、传输容量限制

§3.1-2斜光线的传播

1、斜光线全反射条件

2、斜光线数值孔径

3、最大时延差

§3-2波导场方程及导模场解

教学目标

1、了解导模场方程的特点；2、推导导模场解

教学重点

1、导模场方程的特点；2、纵向场的物理意义；3、横向场

的推导

教学难点

横向场的推导

教学方法

讲授

教学形式

多媒体

学时分配

1课时

作业

无

圆柱波导中场解的描述形式

标量模矢量模

一、纵向分量的场解

纵向分量解的形式：

径向分量满足的方程：

第一类贝塞尔函数J

l

(x)

可解得：









2

2

22

1

22

2

2

22

2

22

1

0

1

0

dFrdFr

l

kFr

drrdrr

dFrdFr

l

kFr

drrdrr

































()

()

()

z

z

er

Fr

hr







()(0)

(,)

(,)

()()

il

l

z

z

il

l

A

Ur

Jera

B

a

er

hr

C

Wr

Kera

D

a













































22222

01

Ukna

22222

02

Wkna

【例题1】光纤的纤芯折射率n1=1.5，包成的折射率n2=1.48，纤芯半径a=2μm，

入射光的波长628nm，光纤内的纤壁入射角为φ=850。求此光纤的归一化频率，

芯区的纵向传播常数和横向传播常数，芯区和包成的横向归一化传播常数。

二、模式场解

§3-3本征值方程

教学目标

1、了解导模场方程的特点；2、推导导模场解

教学重点

1、导模场方程的特点；2、纵向场的物理意义；3、横向场

的推导

教学难点

横向场的推导

教学方法

讲授

教学形式

多媒体

学时分配

1课时

作业

无

【新课教学】

复习引入：

在芯包层边界（r=a)连续条件：

一、阶跃光纤的本征值方程(色散方程）

令

例如，在弱导近似下(n1≈n2即k1≈k2)

§3-4阶跃光纤的模式分析

教学目标

1、知道模式分类的依据；2、理解四种模式在截止和远离

截止条件下的本征值方程及其意义；3、理解色散曲线

及单模条件，并用于求解简单的问题

教学重点

1、四种模式在截止和远离截止条件下的本征值方程及其意

义；2、应用色散曲线和单模条件求解简单的问题

教学难点

截止条件和远离截止条件下本征值方程的推导

教学方法

讲授

教学形式

多媒体

学时分配

3课时

作业

教材P443.5、3.6、3.8补充题

【教学过程】

一、阶跃光纤的四种基本模式

名称纵向分量横向分量

TEM(横电磁波）Ez=0,Hz=0Et，Ht

TE（横电波）Ez=0,Hz≠0Et,Ht

TM（横磁波）Ez≠0,Hz=0Et,Ht

HE或EH（混合波）Ez≠0,Hz≠0Et,Ht

模式鉴别参数

根据q的不同取值，可以将模式场分为两类：

1、横电模TE

定义l=0，且电场只有角向分量的模式，或由三个电磁场分量组成的模式

称为横电模。

特征方程为：

2、横磁模TM

定义l=0，且磁场只有角向分量的模式，或由三个电磁场分量组成的模式称

为横电模。

特征方程为：

3、混合模

定义l≠0，且电磁场都是非零的模式为混合模。混合模又分两类，称q=1的模为

EH模，q=-1的模称为HE模。

EH模的特征方程为：

HE模的特征方程为：

二、矢量模的截止特性

1、TE和TM模式

rz

ehh



、、







11

00

0

JUKW

UJUWKW



zr

he



、e、









2

121

2

010

0

JUnKW

UJUnWKW









110ll

ll

JUKW

UJUWKW









110ll

ll

JUKW

UJUWKW



2、EH模式

本征方程

模式截止条件：W=0,U=Vc

截止时对应的特征方程的第二式：

所以有：，

由此得：

【例2】直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005，输入波长为

1.55微米，那么能否传输EH

11

阶模式？

答：V=2.35

3、HE模式

在所有的导模中，只有HE11模式的截止频率为零，亦即截止波长为无穷



110

()()

ll

ll

JUKW

UJUWKW





1

()

l

l

KW

WKW



()0

l

UJU0or()0

l

UJU

()0

l

JU

大。HE11模式是任何光纤中都能存在、永不截止的模式，称为基模或主

模。

例3：试证明在弱导近似下，HE

21

模的截止频率等于TE

01

和TM

01

模的截止频率。

解：对于HE

2m

模(l=2)，弱导近似下，在截止状态时特征方程为：

由贝塞尔函数的递推关系：

可以看出，HE

2m

模在截止状态下的特征方程与TE

om

和TM

om

模是相同的。J0(u)=0

的第一个根u

21

=2.4048对应于HE

21

模的截止频率，也是TE

01

和TM

01

模的截止

频率。(弱导近似)

三、模式简并

若不同模式具有相同的模方程（特征方程），即具有相同的色散特性和截止频率，

则这些模式称为是简并的。简并的模式有二类：

1、TE0m,TM0m模的简并

TE

TM

2、EH

l-1

，m和HE

l+1

，m模的简并



00

00

''

0

()()

KWJU

WKWUJU



22

2010

00

''

0

()()

nKWnJU

WKWUJU



EH

HE

四、矢量模的远离截止状态

远离截止状态

1、TE和TM模式

即

2、EH

lm

模式

3、HE

lm

模式

五、色散曲线

光纤中的导波模的特性由特征参数U、W、β决定。U、W决定导波场的横向分

布特点，β决定其纵向传播特性。如果给定归一化频率V，则可由各模式的特

征方程求得相应的U或W，然后求出纵向传播常数β。不同的V值对应不同的

β值，从而可以作出每一个模式的β-V曲线。这样的曲线称为光纤的色散曲线。

色散曲线：以归一化传播常数（相位常数）为纵轴，以V为横轴。







110ll

ll

JUKW

UJUWKW

11

11

()()

0

()()

ll

ll

JUKW

JUKW













110ll

ll

JUKW

UJUWKW

11

11

()()

0

()()

ll

ll

JUKW

JUKW







VW,



11

00

0

()()

KWJU

WKWUJU





1

0

0

JU

UJU





1

0JU



1

0

l

JU







1

0

l

JU





几个低阶模的色散曲线

六、单模条件

单模条件：Vc＝(2π/λ0)a(n

12

－n

22

)1/2<2.405

单模光纤尺寸：a

c

＝1.202λ0/[π(n

12

－n

22

)1/2]

单模光纤截止波长：λc＝πa(n

12

－n

22

)1/2/1.202

单模光纤截止频率：fc＝1.202c/[πa(n

12

－n

22

)1/2]

仅当λ>λc或f

的是HE

1

1模，称为基模或主模。紧邻HE

11

模的高阶模是TE

01

、TM

01

模

和HE

21

模，其截止值均为Vc＝2.405。

单模光纤的特点及应用：

具有极小的色散和极低的损耗，一根光纤可传输数百兆甚至几千兆的宽带

信息，无中继距离可达几十甚至数百公里。

基模的相位、偏振、振幅等参数对各种外界物理量（如磁场、电场、振动、

应力、温度等）极为敏感，可制成灵敏度极高的各种光纤传感器。

利用单模光纤的非线性效应可制成光纤激光器与光纤放大器，还可用于测

量和信息处理等方面具有不可比拟的优越性。

例4：已知一阶跃折射率光纤，n1＝1.5，Δ＝0.002，a=6μm，当光波长分别

为①λ0=1.55μm；②λ0=1.30μm；③λ0=0.85μm时，求光纤中传输哪

些导模?

解：

（1）当λ0=1.55μm时，V≈2.3<2.405，所以光纤中的导模只有HEll模。

（2）当λ0=1.55μm时,V≈2.8,∵2.405

∴光纤中的导模有HE

11

,TE01,TM

01

，HE

21

模。

（3）当λ0=0.85μm时,V≈4.2,

∵3.832

22

22

12

121

2

001

1212

11

0110

22

()()

22

2

nn

aa

Vnnn

n

nnnn

aa

VnVn

nn

















∴光纤中的导模有HE

11

,TE

01

,TM

01

,HE

21

,EH

11

,HE

31

,HE

12

模。

例5：利用单模条件估算光波系统中单模光纤的纤芯半径。其中，取λ＝1.2μm，

n

1

=1.45,=5×10-3．

解：

由阶跃折射率光纤的单模条件：V＜2.405

【课堂小结】

补充作业：

2212

0121

1

2

()2

2

2

Vkannan

V

a

n















3

2.405

3.2

2

1.452510

1.2

am

m













§3-5弱导光纤与线偏振模

教学目标

1、了解弱导近似的条件；2、理解线偏振模的本征解及其

物理内涵；3、知道线偏振模的截止和远离截止条件；4、

了解导模数目的估算；5、了解导模场分布图

教学重点

1、理解线偏振模的本征解及其物理内涵；2、知道线偏振

模的截止和远离截止条件

教学难点

线偏振模本征解的推导

教学方法

讲授

教学形式

多媒体

学时分配

2课时

作业

教材P453.12、3.13、3.22补充题

【教学过程】

光纤中纤芯和包成折射率差很小，光纤中光线几乎

与光纤轴平行，这种波非常接近于TEM波。其电磁场

的轴向分量Ez和Hz与横向分量Et和Ht相比很小。

一经激励起来偏振状态保持不变，称其为线性偏振模，简写为LP模（Linear

PolarizedMode）

设横向场分为沿x、y轴偏振，则ex、ey分别满足标量波动方程：

一、阶跃光纤中LP模的场分布

思想：利用较为简单的场矢量的笛卡尔分量来解波动方程而不必采用柱坐标系求

解，这样的近似求解得到的简化解是具有线偏振特征的导模。

考虑到解具有线偏振特性及光纤的圆柱对称性，因此需要

寻求的解是电场的x或y分量为零的解，也即是寻求x偏

振模或y偏振模传播。

取电场E的y方向偏振分量的解的形式为：

2

1

1

2

(,)yz

xz

ee

ee

e

xyab

h

h

h

























2222()0

tx

kne





2222()0

ty

kne





sincos

xy

eee





()

()

0

()

()

x

ilitz

l

y

ilitz

l

e

Ur

AJeera

a

e

Ur

BKeera

a































二、阶跃光纤中LP模的特征方程

或

可以证明上面两式是完全等价的。

三、阶跃光纤中LP模的模式分析

四、LP模的色散曲线

11

()()

()()

ll

ll

JUKW

UW

JUKW



11

()()

()()

ll

ll

JUKW

UW

JUKW



五、LP模与精确矢量模之间的关系

LP

lm

模是由HEl+1，m模和EH

l-1,m

模线性迭加而成，其中每个模包括两个正交的

线偏振状态，所以LP

lm

模是四重简并。但LP0m模的情况比较特殊，因为l=0，

EH

l-1，m

模的角向阶数是-1，这是没有物理意义的。所以LP0m模仅由HE

1m

模构

成，是双重简并。

标量模与矢量模的比较

四、模容量

例：对于典型的阶跃型光纤：NA＝0.275，纤芯直径62.5μm，求当工作在1300nm

窗口时，光纤中可容纳的模式数。

解答提示：带入公式计算即可。

五、导模纵向功率流

结论：低阶模能量集中在波导中心，而模式阶数越高横截面直径越大且能量分

布越分散

22

2

4

ππ2

VVV

M









【课堂小结】

1、LP模的意义和适用条件

2、偏振模的本征值方程及其物理意义

3、偏振模的简并

4、偏振模的色散曲线