收稿日期
:20181009
基金项目
:
山东省高校科技计划资助项目
(J17KB053
);
山东省教育教学研究项目
(
2018JXY3076
);
青岛理工大学
琴岛学院教育教学研究重点项目
(2018003A
)
.
作者简介
:
刘明鼎
(1982
),
男
,
辽宁大连人
,
青岛理工大学琴岛学院副教授
.
第31卷第2期2019年4月
沈阳大学学报
(
自然科学版
)JournalofShen
y
an
g
Universit
y(NaturalScience)
Vol.31,No.2
A
p
r.2019
文章编号
:2095-5456
(
2019
)
02-0165-04
非标准有限差分法求解薛定谔方程
刘明鼎
,
林鑫
,
张艳敏
(
青岛理工大学琴岛学院基础部
,
山东青岛266106)
摘要
:
结合非标准有限差分方法构造求解薛定谔方程的两种非标准有限差分格式
,
格式利用时间和空
间的步长函数来近似逼近时间和空间的导数项
,
计算了两种差分格式的局部截断误差.数值实验验证了非标
准有限差分格式的有效性
,
数值精度高于传统有限差分格式.
关键词
:
薛定谔方程
;
非标准有限差分法
;
非标准有限差分格式
;
有限差分格式
;
局部截断误差
中图分类号
:O241.82文献标志码
:A
薛定谔方程是物理领域量子力学的一个重要
方程.可以用来讨论单色波的一维自调适
、
光学的
自陷现象
、
固体中的热脉冲传播
、
等离子体中的
Lan
g
nui波
、
超导电子在电磁场中运动以及激光
中原子的Bo
-
Einstein凝聚效应等
[
13
],
也被用
于研究深水波浪理论
、
柱
(
球
)
非线性薛定谔方
程
[
45
],
因此研究此类方程具有重要的意义
.本文
结合构造非标准有限差分格式的特点
[
68
],
给出
求解薛定谔方程的一种非标准有限差分格式.通
过分析
,
证明了构造的差分格式是无条件稳定和
收敛的.数值算例验证了该方法是有效的.
1两种非标准有限差分格式的构造
考虑如下初边值薛定谔方程
:
췍u
(x,t)
i췍t=췍2u(x,t)
췍x2
+
u(x,t)+f(x,t),
0
<
x
<
L
,
0
<
t
≤
T
,(
1
)
初始条件
u(x,
0
)=
φ(x),
0
≤
x
≤
L
,(
2
)
边界条件
u(
0
,t)=
ϕ
0(t),u(L,t)=
ϕ
1(t),
0
<
t
≤
T.
(
3
)
这里i为虚数单位
,f,φ,ϕ
0,ϕ
1
为已知连续函数
,
L,T为非负常数.
对区域
[0
,L]
×
[
0
,T]
进行分割
,
以h=
L
M
为
空间步长
,Δt=T
N
为时间步长
,
网格点为
(xm,tn),
其中xm=mh,m=0,
1
,…,M,tn=nΔt,n=0,
1
,
…,N,
这里M,N为正整数.定义数值解un
m=
u(xm,tn).
1.1第一种非标准有限差分格式的构造
利用MICKENS方法
[
6
],
以及文献
[
911
]
在
网格点处对式
(1
)
离散后的差分方程为
un
+
1
m-
un
miD1
=
un
m
+
1-
2un
m+
un
m
-
1D
2
+
un
m+fn
m.
(
4
)
其中
,
分母函数满足
:D
1=e(
Δt
)-1
,D
2=4sin2×
h
æ
èç
ö
ø÷2.当Δt→0
,D
1=e(
Δt
)-1等价于Δt.当h→0,
D
2=4sin2
h
æ
èç
ö
ø÷2等价于h2.这里对时间的一阶导
数离散后的分母利用函数D
1
代替传统的分母
Δt
,
对空间的二阶导数离散后的分母利用函数D
2
代替传统的分母h2.这种分母函数的选择也依据
薛定谔方程解的性质
[
4
].
记
D
1
D
2
=R1,D
1=R2,
对式
(
4
)
整理
un
+
1
m-
un
m=
iR
1(un
m
+
1-
2un
m+
un
m
-
1)+
iR2un
m+
iR
2fn
m,(
5
)
对式
(5
)
进一步整理
un
+
1
m=(
1
+
iR2-
2iR1)un
m+
iR
1un
m
+
1+
iR1un
m
-
1+
iR
2fn
m.(
6
)
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则式
(6
)
即为式
(
1
)
第一种非标准有限差分格式.
1.2第一种非标准有限差分格式的局部截断
误差
记un
m=u
(xm,tn),
利用
Ta
y
lor展开公式计算
得到非标准有限差分格式
(6
)
的局部截断误差.
定义差分符号
췍tun
m=
un
+
1
m-
un
miD1
,
췍x췍
췍xun
m=
un
m
+
1-
2un
m+
un
m
-
1D
2
.
利用Ta
y
lor展开得到局部截断误差τn
m
[
11
],
得到
τn
m=췍tun
m-췍x췍
췍xun
m-un
m=
(
췍tun
m-ut(xm,tn))
-
(
췍x췍
췍xun
m-uxx(xm,tn))
-
(un
m-u
(xm,tn))
=
Δt
iD1
æ
èç
ö
ø÷-1ut(xm,tn))
+
(
Δt
)2
2iD1
utt(xm,
췍tn)
-h2
D
2
æ
èç
ö
ø÷-1uxx(xm,tn)
-h4
12D2
uxxxx(
췍xm,tn)
=O
(
Δt+h2).
这里췍tn∈(tn,tn+1),
췍xm∈(xm,xm+1),
当
Δt→0
,
h→0时
,
局部截断误差τn
m→0.
1.3第二种非标准有限差分格式的构造
采用与第一种非标准有限差分格式构造同样
的原理
,
对于u(x,t)
采用非局部的离散方式.在
点
(xm,tn)
处
,
令un
m=
1
2
(un
m+1+un
m-1),
则式
(
1
)
离散后的差分方程为
un
+
1
m-
un
miD1
=
un
m
+
1-
2un
m+
un
m
-
1D
2
+
1
2
(un
m
+
1+
un
m
-
1)+fn
m.(
7
)
其中
,
分母函数D
1、D
2
与式
(4
)
所对应的分母函
数相同.对式
(7
)
进行整理得
un
+
1
m=(
1
-
2iR1)un
m+
iR
1+
iR2æ
èç
ö
ø÷2×
(un
m
+
1+
un
m
-
1)+
iR
2fn
m.(
8
)
则式
(8
)
即为式
(
1
)
第二种非标准有限差分格式.
1.4第二种非标准有限差分格式的局部截断
误差
使用与第一种非标准有限差分格式计算局部
截断误差相同的记号
,
对式
(8
)
利用
Ta
y
lor展开
得到局部截断误差τn
m.
τn
m=
췍tun
m-
췍x췍
췍xun
m-1
2
(un
m
+
1+
un
m
-
1)=(
췍tun
m-
ut(xm,tn))-(
췍x췍
췍xun
m-
uxx(xm,tn))-
1
2
((un
m
+
1-
u(xm,tn)+(un
m
-
1-
u(xm,tn))=Δt
iD1
-æ
èç
ö
ø÷1ut(xm,tn)+
(
Δt
)2
2iD1
utt(xm,
췍tn)-
h2
D
2
+
h2
2-æ
èç
ö
ø÷1uxx(xm,tn)-
h4
12D2
+
h4
æ
èç
ö
ø÷24uxxxx(
췍xm,tn)=
O(
Δt
+
h2).
这里췍tn∈(tn,tn+1),
췍xm∈(xm,xm+1),
当
Δt→0
,
h→0时
,
局部截断误差τn
m→0.
1.5标准有限差分格式
利用标准的有限差分方法构造的显示有限差
分格式为
un
+
1
m-
un
mi
(
Δt
)=
un
m
+
1-
2un
m+
un
m
-
1h2
+
un
m+fn
m.
2数值算例
考虑如下初边值问题
:
췍u
i췍t=췍2u
췍x2
+
u
-
ex
+
it,
0
<
x
<
1
,
0
<
t
≤
1
,
u(x,
0
)=
ex,
0
≤
x
≤
1
,
u(
0
,t)=
eit,u(
1
,t)=
e1
+
it,
0
<
t
≤
1.
精确解为u(x,t)
=ex+it.取时间步长为
0.05
,
空间步长为
0.1.D1=e(
Δt
)-1
,D
2=
4sin2
h
æ
èç
ö
ø÷2
,
分别对非标准有限差分格式一
、
格式
二与传统标准有限差分格式进行数值比较
,
结果
见表1.
表1数值解误差
Table1Errorofnumericalsolution
(x,t)精确解
实部虚部
格式一误差
实部虚部
格式二误差
实部虚部
标准差分格式误差
实部虚部
(
0.1
,
1.0
)
0.597130.92997
3.548×10-42.681×10-42.030×10-44.128×10-52.618×10-33.044×10-3
(
0.2
,
1.0
)
0.659931.02777
8.268×10-43.411×10-44.443×10-41.592×10-45.319×10-42.852×10-3
(
0.3
,
1.0
)
0.729331.13587
4.368×10-43.584×10-45.361×10-53.234×10-43.559×10-34.981×10-3
(
0.4
,
1.0
)
0.806041.25533
5.148×10-56.125×10-55.990×10-44.621×10-54.698×10-36.128×10-4
(
0.5
,
1.0
)
0.890811.38735
8.269×10-47.158×10-46.128×10-56.716×10-47.224×10-45.489×10-3
661沈阳大学学报
(
自然科学版
)
第31卷
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续表1
(x,t)精确解
实部虚部
格式一误差
实部虚部
格式二误差
实部虚部
标准差分格式误差
实部虚部
(
0.6
,
1.0
)
0.984491.53326
4.125×10-45.891×10-46.102×10-47.048×10-48.698×10-47.162×10-4
(
0.7
,
1.0
)
1.088041.69451
3.266×10-54.125×10-53.000×10-54.059×10-58.123×10-38.168×10-4
(
0.8
,
1.0
)
1.202461.87273
3.200×10-43.128×10-44.159×10-42.618×10-45.136×10-45.126×10-3
(
0.9
,
1.0
)
1.328932.06968
2.981×10-45.269×10-42.782×10-42.998×10-43.025×10-36.024×10-4
从表1可以看出
,
利用非标准有限差分方法
构造的格式一和格式二的数值精度明显优于传统
的有限差分格式.但是格式一和格式二在数值精
度方面差别不大.分析其中的原因
,
主要是因为当
方程中具有非线性项的时候
,
采用非局部的离散
方式效果会更好.u2
可以通过u2→un
m+1un
m
离散
方式来逼近
,
或者u3→
1
2
(un
m+1+un
m-1)(un
m)2
来
逼近效果会好于传统的有限差分格式.
3结论
非标准有限差分格式的构造需要考虑偏微分
方程解的特征.非标准格式在保持原偏微分方程
的性质方面比传统的差分格式更有效
[
1113
].目前
还没有研究薛定谔方程的精确差分格式的相关文
献.在接下来的工作中
,
将利用文献
[67
]
的方法
讨论深水波浪非线性薛定谔方程的精确有限差分
格式.
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下转第172页
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761第2期刘明鼎等
:
非标准有限差分法求解薛定谔方程
Copyright©博看网htsRerved.
Stron
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Men
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Abstract:
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g
e
-
connectivit
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-
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-
3-stron
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connectivit
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tolerance
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h
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责任编辑
:
肖景魁
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】
(
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)
NonstandardFiniteDifferenceMethodforSolvin
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Schrödin
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China
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Abstract:
Twonon
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Ke
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words:
Schrödin
g
ere
q
uation
;
nonstandardfinitedifferencemethod
;
nonstandardfinitedifference
schemes
;
finitedifferencescheme
;
localtruncationerrors
【
责任编辑
:
肖景魁
】
271沈阳大学学报
(
自然科学版
)
第31卷
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本文发布于:2022-12-31 19:31:40，感谢您对本站的认可！
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